Những tiêu chuẩn so sánh tích phân suy rông
|
Chương II: Phép tính tích phân $1 Tích phân bất định 1) Tích phân bất định: Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(x) xác định trên khoảng , a b , hàm F(x) gọi là nguyên hàm của hàm f(x) nếu nó có đạo hàm và / , , F x f x x a b Ví dụ: - 2 3 3 , f x x F x x , cos , sin f x x F x x Định lý1.2. Giả sử F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên khoảng , a b ,khi đó: G(x)=F(x)+C , x a b , C=const. Định nghĩa1.3. Tập hợp các nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm f(x) và ký hiệu là f x dx F x C Ví dụ: 23 3, cosxdx\=sinx+C x dx x C 2 . B ẢNG TÍCH PHÂN C Ơ B ẢN 1,1 1 C xdx x C x xdx ln C aadxa x x ln C edxe x x C x xdx cossin C x xdx sincos 2 tancos dx x C x 2 cotsin dx x C x C x xdx arcsin1 2 2 arctan1 dx x C x 2 2 1arctan , 0 dx x C aa aa x C x f dx x f x f ln ' 1 sin cos , 0 a axdx ax c a 1 cos sin , 0 a axdx ax c a 1 , 0 ax ax a e dx e c a 3. CÁC TÍNH CH ẤT
af x dx a f x dx a const f x g x dx f x dx g x dx '
f x dx f x C f x dx f x Ví d ụ : Tính các tích phân sau đây 3 2 x x x dx 32 4 x x e dx x 2 2 sin cos dx x x 2cos2 8sin4x x dx Ví d ụ : Tính các tích phân sau đây tgxdx 2 2 11 x dx x 2 4 14 x dx x 1 x dx e 4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊNH Phương pháp tích phân từng phần duvuvdvu Ví dụ 5. Tính các tích phân sau đây b ằng ph ươ ng pháp tích phân t ừn g ph ần a) 2 2 1 x x x e dx 1 cos x xdx 2 ln x xdx 2 1 dx x arctgx Phương pháp đổi biến số Đặt , x t với t là hàm khả vi, khi đó / dx t dt và do đó` ta có công thức đổi biến số sau: ' f x dx f t t dt Các bước thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân của nó. - Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân thu được theo biến số mới. - Trả kết quả về biến số ban đầu. Ví dụ 6. Tính các tích phân sau đây b ằ ng ph ươ ng pháp đổi bi ến s ố a) 2 ln dx x x b) 2 2 x x dx 2 sin1 cos x dx x 2008 1 x x dx $2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1) Định nghĩa và tính chất: Định nghĩa 2.1.(tích phân xác định) ba f x dx Định lý 2.2. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì ba f x dx là tồn tại. `Định lý 2. 3. Cho f(x) liên tục trên đoạn [a,b] khi đó hàm số xa G x f t dt là khả vi trên đoạn [a,b] và / , G x f x a x b Định lý 2. 4. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và F(x) là nguyên hàm của f(x) thì : a F b F x F dx x f baba Ví dụ: Tính các tích phân sau: a) 120 3 x dx b) 20 cos xdx 2.Các tính chất: (1) ( ) ( ) b ba a cf x dx c f x dx 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx (3) ( ) ( ) ( ) b c ba a c f x dx f x dx f x dx (4) N ếu f(x) là hàm s ố ch ẵn (ngh ĩa là ( ) ( ) f x f x ) thì 0 ( ) 2 ( ) a aa f x dx f x dx . |
