De thi toán cao cấp 1 có lời giải
Mời các bạn cùng tham khảo bộ bài tập ôn thi môn Toán cao cấp mà Hoc247.VN đã tổng hợp dưới đây. Bộ câu hỏi bao gồm nhiều câu được tổng hợp từ các chương và được sưu tầm với hình thức ôn thi tự luận. Mỗi câu hỏi đều có gợi ý trả lời chi tiết sẽ giúp các bạn củng cố lại kiến thức. Chúc các bạn ôn thi thật tốt. Show
BÀI SỐ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT1. Tìm một hệ nghiệm cơ bản và nghiệm tổng quát của các hệ PTTT thuần nhấtsau2 2 1 2 3 2 2 3 3 3 1 3 2 3 4 0. 2 3 4 5 03 4 5 6 01 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 33 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0h h h h h h h h h x y z t a x y z t x y z t Biến trụ : x,yBiến tự do:z,t+2 3 4 02 3 0x y z t y z t - Cho z=0,t=1 x=2,y=-3Nghiệm cơ bản:- Cho z=1,t=0 x=1,y=-2Nghiệm cơ bản:+ Nghiệm tổng quát hệ thuần nhất :b.02 03 2 2 0x y z t x y z t x y z t 2 2 1 2 3 2 3 3 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 13 2 2 1 0 1 1 2 0 0 0 1h h h h h h h h h Biến trụ :x,y,tBiến tự do :z+- Cho z=1→x=0,y=-1,t=0Nghiệm cơ bản :+ Nghiệm tổng quát hệ thuần nhất :2. Tìm nghiệm tổng quát của hê PTTT không thuần nhất sau:a.2 4 3 13 6 3 4 22 5 2 4x y z t x y z t x y z t 2 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 2 4 3 1 1 2 4 3 1 1 2 4 3 13 6 3 4 2 0 0 9 5 5 0 0 9 5 51 2 5 2 4 0 0 9 5 5 0 0 0 0 0h h h h h h h h h Biến trụ :x,zBiến tư do :y,t+ Nghiệm cơ bản :- Cho y=0,t=- Cho y=1,t=+ Nghiệm tổng quát hệ thuần nhất:+ Nghiệm riêng:- Cho y=t=Nghiệm tổng quát hệ không thuần nhất:x=b.1 2 3 1 2 3 1 2 3 22 14 5x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 2, 2 2 4 2 1 2 64 4 2 4 1 41 1 2 1 1 2 1 1 14 1 2 6; 2 4 2 12 2 1 4 122 1 4 4 2 4 4 1 26 1; 12 2; 1226 6 6x y zb x y zx y zx x x Bài 1. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua cơ sở của hệ véc tơ: a) A 1 1, 3 ; A 2 5, 2 ; A 3 1, 0 ; A 4 2,1 .b) A 1 2,1, 1 ; A 2 1, 0, 2 ; A 3 0,1, 3 ; A 4 1, 2, 4 .Bài 1. Cho hệ véc tơ S A 1 1,1, 2 ; A 2 1, 2, 0 ; A 3 1, 0, 0 ; A 4 3, 4, 4 . Chứngminh hệ S 1 A A A 1 ,, 2 3 là một cơ sở của S. Hãy chỉ ra một cơ sở S 2 của S khác S 1. Bài 1. Cho ví dụ một cơ sở (khác cơ sở chính tắc) của không gian véc tơ 3 và tìm tọa độ của véc tơ X 2, 1, 3 qua cơ sở đó. Bài 1. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ: 1 2 3 4 5 1 2 1 3 3 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 0 , 1 1 2 2 1 A A A A A trong đó Aj là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.
