DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \[\left[ {x;\,y} \right]\] thoả mãn \[0 < x \le 2021\] và \[{3^x}\left[ {x + 1} \right] = {27^y}y\]?
A. \[2019\].
B. \[2020\].
C. \[674\].
D. \[763\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \[{3^x}.\left[ {x + 1} \right] = {27^y}.y\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{3^x}.\left[ {x + 1} \right]} \right] = {\log _3}\left[ {{{27}^y}.y} \right]\]
\[ \Leftrightarrow x + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] = 3y + {\log _3}y\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right] + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] = 3y + {\log _3}y + {\log _3}3\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right] + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] = 3y + {\log _3}\left[ {3y} \right]\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = t + {\log _3}t\], với \[t > 0\].
\[f\left[ t \right] = 1 + \frac{1}{{t\ln 3}} > 0\], \[\forall t > 0\].
Suy ra hàm số \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;\, + \infty } \right]\].
Từ đó \[\left[ * \right] \Leftrightarrow f\left[ {x + 1} \right] = f\left[ {3y} \right]\]\[ \Leftrightarrow x + 1 = 3y\]\[ \Leftrightarrow x = 3y 1\].
Vì \[0 < x \le 2021\] nên \[0 < 3y 1 \le 2021\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3} < y \le \frac{{2022}}{3}\]\[ \Rightarrow y \in \left\{ {1;{\kern 1pt} \,2;\,3;\,;\,674} \right\}\].
Ứng với mỗi giá trị \[y\] nguyên dương cho ta một giá trị \[x\] nguyên dương.
Vậy có \[674\] cặp số nguyên dương \[\left[ {x;\,y} \right]\] thỏa yêu cầu bài toán.