Cách giải phương trình lượng giác cơ bản có điều kiện nghiệm

Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.

Các dạng phương trình lượng giác

Phương trình sinx = m

Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\].

Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]

Phương trình cosx = m

Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] .

Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]

Phương trình tanx = m

Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan \alpha = m\].

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k \epsilon \mathbb{Z}]\]

Hoặc \[\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\] [m bất kỳ]

Chú ý: \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\], \[\tan x\] không xác định khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi\]

Phương trình cot[x] = m

Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\].

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\[\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k\epsilon \mathbb{Z}]\] Hoặc \[\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\] [m bất kỳ]

Chú ý: \[\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\],

\[\csc x\] không xác định khi \[x = k\pi\]

Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:

Phương trình lượng giác chứa tham số

Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \[a\sin x + b \cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\]

Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:

• Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
• Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
• Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ: Xác định m để phương trình \[[m^{2} – 3m + 2]\cos ^{2}x = m[m-1]\] [1] có nghiệm.

Cách giải

\[[1]\Leftrightarrow [m-1][m-2]\cos ^{2}x = m [m-1]\] [1’]

Khi m = 1: [1] luôn đúng với mọi \[x\epsilon \mathbb{R}\]

Khi m = 2: [1] vô nghiệm

Khi \[m\neq 1; m\neq 2\] thì:

[1’] \[\Leftrightarrow [m-2]\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\]  [2]

Khi đó [2] có nghiệm \[\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\]

Vậy [1] có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \[m\leq 0\]

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát

Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g[x,m] = 0 [1]. Xác định m để phương trình [1] có nghiệm \[x\epsilon D\]

Phương pháp:

• Đặt ẩn phụ t = h[x] trong đó h[x] là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình [1]
• Tìm miền giá trị [điều kiện] của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
• Đưa phương trình [1] về phương trình f[m,t] = 0
• Tính f’[m, t] và lập bảng biến thiên trên miền D1
• Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:

[Nguồn: www.youtube.com]

Please follow and like us:

Với Cách giải phương trình lượng giác cơ bản Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

- Phương trình sinx = a        [1]

    ♦ |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện

và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là

                x = arcsina + k2π, k ∈ Z

                và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a        [2]

    ♦ |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là

                x = arccosa + k2π, k ∈ Z

                và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a        [3]

Điều kiện:

Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là

                x = arctana + kπ,k ∈ Z

- Phương trình cotx = a        [4]

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là

                x = arccota + kπ, k ∈ Z

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sinx = sin[π/6]        c] tanx – 1 = 0

b] 2cosx = 1.        d] cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cos2 x - sin2x =0.

b] 2sin[2x – 40º] = √3

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sin⁡x = sin⁡π/6

b]

c] tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ [k ∈ Z]

d] cot⁡x=tan⁡2x

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x [cos⁡x - 2 sin⁡x ]=0

b] 2 sin⁡[2x-40º ]=√3

⇔ sin⁡[2x-40º ]=√3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sin⁡[2x+1]=cos⁡[3x+2]

b]

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k [k ∈ Z]

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ [m ∈ Z]

Bài 1: Giải các phương trình sau

a] cos[3x + π] = 0

b] cos [π/2 - x] = sin2x

Lời giải:

Bài 2: Giải các phương trình sau

a] sinx.cosx = 1

b] cos2 x - sin2 x + 1 = 0

Lời giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau

a] cos2 x - 3cosx + 2 = 0

b] 1/[cos2 x] - 2 = 0.

Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau: [√3-1]sinx = 2sin2x.

Lời giải:

Bài 5: Giải các phương trình sau: [√3-1]sinx + [√3+1]cosx = 2√2 sin2x

Lời giải: