Phương trình mặt cầu là một trong các nội dung qua trọng của hình học giải tích. Trong bài viết dưới đây tôi sẽ hướng dẫn các bạn tất cả các dạng toán liên quan đến nội dung này. Bên cạnh đó mỗi dạng toán sẽ có 1 ví dụ cụ thể để các bạn tiện theo dõi. Hãy cùng học nội dung nay thông qua bài viết nhé!
I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trước tiên ta cần nhắc lại khái niệm mặt cầu là gì? Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.
Bạn đang xem: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Mặt cầu cũng có thể được định nghĩa theo khái niệm mặt tròn xoay. Theo đó mặt cầu là mặt tròn xoay khi quay đường tròn quanh một đường kính.
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I[a;b;c] bán kính R. Phương trình chính tắc của [S] là:
[x-a]²+[y-b]²+[z-c]²=R²
Ngoài ra nếu a²+b²+c²-d>0 thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của [S]:
x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 [1]
Tọa độ tâm của [S] có phương trình [1] là I[a;b;c] và bán kính của [S] được tính theo công thức:
Ví dụ minh họa [Tự luận]:
Trong không gian Oxyz, cho điểm I[2;-1;3]. Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là gì?
Lời giải:
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I tới trục Oy: R=|-1|=1.
[Mẹo: Chiếu lên trục nào thì lấy trị tuyệt đối cái đó, ví dụ ở đây chiếu lên trục Oy thì ta chỉ cần lấy trị tuyệt đối của tung độ].
Xem thêm: Đọc Truyện Sáu Tiểu Bảo Bảo Đáng Yêu Tổng Tài Thảm Rồi Prc, Đọc Truyện Sáu Tiểu Bảo Bảo Đáng Yêu
Vậy phương trình mặt cầu tiếp xúc với trục Oy cần tìm là : [x-2]²+[y+1]²+[z-3]²=1.
Trên đây là một số dạng toán về phương trình mặt câ`u mà firmitebg.com giới thiệu đến các bạn. Chúc các bạn học giỏi và thành công!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí! Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mp [Q] và tiếp xúc với mặt cầu [I;R]
Ví dụ: Viết ptmp [P] song song với [Q]: x-2y+z+2=0 và tiếp xúc với mặt cầu [S] : [TEX][x-1]^2+[y-2]^2+[z-1]^2=4[/TEX]
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu [I;R]
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] vuông góc với mp [Q], song song với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu [I;R] [ d không vuông góc [Q] ]
Ví dụ: Viết ptmp [P] vuông góc với [Q]:[TEX]x+y+z-3=0[/TEX], song song với d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}[/tex] và tiếp xúc với [S]: [TEX][x-1]^2+[y-3]^2+[z-3]^2=9[/TEX]
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với đường thẳng d và d ' , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu [I;R] [d không song song d']
Ví dụ: Viết ptmp [P] song song với các đường thẳng d: [tex]\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{3}[/tex] ,
Phương pháp: do [P]//[Q] nên ta có vtpt [TEX]n_P[/TEX] của [P] chính là vtpt [TEX]n_Q[/TEX] của [Q]
Lúc này, ptmp [P] có dạng [TEX]ax+by+cz+d=0[/TEX] với a,b,c đã biết do đã biết tọa độ vtpt [TEX]n_P[/TEX]
Vậy sử dụng nốt điều kiện tiếp xúc: [TEX]d[I;[P]]=R[/TEX] ta sẽ tìm được d.
Lời giải: ta có vtpt [TEX]n_P=n_Q[1;-2;1][/TEX]
=> ptmp [P] có dạng: [TEX]x-2y+z+d=0[/TEX]
Từ pt của [S] ta tìm được tâm I[1;2;1] và bán kính R = 2
Để [P] tiếp xúc [S]: [tex]d[I;[P]]=R\frac{|1.1+2.[-2]+1.1+D|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=2\frac{|D-2|}{\sqrt{6}}=2D=2\sqrt{6}+2;D=-2\sqrt{6}+2[/tex] Vậy có 2 mp [P] thỏa mãn bài toán là :
[P]: [TEX]x-2y+z+2\sqrt{6}+2=0[/TEX]
hoặc [P]: [TEX]x-2y+z-2\sqrt{6}+2=0[/TEX][TEX][/TEX]
Phương pháp: tương tự dạng 1, do d vuông góc [P] nên lúc này ta có vtpt [TEX]n_P =u_d[/TEX]của d. Và sử dụng tiếp điều kiện tiếp xúc ta sẽ tìm được hệ số d.
