"Не согласен с тезисами, высказанными В. В. Путиным в ходе обращения 21 февраля 2022 года. Не поддерживаю его инициативы, не считаю что в данном случае он вправе говорить от имени народа России."Подпишите, пожалуйста, петицию.
[Please sign the petition]
Giải các hệ phương trình tuyến tính bằng Phép khử Gauss, Ma trận nghịch đảo, hay định lí Cramer. Ngoài ra bạn có thể tính số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng định lý Rouche Capelli.
Nhập hệ số của hệ phương trình vào các trường đầu vào. Bỏ trống cho các ô hệ số bằng 0. Để nhập phân số dùng /: 1/3.
- 2x-2y+z=-3 x+3y-2z=1 3x-y-z=2
- Để các ô trống để nhập các ma trận không vuông.
- Bạn có thể sử dụng phân số thập phân [hữu hạn và vô hạn tuần hoàn]: 1/3, 3,14, -1,3[56] hoặc 1,2e-4; hoặc các biểu thức số học: 2/3+3*[10-4], [1+x]/y^2, 2^0,5 [=2], 2^[1/3], 2^n, sin[phi] hoặc cos[3,142rad].
- Dùng ↵ Enter, Space, ←↑↓→, ⌫ và Delete để di chuyển giữa các ô, Ctrl⌘ Cmd+C/Ctrl⌘ Cmd+V để sao chép ma trận.
- Kéo và thả các ma trận từ kết quả, hoặc thậm chí từ / đến một ma trận đang nhập.
- Để tìm hiểu thêm về ma trận sử dụng Wikipedia.
hoặc là Use decimal keyboard on mobile phones
Ma trận nghịch đảo là gì? Cách tìm ma trận nghịch đạo bằng cách giải hệ phương trình nhanh nhất
1. Ma trận nghịch đảo là gì
Ma trận nghịch đảo là thuật ngữ trong đại số tuyến tính. Cùng tìm hiểu định nghĩa ma trận nghịch đảo là gì và cách tính như thế nào qua bài viết sau nhé.
Ma trận không có dấu phân số nên bạn cần sử dụng ma trận nghịch đảo để đơn giản hóa phép toán phức tạp này. Có hai cách tính ma trận nghịch đảo là tính tay và dùng máy tính giúp cho kết quả chính xác hơn. Cùng khám phá định nghĩama trận nghịch đảo là gìvà cách tính chi tiết trong bài viết sau nhé.
2. Cách tính ma trận nghịch đảo
Trước khi tìm hiểu cách tính ma trận nghịch đảo, ta cần nắm đượcma trận nghịch đảo là gì. Điều này giúp bạn hiểu rõ bản chất và áp dụng chính xác vào các bài toán giải tích phức tạp. Cụ thể định nghĩa ma trận nghịch đảo như sau:
Ma trận nghịch đảo 2x2
Cách tính ma trận nghịch đảo 2x2 theo phương pháp sử dụng ma trận phụ hợp [phép khử Gauss-Jordan] thực hiện như sau:
Phương pháp này có 4 bước tính.
Ma trận nghịch đảo 3x3
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tạo ma trận bổ sung:
Bước 1:Kiểm tra định thức của ma trận, ký hiệu là det[M].
Bước 2:Chuyển vị ma trận gốc tức là đổi vị trí của phần tử thứ [i,j] và chỗ của phần tử [j,i] với nhau.
Bước 3:Tìm định thức của từng ma trận con 2x2 liên kết với ma trận chuyển vị 3x3 mới.
Bước 4:Tạo ma trận các phần phụ đại số, ký hiệu là Adj[M].
Bước 5:Thực hiện phép chia của toàn bộ các phần tử của ma trận bổ sung với định thức của ma trận là det[M].
