Giá trị nhỏ nhất của |z 2 7 24i
|
Chú ý công thức ||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁ – z₂|. Show II. Bài tập áp dụngBài tập 1: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2|^2-|z-i|^2.$ Tìm môđun của số phức $w= M+mi$. Bài giải: Ta có $|z-3-4i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=5 ; (C)$ Tính toán ta được $P=|z+2|^2-|z-i|^2= 4x+2y+3.$ Xét đường thẳng $d: 4x+2y+3-P=0.$ Đường thẳng d và đường tròn (C) có điểm chung khi và chỉ khi $d(I; d)\leq R \Leftrightarrow |23-P|\leq 10 \Leftrightarrow 13\leq P\leq 33.$ Vậy $M=33$; $m=13.$ Khi đó $w=33+13i$ nên $|w|=\sqrt{1248}.$ Bài tập 2: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z^2-2z+5|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$. Tính $\min |w|$ với số phức $w=z-2+2i.$ Bài giải: Ta có $z^2-2z+5=(z-1)^2+4=(z-1)^2-(2i)^2 =(z-1+2i)(z-1-2i).$ Khi đó, giả thiết $ \Leftrightarrow |(z-1+2i)(z-1-2i)|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}z=1-2i \\|z-1-2i|=|z+3i-1|\end{array}\right.$ TH1: Với z=1-2i, ta có w=z-2+2i=-1. Vậy $|w|=1$. TH2: Với $|z-1-2i|=|z+3i-1|$ (*), đặt z=x+yi, ta có $(*)\Leftrightarrow |x-1+(y-2)i|=|x-1+(y+3)i|$ $\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=(x-1)^2+(y+3)^2 \Leftrightarrow y=\frac{-1}{2}$ Do đó $w=z-2+2i=x-\frac{1}{2}i-2+2i=x-2+\frac{3}{2}i \Rightarrow |w|=\sqrt{(x+2)^2+\frac{9}{4}}\geq \frac{3}{2}.$ Vậy $\min |w|=\frac{3}{2}.$ Bài tập 3: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|z+1|+2|z-1|$. Bài giải: Gọi $z=x+yi \Rightarrow M(x; y).$ Và $A(-1; 0), B(1;0)$. Ta có $|z|=1 \Rightarrow |x+yi|=1 \Leftrightarrow x^2+y^2=1.$ $\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính AB.  $\Rightarrow MA^2+MB^2=AB^2=4.$ Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có $T=MA + 2MB \leq \sqrt{(1^2+2^2)(MA^2+MB^2)}=\sqrt{5.4}=2\sqrt{5}$. Vậy $Max T= 2\sqrt{5}.$ Bài tập 4: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-2-4i|=\sqrt{5}.$ Tìm Max $|z|$; $\min |z|$. Bài giải: Vì $|z-2-4i|=\sqrt{5}$ nên tập hợp các điểm $M(z)$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;4)$ và bán kính $R=\sqrt{5}.$ Vậy $Max |z|=OM=OI+R=\sqrt{2^2+4^2}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$ $\min |z|=ON=OI-R=sqrt{2^2+4^2}-\sqrt{5}=\sqrt{5}.$ Bài tập 5: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-5i|\leq 3.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất. Bài giải: Tập hợp các điểm $M(z)$ là hình tròn $(C)$ tâm $I(0;5)$ và bán kính R=3. Vậy số phức z có môđun nhỏ nhất là $z=2i.$
$\begingroup$
How do I find all complex numbers $z$ such that : $$z^2=7−24i$$ I don't even know where to begin please help. The $z^2$ throws me off. $\endgroup$ 1
|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp. Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O: Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1) 2. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất? Hướng dẫn: Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi| Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8 Cách tìm số phức: + Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là: + Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là: Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu? A. 0. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn: Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi. Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2 Chọn đáp án C. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết: A. √2 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn: Ta có: Chọn đáp án B. Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|. A. 2 B. √2 C. 2√2 D. √2 Hướng dẫn: Ta có: 1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2 Chọn đáp án là D Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|. Hướng dẫn: Ta có: |x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i| ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2 ⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y Chọn đáp án A. Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là? A. z = -2 + 2i B. z = 2 - 2i C. z = 2 + 2i D. z = -2 - 2i Hướng dẫn: Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có: |x - 2 - 4(y - 4)i| = |x + (y - 2)x| ⇔ y = -x + 4 Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0 Mặt khác: Chọn đáp án C. Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| A. √2 B. 1 C. 2 D. √5 - 1 Hướng dẫn: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1. Do đó min |z| = OI − r = √5 − 1. Chọn đáp án là D. Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2√5 B. 3√2 C. √6 D. 5√2 Hướng dẫn: Gọi z = x + yi khi đó z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i Ta có: Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ: Dễ thấy O ∈ (C), N(-1; -1) ∈ (C) Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (c) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: W = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i Suy ra |z + 1 + i| đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (c) ⇔ I là trung điểm MN => M(3; -3) => z = 3 - 3i Cách 2: (giải thuần đại số) Đặt z = x + yi(x, y ∈ R) thì |z - 1 + 2i| = √5 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 (1) |w|2 = |z + 1 + i|2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 4x - 2y - 3 = 4x - 2y + 2 (do (1)) Dấu “=” của (2) xảy ra Như vậy do |w| đạt giá trị lớn nhất nên x = -3, y = -3. Từ đó |z| = 3√2. Chọn B. Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m Hướng dẫn: Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì: Theo giả thiết: 4MA + 3MB = 2√2. Đặt a = MA Chọn đáp án là C. Được cập nhật: hôm kia lúc 4:19:41 | Lượt xem: 3885
18/06/2021 214
D. ±(4-3i)Đáp án chính xác
Chọn D. Gọi số phức cần tìm là a+biCÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u=z+2+3iz-i là một số thuần ảo. Là một đường tròn tâm I(a;b). Tính tổng a + b Xem đáp án » 18/06/2021 2,525
Cho số phức z thỏa mãn (1-3i)z+1+i=-z. Môđun của số phức w=13z+2i có giá trị bằng: Xem đáp án » 18/06/2021 1,864
Trong mặt phẳng Oxy, M,N,P là tọa độ điểm biểu diễn của số phức z1=-5+6i;z2=-4-i;z3=4+3i Tọa độ trực tâm H của tam giác MNP là: Xem đáp án » 18/06/2021 800
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M,N,P là điểm biểu diễn của 3 số phức: z1=8+3i; z2=1+4i; z3=5+xi.Với giá trị nào của x thì tam giác MNP vuông tại P? Xem đáp án » 18/06/2021 640
Tìm phần ảo của số phức z, biết z¯=(2+i)2(1-2i): Xem đáp án » 18/06/2021 568
Cho các số phức z1=1; z2=2+2i; z3=-1+3i được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là M,N,P, các điểm này lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác EFH. Tọa độ trọng tâm G của tam giác EFH là: Xem đáp án » 18/06/2021 486
Cho số phức z thỏa mãn: 2+iz+2(1+2i)1+i=7+8i (1) Chọn đáp án sai? Xem đáp án » 18/06/2021 469
Tính căn bậc hai của 1+43i Xem đáp án » 18/06/2021 381
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện -2+i(z-1)=5. Phát biểu nào sau đây là sai: Xem đáp án » 18/06/2021 373
Cho số phức z=x+yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn z-3z-1+2i=1và biểu thức P=z2-z-2+i(z2-z-2)z(1-i)+z¯(1+i). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là: Xem đáp án » 18/06/2021 300
Cho số phức z thỏa mãn z+i+1=z¯-2i. Giá trị nhỏ nhất của z là: Xem đáp án » 18/06/2021 250
Cho số phức z=(1-2i)(4-3i)-2+8i. Cho các phát biểu sau: (1) Modun của z là một số nguyên tố (2) z có phần thực và phần ảo đều âm (3) z là số thuần thực (4) Số phức liên hợp của z có phần ảo là 3i Số phát biểu sai là: Xem đáp án » 18/06/2021 234
Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z-i≥3 và z-1≤5 . Gọi z1,z2∈T lần lượt là các số phức có môdun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z1+2z2 Xem đáp án » 18/06/2021 199
Mệnh đề nào dưới đây là sai ? Xem đáp án » 18/06/2021 138
Cho số phức z, biết (2z-1)(1+i)+(z¯+1)(1-i)=2-2i. Tìm số phức liên hợp của số phức w=3z-3i Xem đáp án » 18/06/2021 124
|
