.Bai tap toan xac suat thong ke và lời giải
Mỹ Vũ Trương An
DownloadDownload PDF
This Paper
A short summary of this paper
37 Full PDFs related to this paper
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
- Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
- Tính gần đúng giá trị của một biểu thức
- Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
- Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
- Xác định hệ số hoặc số hạng chứa x^k
- Các bài toán thực tế liên quan đến cấp số nhân
- Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
- Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép tịnh tiến
- Xác định thiết diện liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ
- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui
- Dãy số dạng Lũy thừa – Mũ
- Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes
- Các bài toán đếm
Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh cực hay có lời giải
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần của X trên một đường tròn gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử của tập X.
Các cách sắp xếp các phần tử của X trên một đường tròn mà sai khác nhau một phép quay được coi là cùng một hoán vị vòng quanh.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính bởi công thức: Qn=[n-1]!
Ví dụ 1 : Tổ 1 của lớp 10A1 có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam .Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn.
A.362880 B.128800 C.246800 D.328600
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Tổ 1 có tất cả 10 học sinh.Mỗi cách xếp 10 học sinh này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 10 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn đề bài là:
9!= 362880 cách xếp.
Ví dụ 2 : Cuối năm học, các học sinh giỏi lớp 11A2 có tổ chức ăn liên hoan. Tổ 1 có 3 học sinh giỏi; tổ 2 có 4 học sinh giỏi; tổ 3 có 2 học sinh giỏi và tổ 4 có 3 học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn?
A.10! B.11! C.12! D.13!
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Lớp 11A2 có tất cả số học sinh giỏi là: 3+ 4+ 2+ 3= 12 học sinh giỏi
Việc xếp 12 học sinh giỏi này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 12 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn là: 11! cách xếp.
Quảng cáo
Ví dụ 3 : Tổ 4 của lớp 12A3 có 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam . Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn sao cho nhóm học sinh nữ ngồi với nhau; nhóm học sinh nam ngồi với nhau.
A.1280 B.1660 C.2880 D.1860
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Ta coi 4 học sinh nữ là một nhóm X và 5 học sinh nam là nhóm Y.
+ Số cách xếp hai nhóm X và Y vào bàn tròn là [2-1]!= 1 cách .
+ Số cách xếp 4 học sinh nữ trong nhóm X là 4!.
+ Số cách xếp 5 học sinh nam trong nhóm Y là 5!.
⇒ Có: 1. 4!. 5!= 2880 cách xếp thỏa mãn đầu bài.
Ví dụ 4 : Một hội nghị bàn tròn có ba phái đoàn: 4 người miền bắc, 3 người miền trung và 4 người miền nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người có cùng miền thì ngồi gần nhau.
A.7268 B.6912 C.3286 D.4896
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Ta coi: 4 người miền bắc là một nhóm X; 3 người miền trung là một nhóm Y và 4 người miền nam là một nhóm Z .
+ Số cách xếp ba nhóm X; Y; Z vào bàn tròn là: 2!= 2 cách.
+ Số cách xếp 4 người trong nhóm X là : 4!= 24 cách.
+ Số cách xếp 3 người trong nhóm Y là: 3!= 6 cách.
+ Số cách xếp 4 người trong nhóm Z là: 4! = 24 cách.
⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là : 2. 24.6.24= 6912 cách.
Ví dụ 5 : Một nhóm học sinh có 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 người này vào bàn tròn sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau.
A.86400 B.172800 C.43200 D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
+ Xếp 6 bạn nam vào 1 bàn tròn có : 5! Cách.
+ Khi đó giữa hai bạn nam có 1 vách ngăn. Có 6 vách ngăn. Xếp 6 bạn nữ vào 6 vách ngăn đó có 6! Cách.
Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 5!. 6!= 86400
Quảng cáo
Ví dụ 6 : Trong một buổi dự tiệc có 5 cặp vợ chồng tham gia. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 cặp này vào một bàn tròn sao cho hai vợ chồng ngồi cạnh nhau.
A.96 B.192 C.768 D.384
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Coi vợ chồng là 1 bó. Xếp 5 bó vào cái bàn tròn có 4! Cách xếp.
