Đề bài - câu 11 trang 106 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao

Cho hình vuông A1B1C1D1có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A2B2C2D2, A3B3C3D3, , AnBnCnDn, theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dntương ứng trên các cạnh An-1Bn-1, Bn-1Cn-1, Cn-1Dn-1và Dn-1An-1sao cho An-1An= 1cm và AnBnCnDnlà một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (un) với unlà độ dài cạnh của hình vuông AnBnCnDn.

Đề bài

Cho hình vuông A1B1C1D1có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A2B2C2D2, A3B3C3D3, , AnBnCnDn, theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dntương ứng trên các cạnh An-1Bn-1, Bn-1Cn-1, Cn-1Dn-1và Dn-1An-1sao cho An-1An= 1cm và AnBnCnDnlà một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (un) với unlà độ dài cạnh của hình vuông AnBnCnDn.

Hãy cho dãy số (un) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Đề bài - câu 11 trang 106 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao

Lời giải chi tiết

Đề bài - câu 11 trang 106 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao

Với mỗi \(n \in \mathbb N^*\), xét các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\) và \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\) ta có

\(\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} \cr&= \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} \cr} \)