Bài 1.* Trong không gian 3 ,cho hai hệ véc tơ: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ,, ,, ,, A x x x S B y y y C z z z và 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , , , , , A x x x x S B y y y y C z z z z Chứng minh rằng, nếu hệ S độc lập tuyến tính thì hệ S cũng độc lập tuyến tính và nếu hệ S phụ thuộc tuyến tính thì hệ S cũng phụ thuộc tuyến tính. Bài 1.* Cho AB , là các véc tơ trong không gian n. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng:
tuyến tính.
CHỦ ĐỀ 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC Bài 2. Cho hai ma trận: 2 1 3 1 3 4 1 0 2 2 1 2 AB ;.
b) Tìm các ma trận X , Y biết rằng: A 3 X B ;.2 2 A B Y Y 3 A 5 BBài 2. Cho các ma trận: 2 1 1 1 1 21331230 1 0 2 2 3 1 2 4 A ; B ; C. a) Tính AC C B ; ( 22 ); A B C T .b) Tìm ma trận X biết rằng: X 20 AT B 12 xBài 2. Cho ví dụ về các ma trận AB , thỏa mãn:
Bài 2. Tính định thức của các ma trận sau:
b) 1 0 3 2 2 1 2 4 1 ; c) 3 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 3 1 1 3 1 Bài 2. Sử dụng các tính chất của định thức, hãy giải thích tại sao các định thức sau có giá trị bằng 0? a) 1 3 0 1 5 0 1 3 0 ; b) 2 1 1 0 0 0 3 5 4 ; c) 2 3 1 1 0 1 3 5 2 ; d) 1 3 1 1 0 2 1 3 3 ; e) 2 1 1 1 0 3 2 1 2 1 1 1 3 5 4 2 . Bài 2. Giải các phương trình sau:
x ; x b) 12 21 3 1 1 5 1 1 13 x x . Bài 2. Tìm để mỗi ma trận sau không suy biến:
b) 13 02 3 1 2 . Bài 2. Cho các ma trận: 2 1 1 1 3 0 2 1 2 A ; 2 1 1 0 1 3 B ; 11 21 03 C. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
Bài 2. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau: a) A 1 0 3 1, , ; A 2 5 3 1, , ; A 3 1 2 0, , .b) A 1 0 1 2 3, , , ; A 2 3 2 3 0, , , ; A 3 5 3 4 3, , ,.c) A 1 2 1 3 0 0, , , , ; A 2 3 1 1 2 1, , , , ; A 3 1 0 2 2 0, , , , ; A 4 4 1 1 4 2, , , , .d) A 1 3 5 1 7, , , , A 2 1 3 3 5, , , , A 3 3 2 5 1, , , , A 4 2 3 0 4, , , , A 5 5 4 7 1, , , .Bài 2. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với mỗi hệ véc tơ sau: a) A 1 2 1 4, , ; A 2 3 6 5, , ; A 3 9 3 7, , .b) A 1 1 2 1, , ; A 2 0 1 2, , ; A 3 1 4 1, , ; A 4 1 4 3, , ; A 5 1 5 1, , .c) A 1 2 1 0 2, , , ; A 2 1 2 1 3, , , ; A 3 1 4 3 5, , , .d) A 1 2 7 1 4, , , , A 2 3 2 0 1, , , , A 3 5 1 1 5, , , , A 4 3 8 2 3, , , , A 5 3 1 1 3, , , .
Bài 2. Bảng dưới đây cho biết định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm các loại của một doanh nghiệp: Loại vật liệu Định mức vật liệu cho các loại sản phẩm P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 R 1 3 1 2 2 1 R 2 1 2 0 1 3 R 3 2 3 1 2 4 Ký hiệu Pjj ,, 15 là véc tơ thể hiện định mức vật liệu cho 1 đơn vị sản phẩm thứ j. a) Sử dụng phương pháp khử toàn phần, chứng tỏ rằng B P P P 234 ,, là một cơ sở của Pjj ,, 15 .