+ Với mỗi bó ta có thể đổi chỗ vị trí vợ; chồng cho nhau.
⇒ Với mỗi cặp vợ chồng có 2!= 2 cách xếp
Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn là: 4!.2.2.2.2.2= 768 cách.
Ví dụ 7 : Một nhóm văn nghệ gồm 4 bạn nữ và x bạn nam ngồi vào một bàn tròn. Biết rằng có 362880 cách xếp các bạn này vào bàn tròn. Hỏi nhóm văn nghệ này có tất cả bao nhiêu người.
A.6 B.5 C.9 D.10
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Nhóm văn nghệ này có tất cả [4+x] bạn.
+ Số cách xếp [4 + x] bạn này vào bàn tròn là: [4+x]!
Theo đầu bài ta có: [4+x]! = 362880= 9!
⇔ 4 + x= 9 ⇔ x= 5
⇒ Nhóm văn nghệ có 5 bạn nam nên cả nhóm này có 4 + 5= 9 bạn
Ví dụ 8 : Lớp 10A1 tổ chức một buổi khen thưởng. Biết tổ 1 có 3 người được khen thưởng; tổ 2 có 2 người; tổ 3 có 4 người và tổ 4 có x người.Xếp những người này vào một bàn tròn và các bạn cùng tổ ngồi liền kề với nhau. Biết có 10368 cách xếp thỏa mãn. Tìm x [ biết x>0]?
A.1 B.2 C.3 D.4
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Số cách xếp 4 tổ vào 1 bàn tròn là 3!.
+ Tổ 1 có 3 bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của 3 bạn này có 3! Cách.
+ tổ 2 có 2 bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của 2 bạn này có 2! Cách.
+ Tổ 3 có 4 bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của 4 người này có 4! Cách.
+ Tổ 4 có x bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của x người này có x! cách.
Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn là:
3!. 3!.2!. 4!.x!= 10368
⇔ x!= 6 ⇔ x= 2
Câu 1 : Trong một buổi dự tiệc; có 3 người phụ nữ và 4 người đàn ông cùng ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho những người này?
A.720 B.120 C.5040 D.2080
Đáp án : A
Việc xếp 3+ 4= 7 người này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 7 phần tử nên có: 6!= 720 cách xếp thỏa mãn.
Câu 2 : Trong một buổi dạ hội; có 4 người đàn ông và 4 phụ nữ cùng ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam; nữ ngồi xen kẽ nhau.
A.36 B.144 C.576 D.128
Đáp án : B
+ Xếp 4 bạn nam vào 4 ghế cách đều nhau có 3!= 6 cách.
[ khi xếp vào bàn tròn thì vị trí người đầu tiên không quan trọng ] .
+ Xếp 4 bạn nữ vào 4 vị trí còn lại có 4!= 24 cách.
+ Theo quy tắc nhân có: 6.24= 144 cách thỏa mãn.
Câu 3 : Có 5 học sinh nam trong đó có bạn Hải và 3 học sinh nữ trong đó có bạn Liên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tám học sinh nói trên ngồi vào một bàn tròn sao cho hai bạn Hải và Liên không ngồi cạnh nhau ? [Hai cách xếp chỉ khác nhau một phép quay được coi là như nhau].
A.1440 B.5040 C.2880 D.3600
Đáp án : D
- Số cách xếp 8 học sinh vào bàn tròn là hoán vị vòng quanh của tập 8 phần tử nên có :
7 != 5040 cách xếp.
- Ta tính số cách xếp 8 học sinh vào bàn tròn sao cho hai bạn Hải, Liên ngồi cạnh nhau :
+ Ta coi hai bạn Hải ; Liên là một phần tử X
+ Số cách xếp X và 6 học sinh khác vào bàn tròn là hoán vị vòng quanh của tập có 7 phần tử nên có : 6 != 720 cách xếp.
+ Khi đổi chỗ hai bạn Hải ; Liên ta có thêm một cách xếp.
⇒ Số cách xếp thỏa mãn là : 720. 2= 1440 cách.
