Chương II: Phép tính tích phân
$1 Tích phân bất định
1]
Tích phân bất định:
Định nghĩa 1.1.
Cho hàm f[x] xác định trên khoảng
,
a b
, hàm F[x] gọi là nguyên hàm của hàm f[x] nếu nó có đạo hàm và
/
, ,
F x f x x a b
Ví dụ:
-
2 3
3 ,
f x x F x x
,
cos , sin
f x x F x x
Định lý1.2.
Giả sử F[x], G[x] là hai nguyên hàm của f[x] trên khoảng
,
a b
,khi đó:
G[x]=F[x]+C
,
x a b
, C=const.
Định nghĩa1.3.
Tập hợp các nguyên hàm của hàm
f[x] gọi là tích phân bất định của hàm f[x] và ký hiệu là
f x dx F x C
Ví dụ:
23
3, cosxdx\=sinx+C
x dx x C
2
. B
ẢNG
TÍCH PHÂN C
Ơ
B
ẢN
1,1
1
C xdx x
C x xdx
ln
C aadxa
x x
ln
C edxe
x x
C x xdx
cossin
C x xdx
sincos
2
tancos
dx x C x
2
cotsin
dx x C x
C x xdx
arcsin1
2
2
arctan1
dx x C x
2 2
1arctan , 0
dx x C aa aa x
C x f
dx x f x f
ln
'
1
sin cos , 0
a
axdx ax c a
1
cos sin , 0
a
axdx ax c a
1
, 0
ax ax a
e dx e c a
3. CÁC TÍNH CH
ẤT
- [ ] [ ] [ ]2. [ ] [ ] [ ] [ ]
af x dx a f x dx a const f x g x dx f x dx g x dx
'
- '[ ] [ ]4. [ ] [ ]
f x dx f x C f x dx f x
Ví d
ụ
:
Tính các tích phân sau đây
3 2
x x x dx
32 4
x x
e dx x
2 2
sin cos
dx x x
2cos2 8sin4x
x dx
Ví d
ụ
:
Tính các tích phân sau đây
tgxdx
2
2 11
x dx x
2
4 14
x dx x
1
x
dx e
4. CÁC
PHƯƠNG
PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN B
ẤT
ĐỊNH
Phương pháp tích phân từng phần
duvuvdvu
Ví dụ
5.
Tính các tích phân sau
đây
b
ằng
ph
ươ
ng pháp tích phân t
ừn
g ph
ần
a]
2 2
1
x
x x e dx
1 cos
x xdx
2
ln
x xdx
2 1 dx
x arctgx
Phương pháp đổi biến số
Đặt
,
x t
với
t
là hàm khả vi, khi đó
/
dx t dt
và do đó` ta có công thức đổi biến số sau:
'
f x dx f t t dt
Các bước thực hiện:
-
Chọn biến số mới, tính vi phân của nó.
-
Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân thu được theo biến số mới.
-
Trả kết quả về biến số ban đầu.
Ví dụ 6.
Tính các tích phân sau
đây
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp
đổi
bi
ến
s
ố
a]
2
ln
dx x x
b]
2
2
x x dx
2
sin1 cos
x dx x
2008
1
x x dx
$2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1]
Định nghĩa và tính chất:
Định nghĩa 2.1.[tích phân xác định]
ba
f x dx
Định lý 2.2.
Nếu f[x] liên tục trên đoạn [a,b] thì
ba
f x dx
là tồn tại.
`Định lý 2.
3. Cho f[x] liên tục trên đoạn [a,b] khi đó hàm số
xa
G x f t dt
là
khả vi trên đoạn [a,b] và
/
,
G x f x a x b
Định lý 2.
4. Nếu hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a,b] và F[x] là nguyên hàm của
f[x] thì :
a F b F x F dx x f
baba
Ví dụ:
Tính các tích phân sau: a]
120
3
x dx
b]
20
cos
xdx
2.Các tính chất:
[1]
[ ] [ ]
b ba a
cf x dx c f x dx
2]
[ [ ] [ ]] [ ] [ ]
b b ba a a
f x g x dx f x dx g x dx
[3]
[ ] [ ] [ ]
b c ba a c
f x dx f x dx f x dx
[4] N
ếu
f[x] là hàm s
ố
ch
ẵn
[ngh
ĩa
là
[ ] [ ]
f x f x
] thì
0
[ ] 2 [ ]
a aa
f x dx f x dx
.