So sánh Căn bậc hai của 0 7 và 0 8

1. Căn thức bậc hai

Căn bậc hai số học

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt a $ và $-\sqrt a $

Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.

+) $\sqrt a  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$

+) So sánh hai căn bậc hai số học:

Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $.

Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.

Chú ý.:

Với \(a \ge 0,\) ta có:

+ Nếu \(x = \sqrt a \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)  thì \(x = \sqrt a .\)

Ta viết \(x = \sqrt a  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

2. So sánh các căn bậc hai số học 

ĐỊNH LÍ:

Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \) 

Ví dụ: So sánh 3 và \(\sqrt 7\) 

Ta có: \(3 = \sqrt 9 \) mà \(9 > 7\) suy ra \(\sqrt 9  > \sqrt 7 \) hay \(3 > \sqrt 7 \)

Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$  

Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|$.

Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có

$\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ nghĩa là

$\sqrt {{A^2}}  = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}}  =  - A$ nếu $A < 0$.

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b $.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức  (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$)

- Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ;                                         \(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ;                      \(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

so sánh hai số thập phân

7,9 và 8,2 6,35 và 6,53 2,8 và 2,93 0,458và0,54

Coi Căn thức đầu tiên là A và căn thức tiếp theo là B

$A=\sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}$ và $B=\sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}$

Ta có $\sqrt{2008}+\sqrt{2005}<\sqrt{2015}+\sqrt{2009}$, $\sqrt{2010}+\sqrt{2007}<\sqrt{2015}+\sqrt{2009}$, 

=> $\frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2005}}+\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2007}}>\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2009}}$.

Dùng liên hợp ta được:

 $\frac{\sqrt{2008}-\sqrt{2005}}{3}+\frac{\sqrt{2010}-\sqrt{2007}}{3}>\frac{2(\sqrt{2015}-\sqrt{2009})}{6}$.

=> $A>B$

Đọc tiếp...