Suy ra : số cách xếp 8 học sinh vào bàn tròn sao cho hai bạn Hải và Liên không ngồi cạnh nhau là : 5040 – 1440= 3600 cách
Câu 4 : Có 4 nhóm đại sứ quán nước ngoài gồm: 3 người nước Anh; 4 người nước Pháp ; 4người nước Mỹ và 2 người nước Lào. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ vào một bàn tròn sao cho các đại sứ quán của cùng 1 nước ngồi cạnh nhau?
A.41472 B.20736 C.6912 D.Đáp án khác
Đáp án : A
+ Ta coi; 3 người nước Anh là nhóm X; 4 người nước Pháp là nhóm Y; 4 người nước Mỹ là nhóm Z và 2 người nước Lào là nhóm T.
+ Số cách xếp 4 nhóm X; Y; Z; T vào bàn tròn là: 3! = 6 cách.
+ Số cách xếp 3 người nhóm X là một hoán vị của tập có 3 phần tử có: 3!= 6 cách.
+ Số cách xếp 4 người nhóm Y là 4!= 24 cách.
+ Số cách xếp 4 người nhóm Z là 4!= 24 cách.
+ Số cách xếp 2 người nhóm T là 2!= 2 cách.
⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là:
6.6.24.24.2= 41472 cách.
Câu 5 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người [trong đó có một cặp vợ chồng] vào một bàn tròn, sao cho vợ chồng ngồi cạnh nhau?
A.120 B.720 C.48 D.24
Đáp án : C
+ Coi cặp vợ chồng đó là phần tử X.
+ Số cách xếp phần tử X và 4 người còn lại vào bàn tròn là hoán vị vòng quanh của 5 phần tử nên có: 4!= 24 cách xếp.
+ Ta có 2!= 2 cách xếp vợ chồng đó.
⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 24. 2= 48 cách .
Câu 6 : Trong buổi dự tiệc có 10 người trong đó có 1 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 người này vào bàn tròn sao cho hai vợ chồng đó không ngồi cạnh nhau.
A.282240 B.146800 C.245200 D.186400
Đáp án : A
+ Xếp người chồng trước: 1 cách.
+ Vì vợ chồng không được ngồi cạnh nhau nên có 7 cách xếp vị trí người vợ[ trừ hai ghế sát chồng].
+ Xếp 8 người khác vào 8 vị trí còn lại: có 8! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân có: 1. 7. 8!= 282240 cách.
Câu 7 : Một nhóm học sinh có 8 người trong đó có lớp trưởng; bí thư và lớp phó. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn này vào bàn tròn sao cho 3 bạn cán bộ lớp không ngồi cạnh nhau.
A.6420 B.2860 C.4320 D.5420
Đáp án : C
- Số cách xếp 8 người này vào bàn tròn là : 7! [1]
- Ta tính só cách xếp 8 bạn này vào bàn tròn sao cho ba bạn cán bộ lớp ngồi cạnh nhau. Coi ba bạn cán bộ lớp là phần tử X.
+ Có 5! Cách xếp 5 bạn còn lại và X vào bàn tròn.
+ Hoán đổi vị trí 3 bạn trong X có 3! Cách.
=> có 5!.3! cách xếp sao cho ba bạn cán bộ lớp ngồi cạnh nhau.[2]
Từ [1] và [2] suy ra số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 7!- 5!. 3!= 4320 cách.
Câu 8 : Có bao nhiêu cách xếp 8 bạn nữ và 6 bạn nam vào bàn tròn sao cho các bạn nam không ngồi cạnh nhau .
Đáp án : B
+ Xếp 8 bạn nữ vào 8 ghế bàn tròn có 7! Cách.
+ Khi đó giữa 8 bạn nữ tạo ra 8 vách ngăn. Ta xếp 6 bạn nam vào 8 vách ngăn : có
Theo quy tắc nhân có: 7!. cách xếp.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau
Cách giải bài tập Xác suất nâng cao, cực hay có lời giải
Trang trước Trang sau
Quảng cáo
Ví dụ 1: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào 4 bì thư đã được ghi địa chỉ. Tính xác suất của biến cố A: “ Có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó”.
