Cho hình nón có chiều cao bằng 6 một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và có khoảng cách đến tam là 3a
|
14/09/2021 2,684
Show
Chọn B. Vì tam giác SAB vuông tại S có diện tích bằng 32 nên 12SA.SB=32⇔SA2=64⇔SA=8. Mặt khác, tam giác SAO vuông tại O nên OA=SA2−SO2=43. Do đó, V=13π.OA2.SO=13π432.4=64π.CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AC=5a,AA'=3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC) bằng  Xem đáp án » 13/09/2021 9,895
Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 4. Thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho bằng Xem đáp án » 13/09/2021 3,704
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC là tam giác cân (tham khảo hình bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho Xem đáp án » 13/09/2021 3,120
Cho khối trụ có bán kính đáy r=6 và chiều cao h=2. Thể tích của khối trụ đã cho bằng Xem đáp án » 13/09/2021 2,228
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 4a (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối trụ đã cho bằng Xem đáp án » 13/09/2021 1,930
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Tam giác SAB là tam giác đều, tam giác SCD vuông tại S (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho Xem đáp án » 14/09/2021 1,774
Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình fx=−2 là Xem đáp án » 13/09/2021 1,708
Cho khối lập phương có cạnh bằng 5. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng Xem đáp án » 13/09/2021 1,360
Tập nghiệm của bất phương trình log15x−1>−1 là Xem đáp án » 13/09/2021 1,145
Tính đạo hàm của hàm số y=31−x. Xem đáp án » 13/09/2021 1,045
Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 3+5x+3−5x<3.2x là khoảng (a;b) hãy tính S=b-a Xem đáp án » 14/09/2021 1,042
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị của hàm số y=f'(x) trên đoạn [-2;2] là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng Xem đáp án » 14/09/2021 926
Cho hàm số bậc năm f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới Hàm số gx=f7−2x+x−12 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Xem đáp án » 14/09/2021 893
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,AB=a,SA=a3 và SA vuông với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng Xem đáp án » 13/09/2021 882
Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có chiều cao h=9. Đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng Xem đáp án » 13/09/2021 855
Phương pháp giải: - Giả sử thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm một khoảng \(\dfrac{a}{3}\) là tam giác \(SAB\). Gọi \(O\) là tâm đáy của hình nón. - Xác định khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\). - Sử dụng hệ thức lượng và định lí Pytago trong tam giác vuông tính bán kính đáy của hình nón. - Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\). Giải chi tiết: Giả sử thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm một khoảng \(\dfrac{a}{3}\) là tam giác \(SAB\), ta có \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\). Gọi \(O\) là tâm đáy của hình nón, gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{a}{3}\end{array}\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{8}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow OM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\end{array}\) Lại có \(SM = \dfrac{{SO.OM}}{{OH}} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\dfrac{a}{3}}} = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}\), tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SM = \dfrac{1}{2}AB\). \( \Rightarrow AB = 2SM = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{2}\) \( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) ta có: \(OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\). Vậy thể tích khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}.a = \dfrac{{5\pi {a^3}}}{{12}}\). Chọn A. |
