Cho đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[M[x_0;y_0]\] và có hệ số góc \[k\]. Khi đó \[d\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow{u}=[1;k].\] Suy ra một vectơ pháp tuyến của \[d\] là \[\overrightarrow{n}=[k;-1].\] Do đó, phương trình tổng quát của \[d\] là \[k[x-x_0]-[y-y_0]=0.\]
Vậy ta có công thức phương trình đường thẳng \[d\] trong trường hợp này là \[y-y_0=k[x-x_0].\]
Ví dụ. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \[d\] biết \[d\] qua điểm \[M[1;-2]\] và có hệ số góc \[k=3.\]
Giải. Áp dụng công thức trên, phương tình tổng quát của \[d\] là: \[y+2=3[x-1] \Leftrightarrow y=3x-1.\]
Nhiều bạn gặp khó khăn khi nhớ khái niệm và cách tính hệ số góc của đường thẳng, làm cho việc làm bài tập trở nên khó khăn và đầy thách thức. Để giúp bạn vượt qua vấn đề này, Mytour sẽ chia sẻ kiến thức về hệ số góc cùng với các bài tập thực hành. Hãy cùng đọc và tham khảo ngay!
Phương trình hệ số góc giữa hai đường thẳng
Phần I. Điều Kiện Đặc Biệt Của Hệ Số Góc
Trong hệ tọa độ Oxy, góc α giữa trục Ox và đường thẳng được biểu diễn bằng tan α, chính là hệ số góc của đường thẳng [d].
* Trường Hợp Đặc Biệt: Nếu α = 90 độ [đường thẳng [d] vuông góc trục Ox], tan 90 độ không xác định, do đó trường hợp này không có hệ số góc. Điều Kiện 1: Phương trình đường thẳng [d] với hệ số góc k có dạng y = kx + b.
Điều Kiện 2****
Chú ý: Hai đường thẳng trùng nhau hoặc song song sẽ có hệ số góc bằng nhau.
II. Phương pháp tính hệ số góc của đường thẳng
Dạng tổng quát của đường thẳng [d] là Ax + By + C = 0. Nếu B ≠ 0 thì bạn có thể chuyển phương trình đường thẳng [d] sang dạng: y = kx + b.
Tính góc α tạo bởi đường thẳng d và chiều dương trục Ox.
Khi biết hệ số góc k của đường thẳng [d], bạn có thể dễ dàng tính góc α với công thức: k = tan α.
Hoặc:
Cho đường thẳng [d] cắt trục dương Ox tại M, tia Mt là phần trong đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ trục Ox mà điểm trên nửa mặt phẳng có tung độ dương. Lúc này, Mt hợp với Mx tạo ra góc α. Đặt k = tan α [k là hệ số góc đường thẳng d].
Vì vậy, hai đường thẳng song song sẽ có hệ số góc bằng nhau và hai đường thẳng vuông góc sẽ có tích của 2 hệ số góc bằng -1.
III. Bài tập ví dụ về tính hệ số góc của đường thẳng
Bài tập ví dụ 1: Cho đường thẳng [d] có phương trình 3y - 2x + 1 = 0, hãy xác định hệ số góc của đường thẳng [d], tính góc hợp bởi đường thẳng và chiều dương của trục Ox.
Giải:
Phương trình đường thẳng [d]: 3y - 2x + 1 = 0 3y = 2x - 1 y = 2x/3 - 1/3 Do đó, hệ số góc của đường thẳng [d] k = 2/3. Tan α = k nên α = arctan 2/3. Đáp án: Góc hợp bởi đường thẳng [d] và chiều dương trục Ox là arctan 2/3.
Bài tập ví dụ 2: Cho đường thẳng [d]: y = 3x + 5, đường thẳng [d']: y = 2x + 4. Tìm hệ số góc hai đường thẳng này
Giải: - Hệ số góc đường thẳng [d] là 3. - Hệ số góc đường thẳng [d'] là 2.
Bài tập ví dụ 3: Cho hàm số y = -3x + 6
- Vẽ đồ thị của hàm số.
- Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -3x + 6 với trục Ox.
Giải:
- Đồ thị hàm số: y = -3x + 6 - Khi x = 0 => y = 6, ta có điểm A[0;6] thuộc đồ thị hàm số. - Khi y = 0 => x = 2, ta có điểm B [2;0] thuộc đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số y = -3x + 6 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
- Tính góc Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = -3x +6 và trục Ox \=> α = góc ABx. Xét tam giác vuông AOB vuông tại O, ta có: Tan góc ABO = OA/OB = 6/2 = 3. \=> Góc ABO = 71 độ 33'. \=> Góc ABx = 180 độ - góc ABO = 101 độ 27'.
Kiến thức về hệ số góc của đường thẳng được học ở lớp 10 giúp giải được nhiều bài tập từ lớp 10 đến lớp 12. Nếu bạn quên công thức hoặc cách tính hệ số góc của đường thẳng, bạn có thể tham khảo bài viết này.
Bên cạnh đó, Mytour còn chia sẻ cách tính thể tích chỏm cầu để giúp bạn giải quyết các bài tập tính thể tích chỏm cầu một cách dễ dàng.
Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc và tăng trải nghiệm khách hàng. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng liên hệ tổng đài chăm sóc: 1900 2083 hoặc email: [email protected]
Ví dụ, đường thẳng $y = -x + 4$ thì hệ số góc của nó bằng $-1$, đường thẳng $y=2x$ thì có hệ số góc là $2$.
- Hệ số góc $a$ được tính bằng $\tan \alpha$ trong đó $\alpha$ chính là góc tạo bởi chiều dương trục $Ox$ và đường thẳng $d$ lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ [xem hình vẽ].
- Cụ thể hơn, chúng ta gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=ax+b$ với trục $Ox$, $B$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ và nằm phía trên trục $Ox$. Khi đó $\alpha=\widehat{BAx}$ được gọi là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$.
Phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
Đường thẳng đi qua điểm $M\left [ x_{0};y_{0} \right ]$ và có hệ số góc $k$ thì có phương trình là $$y-y_0=k[x-x_{0}]$$
Ví dụ. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M[3;5]$ và có hệ số góc $k=-2$ thì có phương trình $$y-5=-2[x-3]$$ hay $y=-2x-1$.
Các tính chất của hệ số góc
- Cho hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a’x+b’$:
- song song hoặc trùng nhau sẽ có cùng hệ số góc [$a=a’$]
- cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a’$
- vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$
- Cho đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$:
- Nếu $a> 0$ thì góc $\alpha$ là góc nhọn, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
- Nếu $a