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giảm hàng tuyến tính
Bước 1:Thực hiện thêm ma trận đơn vị vào trong ma trận gốc
Bước 2:Tiến hành phép giảm hàng tuyến tính và thực hiện đến khi ma trận đơn vị được hình thành
Bước 3:Viết lại ma trận nghịch đảo cho chuẩn xác
Ma trận nghịch đảo 4x4
Đối với ma trận 4x4 thì cách tính được áp dụng phổ biến hơn cả là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp. Cụ thể như sau:
3. Phương pháp Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình
Giả sử ma trậnAkhả nghịch [khôngsuy biến] khi đố tồn tại ma trận nghịch đảoA−1, ngoài các phép biến đổi sơ cấp hay tìm ma trận nghịch đảo theo công thức của ma trận phụ hợp ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình:
Xét hệ phương trình tuyến tính
Ta biết rằng nghiệm của hệ phương trình này xác định bởi
Vì vậy nếu tìm được nghiệm của hệ phương trình dạng
Câu 1.Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Xét hệ
Câu 2.Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Xét hệ
Câu 3:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Xét hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ này bằng biến đổi ma trận hệ số mở rộng:
Phương pháp ma trận Các giải pháp SLAEđược áp dụng để giải các hệ phương trình trong đó số phương trình tương ứng với số ẩn số. Phương pháp này được sử dụng tốt nhất để giải các hệ thống bậc thấp. Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính dựa trên việc áp dụng các tính chất của phép nhân ma trận.
Bằng cách này, nói cách khác phương pháp ma trận nghịch đảo,được gọi như vậy, vì nghiệm được rút gọn thành phương trình ma trận thông thường, đối với nghiệm mà bạn cần tìm ma trận nghịch đảo.
Phương pháp giải ma trận SLAE có yếu tố xác định lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0 như sau:
Giả sử có một SLE [hệ phương trình tuyến tính] với nẩn số [trên một trường tùy ý]:
Do đó, có thể dễ dàng chuyển nó thành dạng ma trận:
AX = B, ở đâu MỘT- ma trận chính của hệ thống, NS và NS- cột thành viên miễn phí và giải pháp của hệ thống, tương ứng:
Chúng tôi nhân phương trình ma trận này ở bên trái với A −1- ma trận nghịch đảo với ma trận Đáp: A −1 [AX] = A −1 B.
Tại vì A −1 A = E, có nghĩa, X = A −1 B... Vế bên phải của phương trình cho cột nghiệm của hệ ban đầu. Điều kiện để có thể áp dụng phương pháp ma trận là tính không đồng nhất của ma trận MỘT... Điều kiện cần và đủ cho điều này là bất đẳng thức về 0 của định thức của ma trận MỘT:
detA ≠ 0.
Vì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, I E. nếu vectơ B = 0, quy tắc ngược lại nắm giữ: hệ thống AX = 0 chỉ có một giải pháp không tầm thường [tức là không bằng không] khi detA = 0... Mối liên hệ này giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất được gọi là thay thế cho Fredholm.
Như vậy, nghiệm của SLAE theo phương pháp ma trận được thực hiện theo công thức
Người ta biết rằng ma trận vuông MỘTđặt hàng n trên n có một ma trận nghịch đảo A −1 chỉ khi định thức của nó khác không. Do đó, hệ thống n phương trình đại số tuyến tính với nẩn số chỉ được giải bằng phương pháp ma trận nếu định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0.
Mặc dù thực tế là có những hạn chế về khả năng sử dụng phương pháp này và có những khó khăn trong tính toán đối với các giá trị lớn của hệ số và hệ thống bậc cao, phương pháp này có thể dễ dàng thực hiện trên máy tính.
Một ví dụ về giải quyết SLAE không đồng nhất.
Trước tiên, chúng ta hãy kiểm tra xem yếu tố quyết định của ma trận hệ số cho các SLAE chưa biết có bằng không hay không.
Bây giờ chúng tôi tìm thấy ma trận đồng minh, chuyển nó và thay nó vào công thức xác định ma trận nghịch đảo.
Thay các biến vào công thức:
Bây giờ chúng ta tìm ẩn số bằng cách nhân ma trận nghịch đảo và cột các số hạng tự do.
Vì thế, x = 2; y = 1; z = 4.
Khi chuyển từ dạng SLAE thông thường sang dạng ma trận, hãy cẩn thận với thứ tự của các biến chưa biết trong phương trình của hệ thống. Ví dụ:
KHÔNG THỂ viết thành:
Đầu tiên, cần phải sắp xếp thứ tự các biến chưa biết trong mỗi phương trình của hệ thống và chỉ sau đó tiến hành ký hiệu ma trận:
Ngoài ra, bạn cần phải cẩn thận với việc chỉ định các biến không xác định, thay vì x 1, x 2, ..., x n có thể có các chữ cái khác. Ví dụ:
ở dạng ma trận, chúng tôi viết nó như thế này:
Tốt hơn nên sử dụng phương pháp ma trận để giải các hệ phương trình tuyến tính trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ không bằng không. Khi có nhiều hơn 3 phương trình trong hệ, sẽ cần nhiều nỗ lực tính toán hơn để tìm ma trận nghịch đảo, do đó, trong trường hợp này, nên sử dụng phương pháp Gauss để giải.
