Kiến thức cần nhớ
Công thức nghiệm thu gọn
- Biệt thức ∆'
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] và b = 2b’ ta có biệt thức như sau:
∆'= b'2-ac
Ta sửa dụng biết thức ∆'để giải phương trình bậc hai.
- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] có b = 2b’ và biệt thức ∆'= b’2 - ac
+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là
x1=-b+∆'a; x2=-b+∆'a
+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép là
x1=x2=-ba
+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ minh họa
Câu 1: Nghiệm của phương trình x2 + 100x + 2500 = 0 là?
- 50
- -50
- ± 50
- ± 100
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án B.
Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] có biệt thức Δ = b2 - 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
- Δ < 0
- Δ = 0
- Δ ≥ 0
- Δ ≤ 0
Lời giải:
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] và biệt thức Δ = b2 - 4ac
• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm
• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x1 \= x2 \=
• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 \=
Chọn đáp án A.
Bài 1: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
- 4x2 + 4x + 1 = 0 ;
- 13852x2 – 14x + 1 = 0;
- 5x2 – 6x + 1 = 0;
- −3x2+46x+4=0
Lời giải
- 4x2+4x+1=0
Có a = 4; b’ = 2; c = 1;
Δ’ = [b’]2 – ac = 22 – 4.1 = 0
Phương trình có nghiệm kép là:
x1=x2=−b'a=−24=−12
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=−12
- 13852x2−14x+1=0
Có a = 13852; b’ = -7; c = 1;
Δ’ = [b’]2 – ac = [-7]2 – 13852.1 =49 – 13852 = -13803 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
- 5x2−6x+1=0
Có: a = 5; b’ = -3; c = 1;
Δ’ = [b’]2 – ac = [-3]2 – 5.1 = 9 – 5 = 4 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b'+Δ'a=3+45=3+25=1
x2=−b'−Δ'a=3−45=3−25=15
Vậy phương trình đã cho có nghiệm S=15;1
- −3x2+46x+4=0
a = -3; b’ = 26; c = 4
Δ'=b'2−ac=262−−3.4=36 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−b'+Δ'a=−26+36−3=−26+6−3=−6+263
x2=−b'−Δ'a=−26−36−3=−26−6−3=6+263
Vậy phương trình đã cho có nghiệm S=−6+263;6+263
Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b'x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai]:
- 3x2 – 2x = x2 + 3;
- [2x - √2]2 – 1 = [x + 1][x – 1];
- 3x2 + 3 = 2[x + 1];
- 0,5x[x + 1] = [x – 1]2.
Lời giải
- 3x2 – 2x = x2 + 3
⇔ 3x2 – 2x – x2 – 3 = 0
⇔ 2x2 – 2x – 3 = 0 [*]
Có a = 2; b’ = -1; c = -3; Δ’ = b’2 – ac = [-1]2 – 2.[-3] = 7 > 0
Phương trình [*] có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b'+Δ'a=1+72≈1,82
x2=−b'−Δ'a=1−72≈−0,82
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=1−72;1+72
b]2x−22 – 1 = [x + 1][x – 1];
⇔ 4x2 – 2.2x.2 + 2 – 1 = x2 – 1
⇔ 4x2 – 2.22.x + 2 – 1 – x2 + 1 = 0
⇔ 3x2 – 2.22.x + 2 = 0
Có: a = 3; b’ = -22; c = 2; Δ’ = b’2 – ac =−222 – 3.2 = 8 – 6 = 2 > 0
Vì Δ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=−b'+Δ'a=22+23=323=2≈1,41
x2=−b'−Δ'a=22−23=23≈0,47
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=2;23
- 3x2 + 3 = 2[x + 1]
⇔ 3x2 + 3 = 2x + 2
⇔ 3x2 + 3 – 2x – 2 = 0
⇔ 3x2 – 2x + 1 = 0
Phương trình có a = 3; b’ = -1; c = 1; Δ’ = b’2 – ac = [-1]2 – 3.1 = -2 < 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
- 0,5x[x + 1] = [x – 1]2
⇔ 0,5x2 + 0,5x = x2 – 2x + 1
⇔ x2 – 2x + 1 – 0,5x2 – 0,5x = 0
⇔ 0,5x2 – 2,5x + 1 = 0
⇔ x2 – 5x + 2 = 0
Có a = 1; b’ = −52; c = 2;Δ'=b'2−ac=−522−1.2=254−2=174 > 0
Vì Δ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=−b'+Δ'a=52+1741=5+172≈4,56
x2=−b'−Δ'a=52−1741=5−172≈0,44
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=5+172;5−172
Bài 3: Đố: Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x?
