Chuyên đề Toán Tính nhanh lớp 5 tổng hợp những kiến thức lý thuyết quan trọng, cùng những dạng bài tập từ cơ bản tới nâng cao cho các em luyện tập thật nhuần nhuyễn, nắm chắc dạng Toán tính nhanh lớp 5.
Qua đó, các em sẽ thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân số, số thập phân vô cùng nhanh chóng. Chuyên đề Toán Tính nhanh vô cùng hữu ích, giúp các em học sinh lớp 5 nắm được cách tính nhanh các giá trị của biểu thức theo từng dạng. Vậy mời các em cùng tải miễn phí:
I. Kiến thức cần nhớ tính nhanh
1. Phép cộng:
1.1. Tính chất giao hoán: Tổng không thay đổi khi ta đổi chỗ các số hạng.
Tổng quát: a + b + c + d = a + c + b + d = b + c + d + a = …
1.2. Tính chất kết hợp: Tổng không thay đổi, khi ta thay hai hay nhiều số hạng của tổng bằng tổng của chúng.
Tổng quát: a + b + c + d = a + [b + c] + d = a + b +[c + d] = …..
1.3. Tổng không thay đổi, khi ta thêm số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt đi số hạng kia bấy nhiêu đơn vị.
Tổng quát: a + b = [a - n] + [b + n] = [a + n] + [b - n]
2. Phép trừ:
2.1. Hiệu hai số không thay đổi, nếu ta cùng thêm [hoặc cùng bớt] ở hai số cùng một số như nhau.
Tổng quát: a - b = [a - n ] - [b - n] = [a + n] - [b + n]
2.2. Trong phép trừ thì:
Số bị trừ = số trừ + hiệu số.
Số trừ = số bị trừ - hiệu số.
Hiệu số = số bị trừ - số trừ.
3. Phép nhân
3.1. Tổng các số hạng bằng nhau, có thể chuyển thành phép nhân, trong đó một thừa số là một số hạng còn thừa số thứ hai bằng số lượng số hạng của tổng.
Tổng quát: a + a + a +...+ a + a = a n [ Có n số hạng là a]
3.2. Tính chất giao hoán: Tích không thay đổi, khi ta đổi cổ các thừa số.
Tổng quát: a x b x c x d = a x c x b x d = b x d x a x c = ...
3.3. Tính chất kết hợp: Tích của chúng không đổi, khi ta thay hai hay nhiều thừa số bằng tích riêng của chúng.
Tổng quát: a × b × c × d = [a × b] [c × d] = [a × c] × [b × d] = [a × d] × [b × c]
3.4. Muốn nhân một số với 0,5 ta chỉ cần chia số đó cho 2.
Tổng quát: a × 0,5 = a : 2
3.5. Muốn nhân một số với 0,25 ta chỉ cần chia số đó cho 4.
Tổng quát: a × 0,25 = a : 4
3.6. Muốn nhân một số với 0,2 ta chỉ cần chia số đó cho 5.
Tổng quát: a × 0,2 = a : 5
3.7. Muốn nhân một số với 0,125 ta chỉ cần chia số đó cho 8.
Tổng quát: a × 0,125 = a : 8
3.8. Muốn nhân một số với 0,05 ta chỉ cần chia số đó cho 20.
Tổng quát: a × 0,05 = a : 20
3.9. Muốn nhân một số với 0,025 ta chỉ cần chia số đó cho 40.
Tổng quát: a × 0,025 = a : 40
3.10. Muốn nhân một số với 0,02 ta chỉ cần chia số đó cho 50.
Tổng quát: a × 0,02 = a : 50
3.11. Muốn nhân một số với 0,0125 ta chỉ cần chia số đó cho 80.
Tổng quát: a × 0,0125 = a : 80
3.12. Muốn nhân một số với 0,1 ; 0,01 ; 0,001.. ta chỉ cần chia số đó cho 10 ; 100 ; 1000 .
Tổng quát: a × 0.1 = a : 10; a × 0.01 = a : 100;
a × 0.001 = a : 1000; a × 0.001 = a : 1000
3.13. Tích của hai thừa số không đổi khi ta tăng thừa số này lên bao nhiêu lần, thì giảm thừa số kia đi bấy nhiêu lần.
Tổng quát: a × b = [a × n] × [ b : n] = [a : n] × [b x n]
3.14. Tích bằng 0 khi có một thừa số bằng 0.
Tổng quát: a × b × c × d = 0 khi chỉ cần a, hoặc b, hoặc c hoặc, d bằng 0
4. Phép chia
4.1. Trong phép chia thì:
* Số bị chia = số chia số thương.
* Số chia = số bị chia : số thương.
* Số thương = số bị chia : số chia.
4.2. Trong phép chia, nếu ta cùng tăng [hoặc cùng giảm]cả số bị chia và số chia đi cùng một số lần thi thương không thay đổi.
Giải sử biểu thức cần tìm là A. Các phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu số của phân số trước n lần.
Bước 1: Tính A x n
Bước 2: Tính A x n - A
Ví dụ 1:
Tính giá trị $A = \frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}$
Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số trước 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.
Bài giải:
$A = \frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}$ [1]
$2 \times A = 2 \times \left[ {\frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}} \right]$
$ = \frac{2}{2}\,\, + \,\,\frac{2}{4}\,\, + \,\,\,\frac{2}{8}\,\, + \,\,\frac{2}{{16}}\,\, + \,\,\frac{2}{{32}}\,\, + \,\,\frac{2}{{64}}$
$ = 1\,\, + \,\,\frac{1}{2}\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\,\,$ [2]
Nhìn vào [1] và [2], chúng ta nhận thấy ở A và 2 x A có nhiều phân số giống nhau. Nếu ta trừ hai vế cho nhau thì được:
$2 \times A - A$= $\left[ {1\,\, + \,\,\frac{1}{2}\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\,\,} \right]\,\, - \,\,$$\left[ {\frac{1}{2}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{8}\,\, + \,\,\frac{1}{{16}}\,\, + \,\,\frac{1}{{32}}\,\, + \,\,\frac{1}{{64}}} \right]$
$A = $ 1 – $\frac{1}{{64}}$= $\frac{{63}}{{64}}$
Ví dụ 2:
Tính $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$
Phân tích: Ở bài này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần khi đó ta nhân biểu thức với 3 rồi trừ hai vế để triệt tiêu các phân số ở giữa.
Giải:
Ta có $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}$
$3 \times A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}$
Trừ hai vế ta có:
$3 \times A - A = [1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}] - [\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}]$
$2 \times A = 1 - \frac{1}{{729}} = \frac{{728}}{{729}}$
$A = \frac{{728}}{{729}}:2 = \frac{{364}}{{729}}$
Ví dụ 3:
Tính giá trị $A = \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + ..... + \frac{2}{{768}}$
Ta thấy mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số của phân số trước.