A.5/8 B.3/8 C.1/8 D. 0.24
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Số cách bỏ 4 lá thư vào 4 bì thư là:
Kí hiệu 4 lá thư là: L1;L2;L3;L4 và bộ [L1;L2;L3;L4] là một hóan vị của các số 1;2;3;4 trong đó Li =i ; i =1,4 nếu lá thư Li bỏ đúng địa chỉ.
Ta xét các khả năng sau :
+ Có 4 lá thư bỏ đúng địa chỉ:[1;2;3;4] nên có 1 cách bỏ
+ Có 2 là thư bỏ đúng địa chỉ:
+ Số cách bỏ 2 lá thư đúng địa chỉ là:
+ khi đó có 1 cách bỏ hai là thư còn lại
Nên trường hợp này có: = 6 cách bỏ.
Có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ:
Số cách chọn lá thư bỏ đúng địa chỉ: 4 cách
Số cách chọn bỏ ba lá thư còn lại: 2.1=2 cách
Nên trường hợp này có: 4.2=8 cách bỏ.
Do đó: n[A]= 1+ 6+ 8= 15
Vậy P[A]= 15/24= 5/8.
Ví dụ 2: Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Vậy Lí và 3 cuốn sách Hóa Học. Thầy giáo muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh A: B: C; D; E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn.
A.5/13 B.4/21 C.17/21 D.409/666
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 trong 10 cuốn sách rồi tặng cho 5 học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
+ Gọi A là biến cố Sau khi tặng sách thì mỗi một trong ba loại sách của thầy giáo còn lại ít nhất một cuốn .
Để tìm số phần tử của A, ta tìm số phần tử của biến cố A , tức sau khi tặng sách có môn không còn lại cuốn nào.
Vì tổng số sách của hai loại bất kỳ lớn hơn 5 cuốn nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. Do vậy chỉ có thể một môn hết sách, ta có các khả năng:
Cách tặng sao cho không còn sách Toán, tức là ta tặng 4 cuốn sách toán, 1 cuốn còn lại Lý hoặc Hóa
+ 4 cuốn sách Toán tặng cho 4 người trong 5 người, có
+ 1 người còn lại được tặng 1 cuốn trong 6 cuốn [Lý và Hóa], có
Suy ra có cách tặng sao cho không còn sách Toán.
Tương tự, có
Tương tự, có cách tặng sao cho không còn sách Hóa.
Suy ra số phần tử của biến cố A là|ΩA |=720+2520+2520=5760.
Suy ra số phần tử của biến cố A là|ΩA|=|Ω|-|ΩA |=30240-5760=24480.
Vậy xác suất cần tính
Quảng cáo
Ví dụ 3: Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để được 6 viên bi có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
A.5/13 B.4/21 C.17/21 D.40/221
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố 6 viên bi được chọn có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng .
Gọi x ;y ;z lần lượt là số bi đỏ, bi xanh và bi trắng được lấy. Suy ra
+ Hiệu của số bi xanh và bi đỏ là y-x.
+ Hiệu của số bi trắng và bi xanh là z-y.
+ Hiệu của số bi đỏ và bi trắng là x-z.
Theo giả thiết, ta có [y-x] - [x-z]=2[z-y]
Hay y=z.
Do đó biến cố A được phát biểu lại như sau 6 viên bi được chọn có cả ba màu đồng thời số bi xanh bằng số bi trắng . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
Trường hợp 1. Chọn 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng.
Do đó trường hợp này có
Trường hợp 2. Chọn 4 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh và 1 viên bi trắng.
Do đó trường hợp này có
Suy ra số phần tử của biến cố A là
Vậy xác suất cần tính :
Ví dụ 4: Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.
A.8/33 B.14/33 C.29/66 D.37/66
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số .
+ Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4= 16 cách [do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh].
+ Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4= 12 cách.
+ Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3= 9 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là |ΩA | = 16+ 12+ 9= 37.
Vậy xác suất cần tính P[A]= 37/66
Ví dụ 5: Cho tập hợp A= { 0,1,2,3,4,5}. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
A.1/5 B.23/25 C.2/25 D.4/5
Quảng cáo
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc
Trong đó:
Khi đó
+ Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a≠0 .
+ Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b≠a.
+ Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c≠a;c≠b.