50 đơn vị sản phẩm P 4 , không sản xuất sản phẩm P 1 và P 5.
thay đổi như thế nào? Số đơn vị sản phẩm P 5 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu? Bài 2. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho hai ma trận 0 3 2 1 3 1 1 3 5 2 0 4 1 2 2 1 AX , trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại j , xj cho trong ma trận X là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định sản xuất ij 1 3, ; 1 4, .
phần, tìm biểu diễn tuyến tính của A 3 qua hệ véc tơ A A A 1 ,, 2 4 và nêu ý nghĩa kinhtế. c) Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu được tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượng các loại sản phẩm còn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm loại 3 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu? Bài 2. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 5 loại sản phẩm. Biết định mức của 3 loại vật liệu dùng để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận: 2 4 1 3 5 2 2 3 1 3 1 1 4 3 4 A với aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i cần để sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm loại j ij 1 3, ; 1 5, ; xj là số đơn vị sản phẩm loại j mà hãng dự định sảnxuất.
phần, chứng minh hệ véc tơ B A A A 1 ,, 3 4 là một cơ sở của hệ Ajj : 15 , .
Bài 2. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận: 2 1 1 2 1 1 A 4 1 2 , B 1 1 1 , 322102 2 0 3 với a ij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trung gian loại j , bjk cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k i 1, 4; , j k 1, 3 .
c) Kí hiệu Ajj 13 , là véc tơ cột thứ j của ma trận A. Tính 32 A 1 A 2 A 3 và nêu ýnghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm được. d) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB. Bài 2: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian sản xuất 5 loại thành phẩm. Cho các ma trận: 3 1 0 1 2 0 2 1 2 1 1 ; 3 2 1 3 4 104 2 0 1 1 3 4 0 2 AB Trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trung gian j và bjk cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian j dùng để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm k. Cho Y 0 10 15 5 T là véc tơ số đơn vị sảnphẩm trung gian hãng dự định sản xuất.
sản xuất số lượng sản phẩm trung gian Y 0. b) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính. Bài 2.* Cho hệ véc tơ: S A 1 1 1 2, , ; A 2 0 1 1, , ; A 3 2 1 1, , ; A 4 3 3 2, , ; A 5 2 1 3, , .a) Chứng tỏ rằng hệ véc tơ B A A A 1 ,, 2 3 là một cơ sở của S.b) Hệ véc tơ , A A A 1 3 , 5 có phải là một cơ sở của S hay không? Vì sao?
det B 0. Chứng minh rằng A là ma trận không khả nghịch. Bài 2.* Cho A là ma trận vuông cấp 3, biết AA 12 3 tính A. Bài 2.* Cho A là ma trận vuông cấp 2021 thỏa mãn AA 1 . Tính AI . Bài 2.* Cho ma trận 17 6 35 12 A. Tính A 6. Bài 2.* Tính định thức của các ma trận sau: a) 1 2 3 223 333 ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n n n n n b) 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n a ax ax ax ax Bài 2.* Cho ma trận 2 3 1 0 1 2 14 A , 1 0 2 1 3 1 B
Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm công thức nghiệm tổng quát của hệ đã cho và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ thỏa mãn 41 xx 24 . Bài 3. Tìm một nghiệm không âm của hệ ràng buộc sau a) 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 3 3 5 2 2 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x ; b) 1 2 3 5 1 2 4 1 2 3 4 5 3 3 7 2 2 2 12 4 2 2 12 x x x x x x x x x x x x . Bài 3. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn ph ần a) 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 2 2 3 5 3 3 j 0, 1, 5 x x x x x x x x x x x x xj ; b) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 1 2 3 2 1 20. 0, 1, 5. j x x x x x x x x x x x x x x x xj Bài 3. Chuyển các hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ: a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 23 3 4 5 j 0, 1, 3 x x x x x x x x x xj ; b) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 29 2 2 10 3 4 4. j 0, 1, 4 x x x x x x x x x x x x xj Bài 3. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các ma trận 1 2 3 4 2 1 1 2 28 1 2 3 1 , 49 , 4 3 5 7 , , 2 1 1 3 33 A B C X x x x x T trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại j , bi cho trong ma trận B là số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử dụng, cj cho trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và xj cho trong ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j ij 1, 3; 1, 4.