Ta có $2 \times A = 2 \times [\frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + .... + \frac{2}{{768}}]$
$2 \times A = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + .... + \frac{2}{{384}}$
$2 \times A - A = \left[ {\frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + .... + \frac{2}{{384}}} \right] - \left[ {\frac{2}{3} + \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{24}} + .... + \frac{2}{{768}}} \right]$
$A = \frac{4}{3} - \frac{2}{{768}} = \frac{{511}}{{384}}$
Loại 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n [n > 0]; mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu số phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu số phân số liền sau
Phương pháp giải
Tử số bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số. Ta tách như sau:
Ví dụ: $\frac{1}{{2 \times 3}} = \frac{{3 - 2}}{{2 \times 3}} = \frac{3}{{2 \times 3}} - \frac{2}{{2 \times 3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{2}{{3 \times 5}} = \frac{{5 - 3}}{{3 \times 5}} = \frac{5}{{3 \times 5}} - \frac{3}{{3 \times 5}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$
Ví dụ 1:
$A = \frac{1}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, + \,\,\frac{1}{{3\, \times \,4}}\,\, + \,\,\frac{1}{{4\, \times \,5}}\,\, + \,\frac{1}{{5\, \times \,6}}$
$A = \frac{{3\, - \,2}}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, + \,\,\frac{{4\, - \,3}}{{3\, \times \,4}}\,\, + \,\,\frac{{5\, - \,4}}{{4\, \times \,5}}\,\, + \,\frac{{6\, - \,5}}{{5\, \times \,6}}$
\= $\frac{3}{{2\,\, \times \,\,3}}\,\, - \,\,\frac{2}{{2\, \times \,3}}\,\, + \,\,\frac{4}{{3\, \times \,4}}\,\, - \frac{3}{{3\, \times \,4}} + \,\,\frac{5}{{4\, \times \,5}}\,\, - \,\,\frac{4}{{4\, \times \,5}} + \,\frac{6}{{5\, \times \,6}}\,\, - \,\,\frac{5}{{5\, \times \,6}}$
\= $\frac{1}{2}\,\, - \,\frac{1}{3}\,\, + \,\,\frac{1}{3}\,\, - \,\,\frac{1}{4}\,\, + \,\,\frac{1}{4}\,\, - \,\,\frac{1}{5}\,\, + \,\,\frac{1}{5}\,\, - \,\frac{1}{6}$
\= \[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]
Ví dụ 2:
$B = \frac{3}{{2 \times 5}} + \frac{3}{{5 \times 8}} + \frac{3}{{8 \times 11}} + \frac{3}{{11 \times 14}}$
$B = \frac{{5 - 2}}{{2 \times 5}} + \frac{{8 - 5}}{{5 \times 8}} + \frac{{11 - 8}}{{8 \times 11}} + \frac{{14 - 11}}{{11 \times 14}}$
$ = \frac{5}{{2 \times 5}} - \frac{2}{{2 \times 5}} + \frac{8}{{5 \times 8}} - \frac{5}{{5 \times 8}} + \frac{{11}}{{8 \times 11}} - \frac{8}{{8 \times 11}} + \frac{{14}}{{11 \times 14}} - \frac{{11}}{{11 \times 14}}$
$ = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{14}}$
$ = \frac{1}{2} - \frac{1}{{14}} = \frac{3}{7}$
Bài tập áp dụng
Bài 1 :
Tính giá trị$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + .... + \frac{1}{{1024}}$
Bài 2 :
Tính giá trị\[A = \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{160}} + \frac{1}{{320}}\]
Bài 3 :
Tính giá trị của$C = \frac{3}{2}\,\, + \,\,\frac{3}{8}\,\, + \,\,\frac{3}{{32}}\,\, + \,\,\frac{3}{{128}}\,\, + \,\,\frac{3}{{512}}$
Bài 4 :
Tính giá trị của $D = \frac{5}{2}\,\, + \frac{5}{6}\,\, + \,\,\frac{5}{{18}}\,\, + \,\,\frac{5}{{54}}\,\, + \,\,\frac{5}{{162}}\,\, + \,\,\frac{5}{{486}}$
Bài 5 :
Tính nhanh$B = \frac{4}{{3\, \times \,7}}\,\, + \,\,\frac{4}{{7\, \times \,11}}\,\, + \,\,\frac{4}{{11\, \times \,15}}\,\, + \,\frac{4}{{15\, \times \,19}}\,\, + \,\,\frac{4}{{19\, \times \,23}}\,\, + \,\frac{4}{{23\, \times \,27}}$
Bài 6 :
Tính nhanh$C = \frac{4}{{3\, \times \,6}}\,\, + \,\,\frac{4}{{6\, \times \,9}}\, + \,\frac{4}{{9\, \times \,12}}\, + \,\frac{4}{{12\, \times \,15}}$
Bài 7 :
Tính nhanh$D = \frac{7}{{1\, \times \,5}}\,\, + \,\,\frac{7}{{5\, \times \,9}}\,\, + \,\frac{7}{{9\, \times \,13}} + \,\frac{7}{{13\, \times \,17}}\, + \,\frac{7}{{17\, \times \,21}}$
Bài 8 :
Tính nhanh$E = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + .... + \frac{1}{{110}}$