Do đó tập S có 5.5.4= 100 phần tử.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
+ Gọi X là biến cố “Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu”.
Khi đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 4+ 4= 8 số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n[X]= 8.
Vậy xác suất cần tính:P[X]= 8/100=2/25
Ví dụ 6: Cho tập hợp A={2,3,4,5,6,7,8}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
A.1/5 B.3/35 C.17/35 D.18/35
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Số phần tử của tập S là
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi X là biến cố “ Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ “.
Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2,4,6,8 là
Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3,5,7 là
Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n[X]= 6.3. 4!= 432 .
Vậy xác suất cần tính P[X]= 432/840= 18/35.
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1,2,3,4,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3
A.1/10 B.3/5 C.2/5 D.1/15
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
- Số phần tử của S là
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
- Gọi A là biến cố “ Số được chọn chia hết cho 3”.
Từ 5 chữ số đã cho ta có bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là[1,2,3]; [1,2,6]; [ 2,3,4] và [2,4,6]. Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được 3!= 6 số thuộc tập hợp S.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 6.4= 24 .
Vậy xác suất cần tính P[A]= 24/60= 2/5
Ví dụ 8: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau.
A.14/55 B.25/660 C.23/55 D.19/660
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
- Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 12 học sinh thành một hàng ngang.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]= 12! .
- Gọi A là biến cố “ Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau”. Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
Đầu tiên xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang, có 8! cách.
Sau đó xem 8 học sinh này như 8 vách ngăn nên có 9 vị trí để xếp 4 học sinh nữ thỏa yêu cầu bài toán [gồm 7 vị trí giữa 8 học sinh và 2 vị trí hai đầu]. Do đó có
Suy ra số phần tử của biến cố A là
Vậy xác suất cần tính :
Ví dụ 9: Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
A.5/6 B.1/6 C.2/3 D.1/2
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
- Không gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 con tem trên 3 bì thư. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]= 3!= 6
- Gọi A là biến cố “ 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó”
Thế thì bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Trường hợp này có 1 cách duy nhất
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 1
Vậy xác suất cần tính là P[A]= 1/6
Ví dụ 10: Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Tính xác suất để xếp thành một dãy sao cho 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau?
A.1/28512 B.1/299376 C.1/14256 D.1/7128
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
- Không gian mẫu là xếp 12 quyển sách thành một dãy nên số phần tử của không gian mẫu là: n[Ω]= 12!
- Gọi A là biến cố xếp 12 quyển thành dãy sao cho 3 quyển sách thuộc cùng một môn không được xếp cạnh nhau. Ta tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố A:
Xếp 3 cuốn sách Toán kề nhau. Xem 3 cuốn sách Toán là 3 vách ngăn, giữa 3 cuốn sách Toán có 2 vị trí trống và thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có 4 vị trí trống.
+ Bước 1. Chọn 3 vị trí trống trong 4 vị trí để xếp 3 cuốn Lý, có
+ Bước 2. Giữa 6 cuốn Lý và Toán có 5 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 7 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí trống để xếp 3 cuốn Hóa, có
+ Bước 3. Giữa 9 cuốn sách Toán, Lý và Hóa đã xếp có 8 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 10 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 10 vị trí trống để xếp 3 cuốn Sinh, có
Vậy theo quy tắc nhân số khả năng thuận lợi cho A là:
4. 35. 120= 16800 cách
⇒ Xác suất biến cố A là: P[A]= 16800/12!= 1/28512
Ví dụ 11: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là 12/29. Tính số học sinh nữ của lớp.
A.16 B.14 C.13 D.17
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
- Gọi số học sinh nữ của lớp là n[ n∈N*;n≤28].
Suy ra số học sinh nam là 30- n.
- Không gian mẫu là chọn bất kì 3 học sinh từ 30 học sinh.
Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh.
Ví dụ 12 : Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện [TNTN] gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ bằng 2/5 lần xác suất 4 người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên.
A.9 B.10 C.11 D.12
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
+ Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là n[n≥7;n∈N*]
Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là n- 3
Vậy đoàn có 9 đoàn viên.
Ví dụ 13: Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.
A.4/5 B.3/5 C.1/5 D.2/5
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Không gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 phiếu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]= 10! .