ẩn cơ sở, của hệ này bằng phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.
biểu diễn tuyến tính của A 1 qua hệ véc tơ A A A 234 ,, và nêu ý nghĩa kinh tế của nó. Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hãng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm loại 1, với điều kiện vẫn sử dụng hết số vật liệu cho trong B , thì tổng số lãi thay đổi như thế nào? Bài 3. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các véc tơ 1 2 1 2 3 4 3 4 4 3 2 1 4 155 3 4 , 3 , 2 , 2 , 160 , , 2 4 1 3 195 5 7 x x A A A A B C X x x trong đó Akk , 1, 4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại k , B là véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà hãng sử dụng, cj trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và xj cho trong ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j j 1, 4
phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được. Bài 3. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận 3 1 0 2 1 1 2 1 1 , 1 0 1 , 1 0 4 1 2 2 4 0 2 AB trong đó aij cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trung gian loại j , bjk cho trong ma trận B là số lượng đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k ik 1, 4; j, 1, 3.
Bài 3. Một hãng sự định sẽ sản xuất 4 loại sản phẩm A, B, C, D. Định mức về chi phí vật liệu và lợi nhuận (1 đồng) trên 1 đơn vị sản phẩm được cho ở bảng sau: Sản phẩm A B C D Chi phí vật liệu 3 2 3 1 Chi phí tiền công 1 3 1 4 Lợi nhuận 2 1 1 3 a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm cần sản xuất sao cho tổng chi phí vật liệu 290 triệu đồng, tổng chi phí tiền công không quá 410 triệu đồng và tổng số lợi nhuận không dưới 320 triệu đồng.
Bài 3. Người ta sử dụng 3 loại thảo dược I, II và III để chiết xuất ra 2 loại hóa chất A và B. Lượng hóa chất mỗi loại và chi phí (triệu đồng) tính trên 1 đơn vị thảo dược mỗi loại khi chiết xuất được cho ở bảng sau: Thảo dược I II III Hóa chất A 5 1 3 Hóa chất B 3 2 3 Chi phí 8 5 6 Mỗi loại dược liệu cần sử dụng bao nhiêu để chiết xuất được tối thiểu: 200 đơn vị hóa chất A, 150 đơn vị hóa chất B và chi phí không vượt quá 350 triệu đồng? Bài 3. Một công ty sử dụng 3 loại dược liệu (DL) I, II, III để chiết xuất ra 3 loại hóa chất (HC) A, B, C. Biết số đơn vị (đv) hóa chất mỗi loại chiết xuất được từ một đơn vị dược liệu tương ứng được cho trong bảng sau : DL HC I II III A 2 4 5 B 3 1 2 C 3 2 4
Bài 3. Một doanh nghiệp lựa chọn phương án phân bổ vốn đầu tư vào 3 dự án I, II, III. Số đơn vị (đv) việc làm và số đv chất thải tạo ra tính trên 1đv vốn đầu tư đối với mỗi dự án tương ứng được cho trong bảng sau: Dự án I II III Số đv việc làm 6 4 7 Số đv chất thải 1 1 2 Cho biết tổng số vốn đầu tư không quá 45 đv, tổng số việc làm tạo ra không dưới 210 đơn vị và số chất thải tạo ra vừa đúng 50 đơn vị. Bằng phương pháp khử toàn phần, hãy chỉ ra một phương án phân bổ vốn đầu tư vào các dự án. Bài 3. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường pii 1, 3 của cả3 loại hàng hóa và được cho bởi: Hệ phương trình cung 11 22 33 5 10 3 s s s qp qp qp và hệ phương trình cầu 1 1 3 2 2 3 3 1 2 3 10 2 26 12 d d d q p p q p p q p p p trong đó là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu qsdii q i , 1, 3.
cả ba loại hàng hóa trên dưới dạng ma trận và tìm điều kiện của để hệ phương trình thu được là hệ Cramer.
