Sách giáo khoa Toán lớp 7 tập 2 trang 141

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(M,\) trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)
a) Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân
b) Kẻ \(BH ⊥ AM,\) kẻ \(CK ⊥ AN.\) Chứng minh rằng \(BH = CK\)
c) Chứng minh rằng \(AH = AK\)
d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì ? Vì sao
e) Khi \(\widehat{BAC} = 60^o\) và \(BM = CN = BC\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)

Hướng dẫn:
c) Tính số đo các góc của tam giác \(OBC\) rồi xác định dạng của tam giác \(OBC\)

Bài giải:

a) \(ΔABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = AC\) và \(\widehat{B_1} = \widehat{C_1}\)Mà

\(\widehat{B_1} + \widehat{ABM} =180^o\) (hai góc kề bù)

Suy ra

\(\begin{align*} \widehat{ABM} &= 180^o - \widehat{B_1} \\&= 180^o - \widehat{C_1}\\&= \widehat{ACN}\end{align*}\)

Xét \(ΔBAM\) và \(ΔCNA\) có:
\(BA = CA\) (giả thiết)
\( \widehat{ABM} = \widehat{ACN} \) (chứng minh trên)
\(BM = CN\) (giả thiết)
\(\Rightarrow ΔBAM = ΔCAN\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = AN\) (cặp cạnh tương ứng)
\( ΔAMN\) có: \(AM = AN\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔAMN\) cân tại \(A\) (tính chất tam giác cân)
b) \(ΔAMN\) cân tại \(A\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N}\) (định nghĩa tam giác cân)
Xét hai tam giác vuông \(HMB\) và \(KNC\) có:
\(BM = CN\) (giả thiết)
\( \widehat{M} = \widehat{N}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ΔHMB = ΔKNC\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BH = CK; BH = CK\) (cặp cạnh tương ứng)
c) Ta có: \(AH = AM - HM\)
\(AK = AN - KN\)
Mà \(AM = AN\) (chứng minh trên)
\( BH = CK\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow AH = AK\) (đpcm)
d) \(ΔHMB = ΔKNC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN}\) (cặp góc tương ứng)
Lại có: \( \widehat{HBM} = \widehat{CBO}\) (đối đỉnh)
\( \widehat{KCN} = \widehat{BCO}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat{CBO} = \widehat{BCO} \)
Xét \(ΔOBC,\) ta có: \(\widehat{CBO} = \widehat{BCO} \) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ΔOBC\) cân tại \(O\)
e) Khi \(\widehat{BAC} = 60^o \Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{C_1} = 60^o\)
\(\Rightarrow ΔABC\) đều
\(\Rightarrow AB = AB = BC\) (tính chất)
Lại có: \(BM = CN = BC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow AB = BM\)
\(\Rightarrow ΔABM\) cân tại \(B.\)
\( \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM}\) (định nghĩa)
Lại có: \( \widehat{M} + \widehat{BAM} = \widehat{B_1} = 60^o\) (tính chất góc ngoài tam giác)
\( \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o\)
Tương tự, ta có: \(\widehat{N} = 30^o\)
\( \Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN} = 60^o\)