Giải và biện luận các bất phương trình bậc 2
Thí dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a. 3x$^2$ - x - 2 ≤ 0. b. x$^2$ - 9x + 14 > 0.a Ta có ngay: 3x$^2$ - x - 2 ≤ 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits_{{x_1} = 1\,\,va\,\,{x_2} = - \frac{2}{3}}^{3{x^2} - x - 2 = 0\,\,co\,2\,nghiem} $ -$\frac{2}{3}$ ≤ x ≤ 1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{2}{3}$; 1].
b Ta có ngay: x$^2$ - 9x + 14 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x > 7\\x < 2\end{array} \right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; 2) ∪ (7; +∞).
Thí dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
Lưu ý: Như vậy, để tránh nhầm lẫn ta luôn chuyển bất phương trình về dạng có hệ số a dương.
Chú ý: Với bài toán "Giải và biện luận bất phương trình bậc hai" ta thực hiện như sau:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 (nếu có). Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0, thực hiện theo các bước:
Cách 1: Ta có Δ' = 1 - 6m. Xét ba trường hợp:
Kết luận:
Kết luận:
Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1, khi đó: (1) ⇔ – 4x - 3 > 0 ⇔ x < –$\frac{3}{4}$. Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Ta có: a = m – 1, Δ’ = (m + 1)$^2$ - 3(m – 2)(m – 1) = -2m$^2$ + 11m – 5. Bảng xét dấu:
Trường hợp 1: Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2. (1) ⇔ 0.x$^2$ + 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2. Trường hợp 2: Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. Khi đó: a. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $\Delta ' < 0$ ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 < 0 ⇔ m$^2$ - 4m + 3 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.$. Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi m < 1 hoặc m > 3. b. Để (1) có nghiệm điều kiện là: Δ’ ≥ 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 ≥ 0 ⇔ m$^2$ - 4m + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 3. Vậy, bất phương trình có nghiệm khi 1 ≤ m ≤ 3. c. Để (1) có đúng một nghiệm điều kiện là: Δ’ = 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 3. Vậy, bất phương trình có đúng một nghiệm khi m ∈{1, 2, 3}. d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: Δ’ > 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 > 0 ⇔ 1 < m < 3. Vậy, bất phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m ∈(1; 3)\{2}.Thí dụ 6. Cho phương trình: x$^2$ + 2(m - 1)x + m - 1 = 0. (1) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 1. Vô nghiệm. 2. Có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn: a. x$_1$, x$_2$ trái dấu. b. x$_1$, x$_2$ cùng dấu. c. x$_1$, x$_2$ dương. d. x$_1$, x$_2$ không dương.1. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $\Delta ' < 0$ ⇔ (m - 1)$^2$ - m + 1 < 0 ⇔ m$^2$ - 3m < 0 ⇔ 0 < m < 3. Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi 0 < m < 3. 2. Ta lần lượt: a. Để (1) có hai nghiệm trái dấu điều kiện là: a.f(0) < 0 ⇔ m - 1 < 0 ⇔ m < 1. Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Để (1) có hai nghiệm cùng dấu điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 0\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right.$ ⇔ m > 3. Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài. c. Để (1) có hai nghiệm phân biệt dương (0 < x$_1$ < x$_2$) điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m > 0\\m - 1 > 0\\1 - m > 0\end{array} \right.$, vô nghiệm. Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.Lưu ý: Nếu biết nhận xét rằng S và P trái dấu thì khẳng định ngay vô nghiệm. d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt không dương (x$_1$ < x$_2$ ≤ 0) điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P \ge 0\\ S < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 3m > 0\\ m - 1 \ge 0\\ 1 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} m > 3\,\,hoac\,\,m < 0\\ m \ge 1\\ m > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3$.Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài. |