Cách làm bài toán đếm số toán 11 năm 2024
Đóng vai trò quan trọng trong Đại số tổ hợp và trong nhiều ứng dụng1. Quy tắc cộng Quy tắc: Có \(k\) phương án \({A_1},{A_2},{A_3},...,{A_k}\) để thực hiện công việc. Trong đó: - Có \({n_1}\) cách thực hiện phương án \({A_1}\), - Có \({n_2}\) cách thực hiện phương án \({A_2}\) … - Có \({n_k}\) cách thực hiện phương án \({A_k}\). Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách. Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của \(A \cup B\) bằng tổng số phần tử của \(A\) và của \(B\), tức là: \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|\). Ví dụ: Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có \(10\) chuyến ô tô, \(2\) chuyến tàu hỏa và \(1\) chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Số cách có thể đi để vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội là: Hướng dẫn: Có \(3\) phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay. - Có \(10\) cách đi bằng ô tô (vì có \(10\) chuyến). - Có \(2\) cách đi bằng tàu hỏa (vì có \(2\) chuyến). - Có \(1\) cách đi bằng máy bay (vì có \(1\) chuyến). Vậy có tất cả \(10 + 2 + 1 = 13\) cách đi từ HN và TP.HCM. 2. Quy tắc nhân Có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) để thực hiện công việc. - Có \({n_1}\) cách thực hiện công đoạn \({A_1}\). - Có \({n_2}\) cách thực hiện công đoạn \({A_2}\). … - Có \({n_k}\) cách thực hiện công đoạn \({A_k}\). Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách. Ví dụ: Mai muốn đặt mật khẩu nhà có \(4\) chữ số. Chữ số đầu tiên là một trong \(3\) chữ số \(1;2;0\), chữ số thứ hai là một trong \(3\) chữ số \(6;4;3\), chữ số thứ ba là một trong \(4\) chữ số \(9;1;4;6\) và chữ số thứ tư là một trong \(4\) chữ số \(8;6;5;4\). Có bao nhiêu cách để Mai đặt mật khẩu nhà? Hướng dẫn: Việc đặt mật khẩu nhà có \(4\) công đoạn (từ chữ số đầu tiên đến chữ số cuối cùng). - Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 1 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số đầu tiên). - Có \(3\) cách thực hiện công đoạn 2 (ứng với \(3\) cách chọn chữ số thứ hai). - Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 3 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ ba). - Có \(4\) cách thực hiện công đoạn 4 (ứng với \(4\) cách chọn chữ số thứ tư). Vậy có tất cả \(3.3.4.4 = 144\) cách để Mai đặt mật khẩu nhà. Câu hỏi 1 trang 44 SGK Đại số và Giải tích 11 Trong ví dụ 1, kí hiệu A là tập hợp các quả cầu trắng, B là tập hợp các quả cầu đen. Nêu mối quan hệ giữa số cách chọn một quả cầu và số các phần tử của hai tập A, B. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán đếm trong chủ đề hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp, bao gồm bài toán đếm số, bài toán xếp đồ vật, bài toán phân chia công việc, bài toán đếm liên quan đến hình học. Phương pháp: Dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. 1. Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của $n$ phần tử là: • Tất cả $n$ phần tử đều phải có mặt. • Mỗi phần tử xuất hiện một lần. • Có thứ tự giữa các phần tử. 2. Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi: • Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần. • $k$ phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự. 3. Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi: • Cần chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần. • Không quan tâm đến thứ tự $k$ phần tử đã chọn. Các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa Dạng toán 1. Bài toán đếm số Ví dụ 1. Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có $5$ chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau? Gọi$A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.$ Số cách chọn được $A$ là $A_{3}{2}=6$. Số chẵn có $5$ chữ số khác nhau, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau phải chứa $A$ và ba trong $4$ chữ số $0, 2, 4, 6.$ Gọi $\overline{abcd}$ $(a, b, c, d \in \{ A,0,2,4,6\})$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán. • Trường hợp 1: Nếu $a=A$ thì có $1$ cách chọn $a$ và $A_{4}{3}$ cách chọn $b, c, d$. • Trường hợp 2: Nếu $a \ne A$ thi có $3$ cách chọn $a.$ + Nếu $b=A$ có $1$ cách chọn $b$ và $A_{3}{2}$ cách chọn $c,d$. + Nếu $c=A$ có $1$ cách chọn $c$ và $A_{3}{2}$ cách chọn $b,d$. Vậy có $A_{3}{2}\left( A_{4}{3}+3\left( 1.A_{3}{2}+1.A_{3}{2} \right) \right)=360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán. |