Phương trình nói chung, phương trình đại số tuyến tính và hệ của chúng, cũng như các phương pháp giải chúng, chiếm một vị trí đặc biệt trong toán học, cả lý thuyết và ứng dụng.
Điều này là do thực tế là phần lớn các bài toán vật lý, kinh tế, kỹ thuật và thậm chí cả sư phạm đều có thể được mô tả và giải bằng cách sử dụng nhiều phương trình và hệ thống của chúng. Gần đây, mô hình toán học đã trở nên phổ biến đặc biệt trong các nhà nghiên cứu, nhà khoa học và thực hành trong hầu hết các lĩnh vực chủ đề, điều này được giải thích bởi những ưu điểm rõ ràng của nó so với các phương pháp đã biết và đã được thử nghiệm khác để nghiên cứu các đối tượng có bản chất khác nhau, cụ thể là cái gọi là các hệ thống phức tạp. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về mô hình toán học được các nhà khoa học đưa ra vào những thời điểm khác nhau, nhưng theo chúng tôi, thành công nhất là phát biểu sau đây. Một mô hình toán học là một ý tưởng được thể hiện bằng một phương trình. Vì vậy, khả năng lập và giải các phương trình và hệ thống của chúng là một đặc điểm không thể thiếu của một chuyên gia hiện đại.
Để giải hệ phương trình đại số tuyến tính, các phương pháp thường được sử dụng là: Cramer, Jordan-Gauss và phương pháp ma trận.
Phương pháp giải ma trận - một phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức khác không bằng ma trận nghịch đảo.
Nếu chúng ta viết ra các hệ số cho các giá trị chưa biết xi trong ma trận A, các giá trị chưa biết được thu thập trong cột vectơ X và các số hạng tự do trong cột vectơ B, thì hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được viết ở dạng phương trình ma trận sau AX = B, có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận A không bằng 0. Trong trường hợp này, lời giải của hệ phương trình có thể được tìm thấy theo cách sau NS = MỘT-1 · NS, ở đâu MỘT-1 là nghịch đảo của ma trận.
Phương pháp giải ma trận như sau.
Cho một hệ phương trình tuyến tính với n không xác định:
Nó có thể được viết lại dưới dạng ma trận: CÂY RÌU = NS, ở đâu MỘT- ma trận chính của hệ thống, NS và NS- cột thành viên miễn phí và giải pháp của hệ thống, tương ứng:
Chúng tôi nhân phương trình ma trận này ở bên trái với MỘT-1 - ma trận nghịch đảo với ma trận MỘT: MỘT -1 [CÂY RÌU] = MỘT -1 NS
Tại vì MỘT -1 MỘT = E, chúng tôi nhận được NS= A -1 NS... Vế phải của phương trình này sẽ cho cột nghiệm của hệ ban đầu. Điều kiện để có thể áp dụng phương pháp này [cũng như nói chung để tồn tại một nghiệm cho một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn số] là tính không đồng nhất của ma trận MỘT... Điều kiện cần và đủ cho điều này là bất đẳng thức về 0 của định thức của ma trận MỘT: det MỘT≠ 0.
Đối với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nghĩa là, khi vectơ NS = 0 , thực sự thì điều ngược lại là đúng: hệ thống CÂY RÌU = 0 có một giải pháp không tầm thường [nghĩa là khác không] chỉ khi det MỘT= 0. Mối liên hệ này giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất được gọi là phương án Fredholm.
Thí dụ nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất.
Hãy đảm bảo rằng định thức của ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số của hệ phương trình đại số tuyến tính không bằng không.
Bước tiếp theo là tính toán phần bổ sung đại số cho các phần tử của ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số. Chúng sẽ cần thiết để tìm ma trận nghịch đảo.
Cho có một ma trận vuông bậc n
Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảođối với ma trận A, nếu A * A -1 = E, trong đó E là ma trận nhận dạng bậc n.
Ma trận đơn vị- một ma trận vuông như vậy, trong đó tất cả các phần tử dọc theo đường chéo chính đi từ góc trên bên trái sang góc dưới bên phải là các phần tử và phần còn lại là số không, ví dụ:
ma trận nghịch đảo có thể tồn tại chỉ dành cho ma trận vuông những thứ kia. cho những ma trận có cùng số hàng và số cột.
