Giả bài toán bàn cách công thức nghiệm thu gọn năm 2024

1900.edu.vn xin giới thiệu: Công thức nghiệm thu gọn Toán 9. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 9, giải bài tập Toán 9 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nghiệm thu gọn

1. Biệt thức ∆'

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’ ta có biệt thức như sau:

∆'= b'2-ac

Ta sửa dụng biết thức ∆'để giải phương trình bậc hai.

2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’ và biệt thức ∆'= b’2 - ac

+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

x1=-b+∆'a; x2=-b+∆'a

+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

x1=x2=-ba

+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ minh họa

Câu 1: Nghiệm của phương trình x2 + 100x + 2500 = 0 là?

1. 50

2. -50

3. ± 50

4. ± 100

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 - 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

1. Δ < 0

2. Δ = 0

3. Δ ≥ 0

4. Δ ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x1 \= x2 \=

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 \=

Chọn đáp án A.

Bài 1: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

1. 4x2 + 4x + 1 = 0 ;

2. 13852x2 – 14x + 1 = 0;

3. 5x2 – 6x + 1 = 0;

4. −3x2+46x+4=0

Lời giải

1. 4x2+4x+1=0

Có a = 4; b’ = 2; c = 1;

Δ’ = (b’)2 – ac = 22 – 4.1 = 0

Phương trình có nghiệm kép là:

x1=x2=−b'a=−24=−12

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=−12

2. 13852x2−14x+1=0

Có a = 13852; b’ = -7; c = 1;

Δ’ = (b’)2 – ac = (-7)2 – 13852.1 =49 – 13852 = -13803 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

3. 5x2−6x+1=0

Có: a = 5; b’ = -3; c = 1;

Δ’ = (b’)2 – ac = (-3)2 – 5.1 = 9 – 5 = 4 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b'+Δ'a=3+45=3+25=1

x2=−b'−Δ'a=3−45=3−25=15

Vậy phương trình đã cho có nghiệm S=15;1

4. −3x2+46x+4=0

a = -3; b’ = 26; c = 4

Δ'=b'2−ac=262−−3.4=36 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=−b'+Δ'a=−26+36−3=−26+6−3=−6+263

x2=−b'−Δ'a=−26−36−3=−26−6−3=6+263

Vậy phương trình đã cho có nghiệm S=−6+263;6+263

Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b'x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

1. 3x2 – 2x = x2 + 3;

2. (2x - √2)2 – 1 = (x + 1)(x – 1);

3. 3x2 + 3 = 2(x + 1);

4. 0,5x(x + 1) = (x – 1)2.

Lời giải

1. 3x2 – 2x = x2 + 3

⇔ 3x2 – 2x – x2 – 3 = 0

⇔ 2x2 – 2x – 3 = 0 (*)

Có a = 2; b’ = -1; c = -3; Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 – 2.(-3) = 7 > 0

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b'+Δ'a=1+72≈1,82

x2=−b'−Δ'a=1−72≈−0,82

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=1−72;1+72

b)2x−22 – 1 = (x + 1)(x – 1);

⇔ 4x2 – 2.2x.2 + 2 – 1 = x2 – 1

⇔ 4x2 – 2.22.x + 2 – 1 – x2 + 1 = 0

⇔ 3x2 – 2.22.x + 2 = 0

Có: a = 3; b’ = -22; c = 2; Δ’ = b’2 – ac =−222 – 3.2 = 8 – 6 = 2 > 0

Vì Δ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=−b'+Δ'a=22+23=323=2≈1,41

x2=−b'−Δ'a=22−23=23≈0,47

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=2;23

3. 3x2 + 3 = 2(x + 1)

⇔ 3x2 + 3 = 2x + 2

⇔ 3x2 + 3 – 2x – 2 = 0

⇔ 3x2 – 2x + 1 = 0

Phương trình có a = 3; b’ = -1; c = 1; Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 – 3.1 = -2 < 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

4. 0,5x(x + 1) = (x – 1)2

⇔ 0,5x2 + 0,5x = x2 – 2x + 1

⇔ x2 – 2x + 1 – 0,5x2 – 0,5x = 0

⇔ 0,5x2 – 2,5x + 1 = 0

⇔ x2 – 5x + 2 = 0

Có a = 1; b’ = −52; c = 2;Δ'=b'2−ac=−522−1.2=254−2=174 > 0

Vì Δ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=−b'+Δ'a=52+1741=5+172≈4,56

x2=−b'−Δ'a=52−1741=5−172≈0,44

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=5+172;5−172

Bài 3: Đố: Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của x?

