Cho tam giác abc có d e f lần lượt là trung điểm của bc ca ab có bao nhiêu vectơ bằng vectơ ef
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Show 1. Định nghĩa · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là . · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu . · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu . · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ. + Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. + Mọi vectơ đều bằng nhau. 2. Các phép toán a. Tổng của hai vectơ · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: . · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: . · Tính chất: ; ;
b. Hiệu của hai vectơ · Vectơ đối của là vectơ sao cho . Kí hiệu vectơ đối của là . · Vectơ đối của là . · . Chú ý: + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB <=> + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC <=> c. Tích của vecto với một số · Cho vectơ và số k ∈ R. là một vectơ được xác định như sau: + cùng hướng với nếu k ≠ 0, ngược hướng với nếu k < 0. + . · Tính chất: ; ;
<=> k = 0 hoặc . · Điều kiện để hai vectơ cùng phương: · Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng <=> ∃k ≠ 0: . · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: . Chú ý: · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì + + (O tuỳ ý). · Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm của tam giác ABC thì: B – BÀI TẬP Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướngChú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Hướng dẫn giải: Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ khác . Tìm điểm M sao cho cùng phương Hướng dẫn giải: Gọi D là giá của Nếu cùng phương thì đường thẳng AM// D Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì cùng phương Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhauTa có thể dùng một trong các cách sau: + Sử dụng định nghĩa: + Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì ,… (hoặc viết ngược lại) + Nếu Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: Hướng dẫn giải: Cách 1: EF là đường trung bình của D ABC nên EF//CD, EF=BC=CD <=> EF=CD <=> (1) cùng hướng (2) Từ (1),(2) suy ra Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành EF=BC=CD và EF//CD <=> EFDC là hình bình hành <=> Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh: Hướng dẫn giải: Ta có MC//AN và MC=AN <=> MACN là hình bình hành <=> Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm của MD <=> =. Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra = <=> Dạng 3: Các phép toán vecto Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. a) Tìm tổng b) Chứng minh : Hướng dẫn giải: a) + Vì nên ta có = == + Vì nên ta có = == + Vì nên ta có = =, E là đỉnh của hình bình hành AMED. b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên Vậy Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau: Hướng dẫn giải: a) , vì Þ k= b) k= – c) k= – Dạng 3: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương Ví dụ 1: Cho D ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hãy phân tích các vectơ theo hai vectơ . Giải: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Hướng dẫn giải: Ta có mà <=> Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: . Hướng dẫn giải: Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có <=> VT=(đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì . Hướng dẫn giải: |