Để một ma trận có một ma trận nghịch đảo, điều cần thiết và đủ là nó không suy biến.
Ma trận A = [A1, A2, ... A n] được gọi là không thoái hóa nếu các vectơ cột là độc lập tuyến tính. Số vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận được gọi là hạng của ma trận. Do đó, chúng ta có thể nói rằng để tồn tại một ma trận nghịch đảo, cần và đủ rằng hạng của ma trận bằng số chiều của nó, tức là r = n.
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
- Viết ma trận A vào bảng giải hệ phương trình theo phương pháp Gauss và bên phải [thay cho vế phải của phương trình] gán ma trận E.
- Sử dụng phép biến đổi Jordan, giảm ma trận A thành ma trận bao gồm các cột đơn vị; trong trường hợp này, cần phải biến đổi đồng thời ma trận E.
- Nếu cần, hãy sắp xếp lại các hàng [phương trình] của bảng cuối cùng để dưới ma trận A của bảng ban đầu chúng ta nhận được ma trận đơn vị E.
- Viết nghịch đảo của ma trận A -1 nằm trong bảng cuối cùng dưới ma trận E của bảng ban đầu.
Đối với ma trận A, hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1
Giải: Chúng ta viết ra ma trận A và ở bên phải chúng ta gán ma trận nhận dạng E. Sử dụng các phép biến đổi Jordan, chúng ta giảm ma trận A thành ma trận nhận dạng E. Các phép tính được hiển thị trong bảng 31.1.
Hãy kiểm tra tính đúng đắn của phép tính bằng cách nhân ma trận gốc A và ma trận nghịch đảo A -1.
Theo kết quả của phép nhân ma trận, ma trận đơn vị thu được. Do đó, các tính toán là chính xác.
Bài giải:
Giải phương trình ma trận
Phương trình ma trận có thể có dạng:
AX = B, XA = B, AXB = C,
trong đó A, B, C là các ma trận xác định, X là ma trận bắt buộc.
Phương trình ma trận được giải bằng cách nhân phương trình với ma trận nghịch đảo của nó.
Ví dụ, để tìm một ma trận từ một phương trình, bạn nhân phương trình đó với bên trái.
Do đó, để tìm một nghiệm của phương trình, bạn cần tìm ma trận nghịch đảo và nhân nó với ma trận ở vế phải của phương trình.
Các phương trình khác được giải tương tự.
Giải phương trình AX = B nếu
Dung dịch: Vì nghịch đảo của ma trận là [xem ví dụ 1]
Phương pháp ma trận trong phân tích kinh tế
Cùng với những người khác, họ cũng tìm thấy ứng dụng trong phương pháp ma trận... Các phương pháp này dựa trên đại số tuyến tính và vectơ-ma trận. Những phương pháp như vậy được sử dụng để phân tích các hiện tượng kinh tế phức tạp và đa chiều. Thông thường, các phương pháp này được sử dụng khi cần đánh giá so sánh về hoạt động của các tổ chức và các đơn vị cơ cấu của chúng.
Trong quá trình áp dụng phương pháp phân tích ma trận, có thể phân biệt một số giai đoạn.
Ở giai đoạn đầu tiên một hệ thống các chỉ tiêu kinh tế được hình thành và trên cơ sở nó, một ma trận dữ liệu ban đầu được tổng hợp, là một bảng trong đó các số của hệ thống được thể hiện trên các dòng riêng biệt của nó. [i = 1,2, ...., n] và dọc theo các cột dọc - số lượng các chỉ số [j = 1,2, ...., m].
Trong giai đoạn thứ haiđối với mỗi cột dọc, giá trị lớn nhất có sẵn của các chỉ số được hiển thị, được coi là một đơn vị.
Sau đó, tất cả số tiền được phản ánh trong cột này được chia cho giá trị lớn nhất và một ma trận các hệ số chuẩn hóa được hình thành.
Trong giai đoạn thứ ba tất cả các phần hợp thành của ma trận là bình phương. Nếu chúng có ý nghĩa khác nhau, thì mỗi chỉ số của ma trận được gán một hệ số trọng số nhất định k... Giá trị của sau này được xác định bởi đánh giá của chuyên gia.
