Đề bài
Bài 1. Tính các giới hạn dau:
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 3}}\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right] - x\]
Bài 2.Tìm m để hàm số \[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + x} - 2}}{{x - 1}};x > 1\\m{\rm{x}} - \dfrac{5}{4};x \le 1\end{array} \right.\] liên tục tại \[{{\rm{x}}_0} = 1\]
Bài 3.Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. \[y = \dfrac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}\]
b. \[y = \left[ {3{\rm{x}} - 2} \right]\sqrt {1 + {x^2}} \]
Bài 4.Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{ - x + 1}}\] có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[{\rm{d}}:x - 4y - 21 = 0\].
Bài 5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \[AB = 2{\rm{a}},A{\rm{D}} = a,SA \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] và \[SA = a\sqrt 3 \]
a. Chứng minh: \[BC \bot \left[ {SAB} \right],C{\rm{D}} \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\].
b. Tính góc giữa SC và mặt phẳng [ABCD].
c. Gọi H là hình chiếu của A trên BD, K là hình chiếu của A trên SH. Chứng minh: \[\left[ {ABK} \right] \bot \left[ {SB{\rm{D}}} \right]\].
d. Tính góc giữa hai mặt phẳng [SAB] và [SCD].
Bài 6.Tính giới hạn sau: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right]\].
Lời giải chi tiết
Bài 1.
Phương pháp:
a. Chia cả tử và mẫu cho biểu thức chung.
b. Nhân liên hợp rồi đưa
Giải:
a. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 3}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} - 2{\rm{x}} - 2} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 3}} = \dfrac{{1 - 2 - 2}}{{1 - 3}} = \dfrac{3}{2}\end{array}\]
b. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right] - x\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{x\left[ { - 1 + \dfrac{1}{x}} \right]}}{{x\left[ {\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = - \dfrac{1}{2}\end{array}\]
Bài 2.
Phương pháp:
Tính \[f\left[ 1 \right];\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right];\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right]\].
Hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục tại \[{\rm{x}}\] nếu \[f\left[ 1 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right]\]
Giải:
Ta có \[f\left[ 1 \right] = m.1 - \dfrac{5}{4} = m - \dfrac{5}{4} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right]\]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + x} - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3{{\rm{x}}^2} + x - 4}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + x} + 2} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3{\rm{x}} + 4}}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + x} + 2}}\\ = \dfrac{{3.1 + 4}}{{\sqrt {3.1 + 1} + 2}} = \dfrac{7}{4}\end{array}\]
Bài 3.
Phương pháp:
Sử dụng các quy tắc đạo hàm.
Giải:
a. \[y = \dfrac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}\]
\[\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left[ {2{x^2} + 2x - 1} \right]'\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x + 1} \right]'\left[ {2{x^2} + 2x - 1} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{\left[ {4{\rm{x}} + 2} \right]\left[ {x + 1} \right] - \left[ {2{{\rm{x}}^2} + 2x - 1} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 3}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\end{array}\]
b. \[y = \left[ {3{\rm{x}} - 2} \right]\sqrt {1 + {x^2}} \]
\[\begin{array}{l}y' = 3.\sqrt {1 + {x^2}} + \left[ {3{\rm{x}} - 2} \right].\dfrac{{\left[ {1 + {x^2}} \right]'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = 3\sqrt {1 + {x^2}} + \left[ {3{\rm{x}} - 2} \right].\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{1 + {x^2}}}\end{array}\]
Bài 4.
Phương pháp:
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{{\rm{x}}_0}\] là \[f'\left[ {{x_0}} \right]\].
Giải:
Tiếp tuyến song song với d nên có \[f'\left[ {{x_0}} \right] = \dfrac{1}{4}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = f\left[ x \right] = \dfrac{{3\left[ { - x + 1} \right] - \left[ {3{\rm{x}} + 1} \right]\left[ { - 1} \right]}}{{{{\left[ { - x + 1} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{6}{{{{\left[ { - x + 1} \right]}^2}}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{4}{{{{\left[ { - x + 1} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\left[ { - x + 1} \right]^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = - 4\\f\left[ x \right] = - 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}\left[ {x - 5} \right] - 4 = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{{21}}{4}\\y = \dfrac{1}{4}\left[ {x + 3} \right] - 2 = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\]
Bài 5.
