Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để 2 4 2 fxfmxx 1 2 2 có nghiệm

Tập xác định D = R.

Ta có \[y = 4{x^3} 12{x^2} + m + 25\].

Hàm số đồng biến trên khoảng\[\left[ {1; + \infty } \right] \Leftrightarrow y \ge 0,\forall x > 1\]

\[\Leftrightarrow 4{x^3} 12{x^2} + m + 25 \ge 0\]\[\forall x > 1\]

\[ \Leftrightarrow m \ge 4{x^3} + 12{x^2} 25\], \[\forall x > 1\].

Xét hàm số \[f\left[ x \right] = 4{x^3} + 12{x^2} 25\], với x > 1.

\[f\left[ x \right] = 12{x^2} + 24x\].

\[f\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} + 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\].

Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[m \ge 4{x^3} + 12{x^2} 25,\,\forall x > 1\]\[ \Leftrightarrow m \ge 9\].

Vì m nguyên âm nên \[m \in \left\{ { 9;\, 8;\, 7;\, 6;\, 5;\, 4;\, 3;\, 2;\, 1} \right\}\].

Vậy có 9 giá trị nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ {1; + \infty } \right]\].