Ví dụ: Viết ptmp [P] vuông góc với d:[tex]\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{2}=\frac{1-z}{1}[/tex] và tiếp xúc với mặt cầu [S]: [TEX][x+1]^2+[y-3]^2+[z-1]^2=4[/TEX]
Lời giải:
Mặt cầu: [S] có tâm I[-1;3;1] và R = 2 Do [P] vuông góc với d nên [P] có vtpt [TEX]n_P=[2;2;-1][/TEX] [là [2;2;-1] chứ không phải [2;2;1] ]
Vậy ptmp [P] có dạng : [TEX]2x+2y-z+d=0[/TEX]
Điều kiện tiếp xúc: [tex]d[I;[P]]=R\frac{|2.[-1]+2.3+[-1].1+d|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=2|d+3|=6d=3;d=-9[/tex]
Vậy có 2 mp [P] thỏa mãn bài toán là :
[TEX]2x+2y-z+3=0[/TEX]
hoặc [TEX]2x+2y-z-9=0[/TEX]
Phương pháp: Do [P] vuông góc với mp [Q], song song với đường thẳng d nên ta có cặp vecto chỉ phương
Lời giải : [S] có tâm I[1;3;3] và R=3
Ta có vtpt [TEX]n_P=[n_Q; u_d][/TEX], với [TEX]n_Q[1;1;1], u_d[2;3;4][/TEX]
=> [TEX]n_P[1;-2;1][/TEX]=> ptmp [P] có dạng: [TEX]x-2y+z+d=0[/TEX]
Điều kiện tiếp xúc: [tex]d[I;[P]]=R\frac{|1.1+[-2].3+1.3+d|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=3|d-2|=3\sqrt{6}d=3\sqrt{6}+2; d=-3\sqrt{6}+2[/tex]
Vậy có 2 mp [P] thỏa mãn là : [P]: [TEX]x-2y+z+3\sqrt{6}+2=0[/TEX]
hoặc [P]:[TEX]x-2y+z-3\sqrt{6}+2=0[/TEX]
Phương pháp: Do [P] song song với đường thẳng d và d ' nên ta có : [TEX]n_P=[n_d;n_d'][/TEX]
Lời giải: Ta có [TEX]n_P=[u_d;u_d']=[-2;4;-2][/TEX]. Vậy pt [P] có dạng: [TEX]x-2y+z+d=0[/TEX]
Mặt cầu [S] có tâm I[1;-3;3], bán kính R=3. Điều kiện tiếp xúc: [tex]d[I;[P]]=3\frac{|1.1+[-2].3+1.3+d|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=3|d-2|=3\sqrt{6}d=3\sqrt{6}+2; d=-3\sqrt{6}+2[/tex] Vậy có 2 mp [P] thỏa mãn là : [TEX]x-2y+z+3\sqrt{6}+2=0[/TEX]hoặc [TEX]x-2y+z-3\sqrt{6}+2=0[/TEX]
Reactions: Timeless time, hip2608 and hdiemht
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [ S ] : [ x - 2 ] 2 + [ y + 1 ] 2 + [ z - 3 ] 2 = 9 tại điểm M[6; -2; 3].
A. 4x-y-26=0
B. 4x+y-26=0
C. 4x+y+26=0
D. 4x-y+26=0
Các câu hỏi tương tự
Tìm m ≥ 0 để mặt phẳng [P]: 2x+y-2z+m=0 tiếp xúc với mặt cầu [ S ] : [ x - 2 ] 2 + [ y - 1 ] 2 + [ z - 1 ] 2 = 1
A. m=10
B. m=5
C. m=0
D. m=-1
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A [ a ; 0 ; 0 ] , B [ 0 ; b ; 0 ] , C [ 0 ; 0 ; c ] , trong đó a > 0 , b > 0 , c > 0 và 3 a + 1 b + 3 c = 5 . Biết mặt phẳng [ABC] tiếp xúc với mặt cầu [S] có phương trình là [ x - 3 ] 2 + [ y - 1 ] 2 + [ z - 3 ] 2 = 304 25 , khi đó thể tích của khối tứ diện OABC nằm trong khoảng nào?
A . [ 0 ; 1 2 ] .
B. [0;1].
C. [1;3].
D. [4;5].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] : 2x - 2y + z + 3 = 0 và mặt cầu S : x - 1 2 + [ y + 3 ] 2 + z 2 = 9 và đường thẳng d : x - 2 = y + 2 1 = z + 1 2 . Cho các phát biểu sau đây:
I. Đường thẳng d cắt mặt cầu [S] tại 2 điểm phân biệt.
II. Mặt phẳng [P] tiếp xúc với mặt cầu [S]
III. Mặt phẳng [P] và mặt cầu [S] không có điểm chung
IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng [PA] tại 1 điểm
Số phát biểu đúng là:
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
Cho điểm A[1;3;-2] và mặt phẳng P : 2 x - y + 2 z - 1 = 0 . Viết phương trình măt cầu [S] có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng [P]
A. x + 1 2 + y + 3 2 + z - 2 2 = 2
B. x - 1 2 + y - 3 2 + z + 2 2 = 4
C. x - 1 2 + y - 3 2 + z + 2 2 = 2
D. x + 1 2 + y + 3 2 + z - 2 2 = 4
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]:x-y-z+3=0 và điểm A[0;1;2], đường thẳng d: x - 1 1 = y + 3 - 2 = z - 1 1 . Mặt cầu [ S 1 ] , [ S 2 ] cùng tiếp xúc với [P] tại A và tiếp xúc với đường thẳng d. Tổng bán kính của hai mặt cầu bằng
A. 3 + 11
B. 12 3
C. 3 3
D. 10 3
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x - 6 y + m = 0 và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng α : x + 2 y - 2 z - 4 = 0 và β : 2 x - y - z + 1 = 0 . Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu [S] tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn A B = 8 khi:
A. m = 12
B. m = -12
C. m = -10
D. m = 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
phẳng [P] có phương trình
có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng [P]. Tọa độ tiếp
điểm là:
A. H 7 3 ; 7 3 ; - 2 3
B. H 1 3 ; 1 3 ; - 2 3
C. H 7 3 ; - 7 3 ; 2 3
D. H 7 3 ; 7 3 ; 2 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 2 = y - 3 1 = z - 2 1 và hai mặt phẳng
P x - 2 y + 2 z = 0 ; Q : x - 2 y + 3 z - 5 = 0 . Mặt cầu [S] có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [Q] tiếp xúc với mặt cầu [S]. Viết phương trình của mặt cầu [S].
A. S : x + 2 2 + y + 4 2 + z + 3 2 = 1
B. S : x - 2 2 + y - 4 2 + z - 3 2 = 6
C. S : x - 2 2 + y - 4 2 + z - 3 2 = 2 7
D. S : x - 2 2 + y + 4 2 + z + 4 2 = 8