Phương pháp:
a. Chứng minh BC vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong [SAB]. CD vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong [SAD].
b. Tìm hình chiếu vuông góc của SC trên [ABCD]. Góc giữa SC và [ABCD] là góc giữa SC và hình chiếu đó.
c. Chứng minh một đường thẳng trong [ABK] vuông góc với [SBD].
d. Tìm mặt phẳng vuông góc với 2 mặt phẳng [SAB] và [SCD]. Tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với 2 mặt phẳng [SAB] và [SCD]. Góc giữa 2 giao tuyến đó là góc cần tìm.
Giải:
a. Ta có \[BC \bot AB\] \[ABC{\rm{D}}\] là hình chữ nhật.
\[{\rm{S}}A \bot BC\left[ {SA \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]} \right]\]
Suy ra \[BC \bot \left[ {SAB} \right]\]
\[\left. \begin{array}{l}C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \bot SA\left[ {SA \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]} \right]\end{array} \right\}\]\[ \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\]
b. Ta có \[{\rm{S}}A \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] nên A là hình chiếu của S trên [ABCD]. Do đó AC là hình chiếu của SC trên [ABCD]. Góc giữa SC và [ABCD] là góc giữa SC và A và bằng góc \[\widehat {{\rm{S}}CA}\].
Ta có \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 5 \]
\[\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\]
Vậy góc giữa SC và [ABCD] là \[\arctan \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\].
c. Ta có \[AH \bot B{\rm{D}};B{\rm{D}} \bot SA\]
\[ \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left[ {SAH} \right] \Rightarrow B{\rm{D}} \bot AK\]
Mà \[AK \bot SH\] nên \[AK \bot \left[ {SB{\rm{D}}} \right]\left[ {SH \subset \left[ {SBD} \right]} \right]\]
\[ \Rightarrow \left[ {ABK} \right] \bot \left[ {SB{\rm{D}}} \right]\]
d.
\[\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}A{\rm{D}} \bot {\rm{AB}}\\{\rm{AD}} \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left[ {SAB} \right]\\ \Rightarrow \left[ {SA{\rm{D}}} \right] \bot \left[ {SAB} \right]\\\left[ {SA{\rm{D}}} \right] \cap \left[ {SAB} \right] = SA\\\left. \begin{array}{l}A{\rm{D}} \bot C{\rm{D}}\\SA \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\\ \Rightarrow \left[ {SC{\rm{D}}} \right] \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\\\left[ {SC{\rm{D}}} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = S{\rm{D}}\end{array}\]
Góc giữa [SAB] và [SCD] là góc giữa SA và SD và bằng \[\widehat {ASD}\]
Ta có \[\tan \widehat {{\rm{ASD}}} = \dfrac{{A{\rm{D}}}}{{SA}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {{\rm{ASD}}} = 30^\circ \]
Vậy góc giữa [SAB] và [SCD] là \[30^\circ \].
Bài 6.
Phương pháp:
Nhân liên hợp.
Sử dụng công thức \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} = 0\].
Giải:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} - 2\sqrt {{x^2} + x} + x} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} + \sqrt {{x^2}} + x}} - \dfrac{x}{{x + \sqrt {{x^2} + x} }}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}\left[ {\dfrac{{x - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} }}{{\left[ {\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} + \sqrt {{x^2} + x} } \right]\left[ {x + \sqrt {{x^2} + x} } \right]}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^2}.\dfrac{{ - 2{\rm{x}}}}{{\left[ {\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {{x^2} + x} } \right]\left[ {x + \sqrt {{x^2} + x} } \right]\left[ {x + \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}}} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{ - 2{{\rm{x}}^3}}}{{{x^3}\left[ {\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} } \right]\left[ {1 + \sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} } \right]\left[ {1 + \sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} } \right]}}\\ = \dfrac{{ - 2}}{{2.2.2}} = - \dfrac{1}{4}\end{array}\]