Bài 3. Khảo sát thị trường của 3 loại hàng hóa có liên quan 1, 2, 3. Lượng cung và lượng cầu của loại hàng hóa i là các hàm phụ thuộc vào giá thị trường pii 1, 3 của cả3 loại hàng hóa và được cho bởi: Hệ phương trình cung 11 22 33 12 14 2 93 s s s qp qp qp , và hệ phương trình cầu 1 1 2 2 1 2 3 3 1 2 20 3 17 2 2 70 3 d d d q p p q p p p q p p trong đó là tham số thực. Thị trường hàng hóa i được gọi là cân bằng nếu qiisd q i , 1, 3. CHỦ ĐỀ 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài 4. Sử dụng định nghĩa, kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương sau: ####### a) q X 4 x 1223 x x 1 22 , x 2 trong 2 ; ####### b) q X x 1226 x x 1 29 , x 2 trong 2 ; ####### c) q X 4 x 12 x 22 2 x 32 2 x x 1 2 6 x x 1 3, trong 3. Bài 4. Viết lại các dạng toàn phương sau dưới dạng ma trận và kiểm tra tính xác định dấu của các dạng toàn phương đó bằng cách sử dụng phương pháp tính các định thức con chính dẫn đầu.
####### Bài 4. a) Cho dạng toàn phương q x x x 1 , 2 , 3 2 x 12 3 x 22 x 32 4 x x 1 2 3 x x 1 3 5 x x 2 3 ####### a) Hãy chỉ ra 2 ma trận A, B khác nhau sao cho q x x x 1 ,, 2 3 X AXTTX BX và kiểm tra tính xác định dấu của dạng toàn phương đó.
13 1 4 2 2 7 5 A . Tìm để X AT X 0, X 03.c) Cho dạng toàn phương 1 1 2 3 2 3 1 1 1 ( ) , , 5 7 0 12 x q X x x x x x ####### . Viết lại qX dưới dạng ####### giải tích và tìm điểu kiện của để qX là dạng toàn phương xác định âm. Bài 4. Cho dạng toàn phương q x x x 1 , 2 , 3 2 x 12224 x 2 2 x 3 4 x x 1 2 x x 2 3 2 x x 1 3, với là tham số thực. ####### a) Tìm sao cho q 1,1, 2 20.
Bài 4. Hãy cho một ma trận vuông A có cấp 2 mà dạng toàn phương q X () X AXT không xác định dấu. Sau đó, chỉ ra 2 véc tơ X X 1 , 2 2 : Q X Q X 120.Bài 4. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xpii , lần lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i ( i 1, 2, 3). Biết sản lượng của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau: x 1 35 mp 1 p 2 p x 3 , 2 35 p 1 2 p 2 p x 3 , 3 20 p 1 p 2 2. p 3
Bài 4. Ba hãng cùng tham gia sản suất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xpii , lần lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i , ( i = 1, 2, 3). Biết giá bán sản phẩm của mỗi hãng phụ thuộc vào sản lượng của tất cả các hãng như sau: p 1 340 2 x 1 x 3 , p 2 380 2 x 1 3 x 2 2 x 3 , p 3 240 2 x 2 4 x 3
tổng doanh thu đó.
Bài 4. Ba hãng cùng tham gia sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Kí hiệu xpii , lần lượt là sản lượng và giá bán mỗi đơn vị sản phẩm của hãng i ( i 1, 2, 3). Biết sản lượng của mỗi hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm của tất cả các hãng như sau : x 1 40 2 p 1 2 p 2 2 p x 3 , 2 90 p 1 2 p 2 4 p x 3 , 3 70 p 1 p 2 2. p 3
|