Lời giải
Ta có: ax2+bx+c=ax2+bax+c
\= ax2+2.x.b2a+b2a2−b2a2+c
\= ax+b2a2−b24a2+c
\= ax+b2a2−b24a+c
\=ax+b2a2−b2−4ac4a
Ta có: a > 0 [giả thuyết] và x+b2a2≥0 với mọi x, a, b
⇒ax+b2a2≥0 với mọi a > 0; x, b tùy ý. [1]
Phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm nên:
Δ=b2−4ac 0 nên b2−4ac4a0 [2]
Từ [1] và [2] ta có:
ax2+bx+c=ax+b2a2−b2−4ac4a>0 với mọi x.
Bài 4: Giải các phương trình:
- 25x2 – 16 = 0;
- 2x2 + 3 = 0;
- 4,2x2 + 5,46x = 0;
- 4x2 - 2√3.x = 1 - √3.
Lời giải
Cách 1:
- 25x2 – 16 = 0
⇔5x2−42=0
⇔5x−45x+4=0
⇔5x−4=05x+4=0
⇔5x=45x=−4
⇔x=45x=−45
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=45;−45.
- 2x2 + 3 = 0
Ta có: a = 2; b = 0; c = 3
Δ=b2−4.a.c=02−4.2.3=−24 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b+Δ2a=−5,46+5,4622.4,2=0
x2=−b−Δ2a=−5,46−5,4622.4,2=−1310
Vậy phương trình đã cho có nghiệm S=0;−1310.
- 4x2 - 23.x = 1 - 3
⇔4x2−23x−1+3=0
Ta có: a = 4; b’ = −3; c = -1 + 3
Δ'=b'2−ac=−32−4.−1+3
⇔ Δ'=7−43=22−2.2.3+32
⇔Δ'=2−32 > 0 ⇒Δ'=2−32=2−3
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−b'+Δ'a=3+2−34=24=12
x2=−b'−Δ'a=3−2+34=23−24=3−12
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=3−12;12
Bài 5: Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi [xem Toán 7, Tập 2, tr.26]:
Lời giải
- x2 = 12x + 288
⇔ x2 – 12x – 288 = 0
Có a = 1; b’ = -6; c = -288; Δ’ = b’2 – ac = [-6]2 – 1.[-288] = 324 > 0
Phương trình có hai nghiệm:
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 24 và x2 = -12.
⇔ x2 + 7x = 228
⇔ x2 + 7x – 228 = 0
Có a = 1; b = 7; c = -228; Δ = b2 – 4ac = 72 – 4.1.[-228] = 961 > 0
Phương trình có hai nghiệm:
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 12 và x2 = -19.
Bài 6: Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải
- Phương trình 15x2 + 4x – 2005 = 0 có a = 15; c = -2005 trái dấu
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Phương trình có ; c = 1890 trái dấu
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 7: Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:
v = 3t2 -30t + 135
[t tính bằng phút, v tính bằng km/h]
- Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.
- Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h [làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai].
Lời giải
- Tại t = 5, ta có: v = 3.52 – 30.5 + 135 = 60 [km/h]
- Khi v = 120 km/h
⇔ 3t2 – 30t + 135 = 120
⇔ 3t2 – 30t + 15 = 0
Có a = 3; b’ = -15; c = 15; Δ’ = b’2 – ac = [-15]2 – 3.15 = 180
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vì rada quan sát chuyển động của ô tô trong 10 phút nên t1 và t2 đều thỏa mãn.
Vậy tại t = 9,47 phút hoặc t = 0,53 phút thì vận tốc ô tô bằng 120km/h.
Bài 8: Cho phương trình [ẩn x] x2 – 2[m – 1]x + m2 = 0.
- Tính Δ'.
- Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.
Lời giải
- Phương trình x2 – 2[m – 1]x + m2 = 0 [1]
Có a = 1; b’ = -[m – 1]; c = m2
⇒ Δ’ = b'2 – ac = [1 – m]2 – 1.m2 = 1 – 2m + m2 – m2 = 1 – 2m.
- Phương trình [1]:
+ Vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – 2m < 0 ⇔ 2m > 1 ⇔ m >
+ Có nghiệm kép ⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m =
+ Có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ 2m < 1 ⇔ m <
Vậy: Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khi m < ; có nghiệm kép khi m = và vô nghiệm khi m >
Xem thêm các dạng bài tập khác:
50 Bài tập Công thức nghiệm của phương trình bậc hai [có đáp án năm 2024]
30 Bài tập về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai [2024]
Công thức nghiệm [2024]
40 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai [2024]
50 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai [có đáp án năm 2024]