Gọi A là biến cố “ Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng”.
Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
+ Người thứ ba có
+ 9 người còn lại có số cách lấy phiếu là 9!.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 2.9!.
Vậy xác suất cần tính P[A]= 2.9!/10!= 1/5
Ví dụ 14: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.
A.253/1152 B.899/1152 C.17/288 D.21/576
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
- Không gian mẫu là số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi trong 4 lần thi của Nam.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]= 244 .
- Gọi A là biến cố “ 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí”.
Ta mô tả không gian của biến cố A như sau:
+ Trong 4 lần có 2 lần trùng vị trí, có
+ Giả sử lần thứ nhất có 24 cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ nhất có 1 cách chọn chỗ ngồi. Hai lần còn lại thứ ba và thứ tư không trùng với các lần trước và cũng không trùng nhau nên có 23.22 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= .24.23.22.
Vậy xác suất cần tính :
Câu 1: Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5}. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10.
A.1/30 B.3/25 C.7/25 D.7/30
Đáp án : B
Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:
Suy ra số phần tử của tập S là :
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là :
+ Gọi X là biến cố “ Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10”.
Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1= {1,2,3,4}; A2= {2,3,5}; A3= {1,4,5}.
+ Từ A1 lập được các số thuộc S là 4!.
+ Từ A2 lập được các số thuộc S là 3!.
+ Từ A3 lập được các số thuộc S là 3!.
Suy ra số phần tử của biến cố X là n[X]= 4!+ 3!+ 3!= 36
Vậy xác suất cần tính : P[X]= 36/300= 3/25
Câu 2: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
A.560/4199 B.4/15 C.11/15 D.3639/4199
Đáp án : A
- Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là
- Gọi A là biến cố “ 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”.
Để tìm số phần tử của A ta làm như sau:
+ Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có
+ Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn [không chia hết cho 10 ], có
+ Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có
Suy ra số phần tử của biến cố A là
Vậy xác suất cần tính :
Câu 3: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
A.8/89 B.17/89 C.17/178 D.31/178
Đáp án : A
- Số phần tử của tập S là 9.10= 90.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]=
- Gọi X là biến cố “ Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.
Ta mô tả không gian của biến cố X như sau:
+ Chọn chữ số hàng đơn vị của hai số giống nhau: có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị [chọn từ các chữ số {0,1,2,...,9}].
+ Chọn chữ số hàng chục của hai số: có cách chọn hai chữ số hàng chục [chọn từ các chữ số {1,2,3..,9}].
Suy ra số phần tử của biến cố X là n[X]= 10.=360 .
Vậy xác suất cần tính P[X]= 360/4005= 8/89
Câu 4: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ [hai số hai bên chữ số 0 là số lẻ].
A.49/54 B.5/54 C.17/54 D.11/54
Đáp án : B
- Số phần tử của tập S là
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]=
- Gọi X là biến cố “ Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ”.
Do số 0 luôn đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
+ Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0, có
+ Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có
+ Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ { 2,4,6,8} sau đó xếp 6 số này vào 6 vị trí trống còn lại có
Suy ra số phần tử của biến cố X là :
Vậy xác suất cần tính :
Câu 5: Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc phong bì thư đã để sẵn địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ là.
A.5/8 B.2/3 C.3/8 D.1/3
Đáp án : A
+ Gọi 4 lá thư lần lượt là A; B;C; D và 4 phong bì thư có địa chỉ đúng với các lá thư trên lần lượt là 1,2,3,4.
Số phần tử không gian mẫu là n[Ω]= 4!= 24.
+ Gọi X là biến cố “ có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ”.
Ta có các trường hợp sau:
Tường Hợp 1: Cả 4 lá thư đều bỏ đúng địa chỉ: Chỉ có một trường hợp duy nhất
Tường Hợp 2: Có đúng 2 lá thư bỏ đúng địa chỉ. Có 6 trường hợp xảy ra là:
A1- B2- C4- D3; A1- B4- C3- D2; A4- B2- C3- D1; A1- B3- C2- D4; A3- B2- C1- D4
hoặc A2- B1- C3- D4
Tường Hợp 3: Có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ: Chỉ có lá thư A bỏ đúng địa chỉ thì có 2 trường hợp A1- B3- C4- D2; A1- B4- C2- D3
Tương tự với lá thư B có 2 trường hợp.
