1. Lý thuyết góc ở tâm
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Ví dụ: \[\widehat {AOB}\] là góc ở tâm [hình $1$ ].
- Nếu \[{0^0} < \alpha < {180^0}\] thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.
- Nếu \[\alpha = {180^0}\] thì mỗi cung là một nửa đường tròn.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Ví dụ: \[\widehat {AOB} = \] số đo cung $AB$ [góc ở tâm chắn cung \[AB\]] [hình 1]
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \[{360^0}\] và số đo của cung nhỏ [có chung $2$ mút với cung lớn].
- Số đo của nửa đường tròn bằng \[{180^0}\] . Cả đường tròn có số đo \[{360^0}.\] Cung không có số đo \[{0^0}\] [cung có $2$ mút trùng nhau].
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì
sđ $\overparen{AB}= $ sđ $\overparen{AC} +$ sđ $\overparen{CB}$.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính số đo của góc ở tâm, tính số đo của cung bị chắn. So sánh các cung.
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức sau:
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \[{360^0}\] và số đo của cung nhỏ [có chung hai đầu mút với cung lớn].
- Số đo của nửa đường tròn bằng \[{180^0}.\] Cung cả đường tròn có số đo \[{360^0}.\]
- Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.
- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.
a] Đúng. Dựa vào cách so sánh hai cung [SGK trang 68].
Chú ý: Khi ta nói hai cung bằng nhau, nghĩa là hai cung này so sánh được [tức chúng cùng nằm trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau]. Do đó, theo cách so sánh hai cung đã biết thì hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.
b] Sai. Nếu hai cung này nằm trong hai đường tròn có bán kính khác nhau thì ta không thể so sánh hai cung.
c] Sai. [Lí luận như câu b]
d] Đúng. [Lí luận như câu a]
C. Hoạt động luyện tập
Câu 1: Trang 134 toán VNEN 9 tập 2
Thực hiện các hoạt động sau
Một bạn hỏi, một bạn trả lời, sau đó đổi vai cho nhau
a] Trả lời các câu hỏi sau
[1] Thế nào là góc ở tâm?
[2] Thế nào là số đo cung?
[3] Thế nào là góc nội tiếp?
[4] Thế nào là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn?
[5] Thế nào là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn?
[6] Thế nào là cung chứa góc $\alpha $ [$0^\circ < \alpha < 180^\circ$]
[7] Thế nào là tứ giác nội tiếp?
[8] Thế nào là đường tròn ngoại tiếp đa giác?
[9] Thế nào là đường tròn nội tiếp đa giác?
[10] Thế nào là hình quạt tròn?
b] Đố bạn phát biểu chính xác các tính chất sau
[1] Người ta so sánh hai cung trong một đường tròn [hay hai đường tròn bằng nhau] bằng cách $...$
[2] Khi điểm C $...$ thì $sd AC + sd CB = sd AB$.
[3] Số đo của cung $...$ số đo góc ở tâm chắn cung đó.
[4] Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp $...$ số đo cung bị chắn.
[5] Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung $...$ căng hai dây bằng nhau và ngược lại.
[6] Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây $...$ và ngược lại.
[7] Trong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai dây song song thì $...$
[8] Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì $.....$ dây căng cung ấy.
[9] Trong một đường tròn, đường kính qua trung điểm của một dây cung [không phải là đường kính] thì $....$ bằng nhau.
[10] Trong một đường tròn, đường kính đi qua $....$ thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
[11] Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng $....$ cung bị chắn.
[12] Trong một đường tròn:
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung $.............$
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì $....$
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì $.................$
- Góc nội tiếp [nhỏ hơn $90^\circ$] có số đo bằng $...........$ của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là $.........$ và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì $.........$ nửa đường tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì $.....$
[13] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng $............$ số đo hai cung bị chắn.
[14] Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng $...........$ số đo hai cung bị chắn.
[15] Tập hợp các điểm luôn nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc $\alpha $ không đổi [$0^\circ < \alpha < 180^\circ$] là $............$ dựng trên đoạn thẳng đó.
[16] Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ [hay 2v] thì $.............$ và ngược lại.
[17] Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $...........$
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh $.............$ góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều $............$ [mà ta có thể xác định được] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới $..........$
[18] Hình thanh nội tiếp đường tròn là $.............$ và ngược lại.
[19] Bất kì đa giác đều nào cũng có $............$ đường tròn ngoại tiếp, có $..............$ đường tròn nội tiếp
[20] Độ dài đường tròn [hay chu vi đường tròn] bán kính R, được tính theo công thức $.........$
[21] Với đường tròn bán kính R, độ dài l của cung $n^\circ$ được tính theo công thức $............$
[22] Diện tích hình tròn bán kính R, được tính theo công thức $.............$
[23] Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung $n^\circ$ được tính theo công thức $............$
a]
[1] Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm đường tròn.
[2] Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
[3] Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
[4] Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn và mỗi cạnh của góc thuộc một dây cung của đường tròn đó.
[5] Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn đó.
[6] Cung chứa góc $\alpha $ [$0^\circ < \alpha < 180^\circ$] là tập hợp các điểm M thỏa mãn $\widehat{AMB} = \alpha $ [AB là đoạn thẳng cho trước]
[7] Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn.
[8] Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.
[9] Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả cách cạnh của đa giác đó.
[10] Hình quạt tròn là hình giới hạn bởi cung MN và hai bán kính OM, ON.
b]
[1] So sánh hai cung trong một đường tròn [hay hai đường tròn bằng nhau] bằng cách: so sánh số đo của hai cung đó.
[2] Khi điểm C nằm trên cung AB thì $sd AC + sd CB = sd AB$.
[3] Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
[4] Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
[5] Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.
[6] Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại.
[7] Trong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
[8] Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
[9] Trong một đường tròn, đường kính qua trung điểm của một dây cung [không phải là đường kính] thì chia cung đó thành hai cung bằng nhau.
[10] Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây căng cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
[11] Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
[12] Trong một đường tròn:
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
- Góc nội tiếp [nhỏ hơn $90^\circ$] có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
[13] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
[14] Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
[15] Tập hợp các điểm luôn nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc $\alpha $ không đổi [$0^\circ < \alpha < 180^\circ$] là hai cung chứa góc $\alpha $ dựng trên đoạn thẳng đó.
[16] Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ [hay 2v] thì là tứ giác nội tiếp và ngược lại.
[17] Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định [mà ta có thể xác định được] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.
[18] Hình thanh nội tiếp đường tròn là hình thang cân và ngược lại.
[19] Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp
[20] Độ dài đường tròn [hay chu vi đường tròn] bán kính R, được tính theo công thức $2\pi R$
[21] Với đường tròn bán kính R, độ dài l của cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \frac{\pi R\times n}{180^\circ}$
[22] Diện tích hình tròn bán kính R, được tính theo công thức $\pi R^2$
[23] Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung $n^\circ$ được tính theo công thức $\frac{\pi R^2\times n}{360}$