Giải sbt toán 11 phương trình lượng giác cơ bản năm 2024
VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp, tài liệu kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hữu ích để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo. Giải SBT Toán 11 bài 3Bài 3.1 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau
Giải: a) cos2x−sinx−1=0 ⇔1−2sin2x−sinx−1=0 ⇔sinx(2sinx+1)=0 b) cosxcos2x=1+sinxsin2x ⇔cosxcos2x−sinxsin2x=1 ⇔cos3x=1⇔3x=k2π ⇔x=k2π/3, k∈Z c) 4sinxcosxcos2x=−1 ⇔2sin2xcos2x=−1 ⇔sin4x=−1 ⇔4x=−π/2+k2π, k∈Z ⇔x=−π/8+kπ/2, k∈Z d) tanx=3cotx. Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Ta có: tanx=3/tanx ⇔tan2x=3 ⇔tanx=±√3 ⇔x=±π/3+kπ, k∈Z Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 3.2 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau
Giải: a) sinx+2sin3x=−sin5x ⇔sin5x+sinx+2sin3x=0 ⇔2sin3xcos2x+2sin3x=0 ⇔2sin3x(cos2x+1)=0 ⇔4sin3xcos2x=0 b) cos5xcosx=cos4x ⇔1/2(cos6x+cos4x)=cos4x ⇔cos6x=cos4x ⇔6x=±4x+k2π,k∈Z ⇔[2x=k2π,k∈Z;10x=k2π,k∈Z⇔[x=kπ, k∈Z;x=kπ/5, k∈Z Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập {l.π/5, l∈Z} ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: x=kπ5,k∈Z c) sinxsin2xsin3x=1/4sin4x ⇔sinxsin2xsin3x=1/2sin2xcos2x ⇔sin2x(cos2x−2sinxsin3x)=0 ⇔sin2xcos4x=0 d) sin4x+cos4x=−1/2cos22x ⇔(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=−1/2cos22x ⇔1−1/2sin22x+1/2cos22x=0 ⇔1+1/cos4x=0 ⇔cos4x=−2 Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm). Bài 3.3 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau
Giải: a) 3cos2x−2sinx+2=0 ⇔3(1−sin2x)−2sinx+2=0 ⇔3sin2x+2sinx−5=0 ⇔(sinx−1)(3sinx+5)=0 ⇔sinx=1 ⇔x=π/2+k2π,k∈Z b) 5sin2x+3cosx+3=0 ⇔5(1−cos2x)+3cosx+3=0 ⇔5cos2x−3cosx−8=0 ⇔(cosx+1)(5cosx−8)=0 ⇔cosx=−1 ⇔x=(2k+1)π,k∈Z c) sin6x+cos6x=4cos22x ⇔(sin2x+cos2x)3−3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)=4cos22x ⇔1−3/4sin22x=4cos22x ⇔1−3/4(1−cos22x)=4cos22x ⇔13/4cos22x=1/4 ⇔13(1+cos4x/2)=1 ⇔1+cos4x=2/13 ⇔cos4x=−11/13 ⇔4x=±arccos(−11/13)+k2π, k∈Z ⇔x=±14arccos(−11/13)+kπ/2, k∈Z d) −1/4+sin2x=cos4x ⇔−1/4+1−cos2x/2=1+cos2x/2)2⇔−1+2−2cos2x=1+2cos2x+cos22x ⇔cos22x+4cos2x=0 ⇔[cos2x=0;cos2x=−4 (Vônghiệm) ⇔2x=π/2+kπ, k∈Z ⇔x=π/4+k.π/2, k∈Z Bài 3.4 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau
Giải
Ta có 2tanx−3/tanx−2=0 ⇔2tan2x−2tanx−3=0 ⇔tanx=1±√7/2 Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình
Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: 1=6tanx+3(1+tan2x) ⇔3tan2x+6tanx+2=0 ⇔tanx=−3±√3/3
Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó: (1)⇔cosx/sinx−cos2x/sin2x=sinx/cosx+1 ⇔2cos2x−cos2x=2sin2x+sin2x ⇔2(cos2x−sin2x)−cos2x=sin2x ⇔cos2x=sin2x ⇔tan2x=1 ⇒2x=π/4+kπ, k∈Z ⇒x=π/8+k.π/2, k∈Z(1) Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình Bài 3.5 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau
Giải
Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được: 1+2tanx+5tan2x=2(1+tan2x) ⇔3tan2x+2tanx−1=0
Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x=π/2+kπ, k∈Z Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được: 3−4tanx+tan2x=1+tan2x ⇔4tanx=2 ⇔tanx=1/2 ⇔x=arctan1/2+kπ, k∈Z Vậy nghiệm của phương trình là x=π/2+kπ, k∈Z và x=arctan1/2+kπ, k∈Z
Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: 4−3tanx+3tan2x=1+tan2x ⇔2tan2x−3tanx+3=0 Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm Bài 3.6 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau
Giải a) 2cosx−sinx=2 ⇔√5(2/√5cosx−1/√5.sinx)=2 Kí hiệu α là góc mà cosα=2/√5 và sinα=−1/√5, ta được phương trình cosαcosx+sinαsinx=2/√5 ⇔cos(x−α)=cosα ⇔x−α=±α+k2π,k∈Z ⇔[x=2α+k2π,k∈Z;x=k2π,k∈Z b) sin5x+cos5x=−1 ⇔√2(√2/2sin5x+√2/2cos5x)=−1 ⇔cosπ/4sin5x+sinπ/4cos5x=−√2/2 ⇔sin(5x+π/4)=sin(−π/4) c) 8cos4x−4cos2x+sin4x−4=0 ⇔8(1+cos2x/2)2−4cos2x+sin4x−4=0 ⇔2(1+2cos2x+cos22x)−4cos2x+sin4x−4=0 ⇔2cos22x+sin4x−2=0 ⇔1+cos4x+sin4x−2=0 ⇔cos4x+sin4x=1 ⇔sin(4x+π/4)=sin.π/4 d) sin6x+cos6x+1/2sin4x=0 ⇔(sin2x+cos2x)3−3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)+1/2sin4x=0 ⇔1−3sin2xcos2x+1/2sin4x=0 ⇔1−3(sin2x/2)2+1/2sin4x=0 ⇔1−3/4.sin22x+1/2sin4x=0 ⇔1−3/4.1−cos4x/2+1/2sin4x=0 ⇔8−3+3cos4x+4sin4x=0 ⇔3cos4x+4sin4x=−5 ⇔3/5cos4x+4/5sin4x=−1 Kí hiệu α là cung mà sinα=3/5,cosα=4/5 ta được: ⇔sin(4x+α)=−1 ⇔4x+α=3π/2, k∈Z ⇔x=3π/8−α/4+k.π/2, k∈Z Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải các phương trình sau:
Giải:
Ta có: 1−sin2x=(sinx−cosx)2; 2cos2x=2(cos2x−sin2x) \=−2(sinx−cosx)(sinx+cosx) Vậy (1)⇔(sinx−cosx)(1+sinx−cosx−2sinx−2cosx)=0 ⇔(sinx−cosx)(1−sinx−3cosx)=0 trong đó, cosα=3/√10, sinα=1/√10
Điều kiện sinx ≠ 0 (2)⇔(sinx−sin2x)+(1/sin2x−1/sinx)=0 ⇔sinx(1−sinx)+1−sinx/sin2x=0 ⇔(1−sinx)(sin3x+1)=0 ⇔[sinx=1;sinx=−1⇒x=π/2+kπ, k∈Z (thỏa mãn điều kiện)
Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó, (3)⇔cosxsin3x=cos3xsin5x ⇔1/2(sin4x+sin2x)=1/2(sin8x+sin2x) ⇔sin8x=sin4x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x=kπ,k∈Z và x=π/12+k.π/6, k∈Z
Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó, (4)⇔2(tan2x+cot2x)+3(tanx+cotx)+2=0 ⇔2[(tanx+cotx)2−2]+3(tanx+cotx)+2=0 Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình 2t2+3t−2=0⇒t=−2,t=1/2 Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2 ⇔tan2x+2tanx+1=0⇒tanx=−1 ⇒x=−π/4+kπ, k∈Z (thỏa mãn điều kiện) Với t=1/2 ta có tanx+cotx=1/2⇔2tan2x−tanx+2=0 Phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x=−π/4+kπ, k∈Z Bài 3.8 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Giải phương trình cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x Giải Hướng dẫn: Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t. Cách 1: Điều kiện của phương trình: sin2x≠0⇔cos2x≠±1 (1) Ta có: cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x ⇔cosx/sinx−sinx/cosx+4sin2x−2/sin2x=0 ⇔cos2x−sin2x/sinx.cosx+4sin2x−2/sin2x=0 ⇔2cos2x/sin2x+4sin2x−2/sin2x=0 ⇔2cos2x+4sin22x−2=0 ⇔cos2x+2(1−cos22x)−1=0 ⇔2cos22x−cos2x−1=0 ⇔[cos2x=1(loại);cos2x=−1;2 ⇔2x=±2π/3+k2π, k∈Z ⇔x=±π/3+kπ, k∈Z Cách 2. Đặt t = tanx Điều kiện t ≠ 0 Phương trình đã cho có dạng 1/t−t+4.2t/1+t2=1+t2/t ⇔1−t2/t+8t/1+t2−1+t2/t=0 ⇔1−t4+8t2−(1+t2)2=0 ⇔−2t4+8t2−2t2=0 ⇔t4−3t2=0 ⇒t2(t3−3)=0 ⇔[t=0(loại do(2));t=±√3 tanx=±√3⇔x=±π/3+kπ, k∈Z ------- Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải. |