Cuối cùng, giai đoạn thứ tư giá trị tìm thấy của xếp hạng R jđược nhóm theo thứ tự tăng hoặc giảm.
Ví dụ, các phương pháp ma trận được phác thảo nên được sử dụng trong phân tích so sánh các dự án đầu tư khác nhau, cũng như trong việc đánh giá các chỉ tiêu kinh tế khác về hoạt động của các tổ chức.
Xem xét hệ phương trình đại số tuyến tính[SLAE] liên quan đến n không xác định NS 1 , NS 2 , ..., NS n :
Hệ thống này ở dạng "thu gọn" có thể được viết như sau:
NS n i = 1 Một ij NS NS = b tôi , i = 1,2, ..., n.
Theo quy tắc nhân ma trận, hệ phương trình tuyến tính đã xét có thể được viết trong dạng ma trận Ax = b, ở đâu
Ma trận MỘT, các cột là hệ số của ẩn số tương ứng và các hàng là hệ số của ẩn số trong phương trình tương ứng được gọi là ma trận hệ thống... Ma trận cột NS, các phần tử là vế phải của các phương trình của hệ, được gọi là ma trận của vế phải hay đơn giản là bên phải của hệ thống... Ma trận cột NS , các phần tử của nó là ẩn số chưa biết, được gọi là giải pháp hệ thống.
Hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng Ax = b, là một phương trình ma trận.
Nếu ma trận hệ thống không sinh ra, sau đó nó có một ma trận nghịch đảo và sau đó là giải pháp cho hệ thống Ax = bđược đưa ra bởi công thức:
x = A -1 NS.
Thí dụ Giải quyết hệ thống
Dung dịch tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận các hệ số của hệ thống
Hãy tính định thức, mở rộng dọc theo dòng đầu tiên:
Trong chừng mực Δ ≠ 0 , sau đó MỘT -1 tồn tại.
Ma trận nghịch đảo đã được tìm thấy một cách chính xác.
Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống
Kể từ đây, NS 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Kiểm tra:
7. Định lý Kronecker-Capelli về sự tương thích của một hệ phương trình đại số tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính giống như:
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, [5.1]
a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.
Ở đây cho trước a i j và b i [i =; j =] và x j là các số thực chưa biết. Sử dụng khái niệm tích ma trận, chúng ta có thể viết lại hệ thống [5.1] dưới dạng:
trong đó A = [a i j] là ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số của hệ [5.1], được gọi là ma trận hệ thống, X = [x 1, x 2, ..., x n] T, B = [b 1, b 2, ..., b m] T lần lượt là vectơ cột gồm ẩn số x j và số hạng tự do b i.
Bộ sưu tập đã đặt hàng n các số thực [c 1, c 2, ..., c n] được gọi là giải pháp hệ thống[5.1] nếu, do kết quả của việc thay các số này thay cho các biến tương ứng x 1, x 2, ..., x n, mỗi phương trình của hệ chuyển thành một đồng nhất số học; nói cách khác, nếu tồn tại vectơ C = [c 1, c 2, ..., c n] T sao cho AC B.
Hệ thống [5.1] được gọi là chung, hoặc tan, nếu cô ấy có ít nhất một giải pháp. Hệ thống được gọi là không nhất quán hoặc không hòa tan nếu nó không có giải pháp.
được tạo thành bằng cách gán cột các số hạng tự do cho ma trận A từ bên phải, được gọi là hệ thống ma trận mở rộng.
Câu hỏi về tính tương thích của hệ thống [5.1] được giải quyết bằng định lý sau.
Định lý Kronecker-Capelli ... Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán nếu và chỉ khi bậc của ma trận A và A trùng nhau, nghĩa là, r [A] = r [A] = r.
Đối với tập M các nghiệm của hệ [5.1], có ba khả năng xảy ra:
1] M = [trong trường hợp này, hệ thống là không nhất quán];
2] M bao gồm một phần tử, tức là hệ thống có một giải pháp duy nhất [trong trường hợp này, hệ thống được gọi là chắc chắn];
3] M gồm nhiều hơn một phần tử [khi đó hệ có tên là không xác định]. Trong trường hợp thứ ba, hệ thống [5.1] có vô số nghiệm.
Hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi r [A] = n. Trong trường hợp này, số phương trình không nhỏ hơn số ẩn số [mn]; nếu m> n, thì m-n phương trình là hệ quả của các phương trình khác. Nếu 0