Lời giải

Ta có: ax2+bx+c=ax2+bax+c

\= ax2+2.x.b2a+b2a2−b2a2+c

\= ax+b2a2−b24a2+c

\= ax+b2a2−b24a+c

\=ax+b2a2−b2−4ac4a

Ta có: a > 0 (giả thuyết) và x+b2a2≥0 với mọi x, a, b

⇒ax+b2a2≥0 với mọi a > 0; x, b tùy ý. (1)

Phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm nên:

Δ=b2−4ac<0

Do a > 0 nên b2−4ac4a<0

⇒−b2−4ac4a>0 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

ax2+bx+c=ax+b2a2−b2−4ac4a>0 với mọi x.

Bài 4: Giải các phương trình:

1. 25x2 – 16 = 0;

2. 2x2 + 3 = 0;

3. 4,2x2 + 5,46x = 0;

4. 4x2 - 2√3.x = 1 - √3.

Lời giải

Cách 1:

1. 25x2 – 16 = 0

⇔5x2−42=0

⇔5x−45x+4=0

⇔5x−4=05x+4=0

⇔5x=45x=−4

⇔x=45x=−45

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=45;−45.

2. 2x2 + 3 = 0

Ta có: a = 2; b = 0; c = 3

Δ=b2−4.a.c=02−4.2.3=−24<0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. 4,2x2 + 5,46x = 0

Ta có: a = 4,2; b = 5,46; c = 0

Δ=b2−ac=5,462−4.4.2.0=5,462 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+Δ2a=−5,46+5,4622.4,2=0

x2=−b−Δ2a=−5,46−5,4622.4,2=−1310

Vậy phương trình đã cho có nghiệm S=0;−1310.

4. 4x2 - 23.x = 1 - 3

⇔4x2−23x−1+3=0

Ta có: a = 4; b’ = −3; c = -1 + 3

Δ'=b'2−ac=−32−4.−1+3

⇔ Δ'=7−43=22−2.2.3+32

⇔Δ'=2−32 > 0 ⇒Δ'=2−32=2−3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1=−b'+Δ'a=3+2−34=24=12

x2=−b'−Δ'a=3−2+34=23−24=3−12

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S=3−12;12

Bài 5: Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (xem Toán 7, Tập 2, tr.26):

Lời giải

1. x2 = 12x + 288

⇔ x2 – 12x – 288 = 0

Có a = 1; b’ = -6; c = -288; Δ’ = b’2 – ac = (-6)2 – 1.(-288) = 324 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 24 và x2 = -12.

⇔ x2 + 7x = 228

⇔ x2 + 7x – 228 = 0

Có a = 1; b = 7; c = -228; Δ = b2 – 4ac = 72 – 4.1.(-228) = 961 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 12 và x2 = -19.

Bài 6: Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

1. Phương trình 15x2 + 4x – 2005 = 0 có a = 15; c = -2005 trái dấu

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

2. Phương trình có ; c = 1890 trái dấu

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 7: Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:

v = 3t2 -30t + 135

(t tính bằng phút, v tính bằng km/h)

1. Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.

2. Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải

1. Tại t = 5, ta có: v = 3.52 – 30.5 + 135 = 60 (km/h)

2. Khi v = 120 km/h

⇔ 3t2 – 30t + 135 = 120

⇔ 3t2 – 30t + 15 = 0

Có a = 3; b’ = -15; c = 15; Δ’ = b’2 – ac = (-15)2 – 3.15 = 180

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vì rada quan sát chuyển động của ô tô trong 10 phút nên t1 và t2 đều thỏa mãn.

Vậy tại t = 9,47 phút hoặc t = 0,53 phút thì vận tốc ô tô bằng 120km/h.

Bài 8: Cho phương trình (ẩn x) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0.

1. Tính Δ'.

2. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.

Lời giải

1. Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 (1)

Có a = 1; b’ = -(m – 1); c = m2

⇒ Δ’ = b'2 – ac = (1 – m)2 – 1.m2 = 1 – 2m + m2 – m2 = 1 – 2m.

2. Phương trình (1):

+ Vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – 2m < 0 ⇔ 2m > 1 ⇔ m >

+ Có nghiệm kép ⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m =

+ Có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ 2m < 1 ⇔ m <

Vậy: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m < ; có nghiệm kép khi m = và vô nghiệm khi m >

Xem thêm các dạng bài tập khác:

50 Bài tập Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024)

30 Bài tập về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (2024)

Công thức nghiệm (2024)

40 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai (2024)

50 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024)