Lá thư C chỉ có đúng 2 trường hợp.
Lá thư D chỉ có đúng 2 trường hợp.
Suy ra có 8 trường hợp chỉ có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ.
Vậy số phần tử của biến cố X là n[X]= 1+ 6+ 8 = 15
Nên xác suất cần tính là: P[X]= 15/24= 5/8.
Câu 6: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A; B; C và mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.
A.3/56 B.19/28 C.9/28 D.53/56
Đáp án : C
Câu 7: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Hoàng. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Hoàng nằm chung 1 bảng đấu.
A.6/7 B.3/7 C.3/4 D.2/5
Đáp án : B
Câu 8: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “ Tốt”.
A.985/1566 B.235/783 C.3/7 D.625/1566
Đáp án : D
Số phần tử của không gian mẫu là :
Gọi A là biến cố “Đề thi lấy ra là một đề thi Tốt”.
Vì trong một đề thi tốt có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A.
Suy ra số phần tử của biến cố A là
Vậy xác suất cần tính :
Câu 9: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
A.37/42 B.5/42 C.7/504 D.1/6
Đáp án : B
- Không gian mẫu là xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế.
⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n[Ω]= 9!
- Gọi A là biến cố “ không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau”. Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
+ Đầu tiên ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp.
+ Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thế thì sẽ tạo ra 6 ô trống để ta xếp 4 học sinh nữ vào [mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh nữ]. Do đó có
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 5!..|WA|=5!.
Vậy xác suất cần tính: P[A]= [5!.]/9! = 5/42
Câu 10: Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.
A.3/4 B.3/16 C.13/16 D.1/4
Đáp án : B
- Không gian mẫu là số cách sắp xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu. Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 44 cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]= 44 .
- Gọi A là biến cố “ 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai”. Để tìm số phần tử của A, ta chia làm hai giai đoạn như sau:
+ Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn. Suy ra có
+ Giai đoạn thứ hai. Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách còn lại. Suy ra có
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 16.3= 48.
Vậy xác suất cần tính P[A]= 48/44 = 3/16.
Câu 11: Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy.Tính xác suất để có 3 người cùng đến quầy thứ nhất?
A.106/729 B.203/2187 C.2375/6561 D.1792/6561
Đáp án : D
+ Không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 người khách vào 3 quầy. Vì mỗi người khách có 3 cách chọn quầy nên có 38 khả năng xảy ra.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n[Ω]= 38.
+ Gọi A là biến cố “ Có 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai hoặc ba”. Để tìm số phần tử của A, ta chia làm hai giai đoạn như sau:
Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 người khách trong 8 người khách và cho đến quầy thứ nhất, có
Giai đoạn thứ hai. Còn lại 5 người khách xếp vào 2 quầy. Mỗi người khách có 2 cách chọn quầy. Suy ra có 25 cách xếp.
Suy ra số phần tử của biến cố A là :
Vậy xác suất cần tính :
Câu 12: Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào.
A.64/65 B.12/65 C.98/130 D.Đáp án khác
Đáp án : A
+ Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là :
+ Gọi A là biến cố “ 3 học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào”.
Để tìm số phần tử của A ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A: 3 học sinh được chọn luôn có 1 cặp anh em sinh đôi.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 4.38= 152.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 9880 – 152 = 9728.
Vậy xác suất cần tính P[A]= 9728/9880=64/65
Câu 13: Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi.
A.3/7 B.13/64 C.99/323 D.224/323
Đáp án : C
- Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là :
- Gọi A là biến cố “ 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi”.
+ Để tìm số phần tử của biến cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A là 4 chiếc giày được chọn không có đôi nào.
+ Số cách chọn 4 đôi giày từ 10 đôi giày là
+ Mỗi đôi chọn ra 1 chiếc, thế thì mỗi chiếc có
Suy ra số phần tử của biến cố Alà
Suy ra số phần tử của biến cố A là n[A]= 4845 – 3360 = 1485.
Vậy xác suất cần tính P[A]= 1485/4845 = 99/323.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau