Cách giải bài tập Xác suất thống kê Đại học

Students also viewed

• Giai sach bai tap XSTK DH KTQD chuong 2 full v3
• Giaisachbaitapxstkdhktqdchuong 1fullv 1-160611154016
• Bài tập TN tổng hợp - Giải bài tạp xstk
• Giai sach bai tap XSTK DH KTQD chuong 1 full v2
• Bloom Intro - Lecture notes 1
• Giáo trình Kinh tế học đại cương Phần 1 - TS. Trần Thị Lan Hương 936081

Other related documents

• ACCA Paper profit-loss
• ACCA F6 Taxation Uk 2013 Dec Question
• ACCA Paper Foundation end audit Exam kit
• SAS70 Evaluation Checklist Public Checklist Public
• PTKN Nhóm 3 ANh 5 KTDN K59 2
• ACCA F8 materials for Jun08 session Study system F 8 AA [Int]Session 30 j08

GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT

VÀ THỐNG KÊ ĐH KTQD

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/2016 version 2

Giải bài tập sách Bài tập Xác suất và Thống Kê toán trường ĐH KTQD 07/2016 version 2 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K52, K53. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: nnvminh@yahoo CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN §1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 2 Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi X là ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc. a] Tìm quy luật phân phối xác suất của X. b] Thiết lập hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị của nó Giải: a] X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 0, 1, 2 Ta có: P[X=0] = 0,9. 0,8 = 0, P[X=1] = 0,1. 0,8 + 0,9. 0,2 = 0, P[X=2] = 0,1. 0,2 = 0, Vậy quy luật phân phối xác suất của X là

X 0 1 2 P 0,72 0,26 0,

b] Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất: F[x] = P[X 2 F[x] = 0,72 + 0,26 + 0,02 = 1 Bài 2 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. a] Tìm quy luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng. b] Thiết lập hàm phân bố xác suất của X. c] Tính xác suất trong thời gian t có không quá hai bộ phận bị hỏng. d] Tìm mốt mo và trung vị md. Giải:

X 1 2 3 P 0,6 0,3 0,

Bài 2 Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để bắn cho đến khi trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác suất của viên đạn bắn trượt. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trượt: X = {1,2,3,...,n} Lại có: Gọi A = Biến cố bắn trúng bia có P[A] = 0,8 = p và P[ܣ̅] = 0,2 =q. Khi đó: P[X=n] = 0,8.[0,2]n Ta có:

X 0 1 2 ... n ... P 0,8 0,8.[0,2] 1 0,8.[0,2] 2 ... 0,8.[0,2]n ...

Nhận thấy: P[X=n] > 0 Và:

n n

n 0 n 0 n n

1 0, 2 1 P X n 0, 2 .0,8 lim 0, 8. n 1 0, 2 lim 1 5 1

.

Vậy các xác suất trên tạo thành 1 quy luật phân phối xác suất Bài 2 Có 2 lô sản phẩm: Lô 1: có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm Lô 2: có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm. a] Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra. b] Xây dựng hàm phân bố xác suất của số chính phẩm được lấy Giải: a] Gọi X là số chính phẩm được lấy ra từ hộp 2 nhận 3 giá trị 0;1; Gọi Hi là số chính phẩm lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là i với i = 0;1;

Ta có: P[H 0 ] = 80 22 CC. 102 C 451 ; P[H 1 ] = 1812 CC. 102 C = 1645 ; P[H 2 ] = 82 20 CC. 102 C = 2845

P[X=0|H 0 ] = 70 52 122

C. C C =

10 66 ; P[X=0|H 1 ] =

80 42 122

C. C C =

6 66 ; P[X=0|H 2 ] =

90 32 122

C. C C =

3 66

2 0 0 i. [ 0| i ] i P X P H P X H

= 45 661 10. 16 645 66. 28 345 66. = 2970190 = 0,

Tương tự:

P[X=1|H 0 ] =

15 71 122

C C. C =

35 66 ; P[X=1|H 1 ] =

1814 122

C C. C =

32 66 ; P[X=1|H 2 ] =

19 31 122

C C. C =

27 66

2 0 1 i. [ 1| i ] i P A P H P X H

= 45 661 35. 16 3245 66. 28 2745 66. = 13032970 = 0,

P[A=2] = 1 P[A=0] P[A=1] = 1 0,06397 0,43872 = 0, Ta có bảng sau:

X 0 1 2 P 0,06397 0,43872 0,

b] Hàm phân phối xác suất của X là:

0 0 0,06397 0 1 0,50269 1 2 1 2

x F x x x x

.

Bài 2 Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng với xác suất ném trúng của từng người lần lượt là 0,3 và 0,4. Người thứ nhất ném trước. a] Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ cho mỗi người b]Tìm qui luật phân phối xác suất của tổng số lần ném rổ của cả 2 người. Giải: a] Gọi số X 1 là số lần ném rổ của người thứ nhất: X 1 = 1, 2, 3,..., n,... Khi X 1 n

TH1 người 1 ném cuối thì cả người 1 và người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên

P X [ 1 n ] TH 1 0, 7 0, 6 .0, 3 n 1 n 1

TH2 người 2 ném cuối thì cả người 1 ném trượt n lần và người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên

P X [ 1 n ] TH 2 0, 7 0, 6 .0, 4 n n 1

Vậy P X [ 1 n ] P X [ 1 n ] TH 1 P X [ 1 n ] TH 2 0, 58, 42 n 1

Vậy qui luật phân phối xác suất của X 1 là:

X 1 1 2 ... n ... P 0,58 0, 58, 42 ... 0, 58, 42 n 1 ...

Bài 2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:

X -5 2 3 4 P 0,4 0,3 0,1 0,

a] Tính E[X]; V[X] và ߪ௑ b] Tìm giá trị mốt m 0. Giải:

a] E[X]=

4 i 1 i i X P

= -5,4+2,3+3,1+4,2 = -0,3.

b] V[X] = E[X 2 ] E 2 [X]= [-5] 2 .0,4+2 2 .0,3+3 2 .0,1+4 2 .0,2-[-0,3] 2 =15,21.

####### X V X [ ] = 3,9.

c] Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên m 0 là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với xác suất lớn nhất nên m 0 =-5. Bài 2 Tại một cửa hàng bán xe máy Honda, người ta thống kê được số xe máy X bán ra hàng tuần với bảng phân bố xác suất như sau:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P 0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,20 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,

a] Tìm số xe máy trung bình bán ra mỗi tuần. b] Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của số xe máy bán được mỗi tuần và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được. Giải: a] Số xe trung bình mỗi tuần bán được là kỳ vọng toán: 11

E X [ ] i 0 x pi i 4, 33

b] Phương sai: V[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 27 [4] 2 = 8,

####### Độ lệch chuẩn: X V X [ ]2, 8881

Ý nghĩa: Trung bình cửa hàng bán được 4,33 xe máy mỗi tuần. X 2,8881 đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên.

Bài 2 Cho X 1 , X 2 , X 3 là các biến ngẫu nhiên độc lập và có bảng phân phối xác xuất của chúng như sau:

X 1 0 1 X 2 1 2 X 3 0 2 P 0 0 P 0 0 P 0 0.

Lập X X 1 X 32 X 3 Tính E X [ ] và V X [ ]

Giải: *]Tính [ ] E X Ta có: E[X 1 ] = 0,6 + 1. 0,4 = 0,

E[X 2 ] = 0,8 + 2,2 = 1, E[X 3 ] = 0,8 + 2,2 = 0.

3 3 E X E X E X E X

*]Tính V X [ ]

9 9 V X V X V X V X

Bài 2 Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau:

Số khách trên 1 chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,

Tìm kỳ vọng toán và phương sai của số khách đi mỗi chuyến và giải thích ý nghĩa của kết quả thu được. Giải: * Gọi X là số khách đi mỗi chuyến, kỳ vọng toán của số khách đi mỗi chuyến là: E[X] = 0,2 + 0,3 + 0,15. 30 + 0,1 + 0,25 = 29, Ý nghĩa: Kỳ vọng bằng 29,5 cho biết trung bình có khoảng 29 khách hàng trên 1 chuyến xe.

• Phương sai của số khách đi mỗi chuyến là: V[X] = E[X 2 ] E 2 [X] = 0,2 2 + 0,3 2 + 0,15 2 + 0,1 2 + 0,25 2 [29,5] 2 = 54, Độ lệch chuẩn của số khách đi mỗi chuyến là: σ୶= ඥV[x]= ඥ54,757,
• Ý nghĩa:* Số khách đi các chuyến có sự khác nhau và chênh lệch khá lớn so với số khách trung bình.

a] Xây dựng bảng phân phối xác suất và hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng. b] Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng và phương sai tương ứng Giải: a] Đặt X là số nhân viên của một cửa hàng, ta có: Bảng phân phối xác suất:

Số nhân viên 2 3 4 5 Tổng Số cửa hàng 10 12 16 14 52 Xác suất 1 10 5

5 P 2 26 2 12 5

3 P 2 13 3 16 5

4 P 2 13 4 14 5

7 P 2 26 1

Hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng:

0 2 523 26 1134 26 1945 26 1 5

x x F x P X x x x x

b] Số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng bằng kì vọng:

42 1 [ ] k [ k ] k V X p x E X

5 [2 3, 65] 23 [3 3, 65] 24 [4 3, 65] 27 [5 3, 65] 2 26 13 13 26 1 ,

Bài 2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x 1 = 4 với xác suất P 1 = 0,5; x 2 = 0,6 với xác suất P 2 = 0,3 và x 3 với xác suất P 3. Tìm x 3 và P 3 biết E[X] = 8. Giải: Ta có P 3 = 1 P 1 P 2 = 1 0,5 0,3 = 0, E[X] = 8 = 0,5 + 0,6,3 + x3,2 hay 0,2 3 = 5, Do đó X 3 = 29,1. Bài 2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x 1 = -1, x 2 =0, x 3 = 1. Tìm các xác suất tương ứng p p 1 , , 2 p 3 biết rằng E[X]= 0,1 và E[X 2 ]=0,9.

Giải: Ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là:

X -1 0 1 P p 1 p 2 p 3

Theo bài ra ta có : 2 1 2 3 1 2 1 2 3 3

[ ] 0,1 +0. 0,1 0, 4 0, [ ] 0, 9 +0. 0, 9 0, 5

E X p p p p p E X p p p p

[1]

Vậy p 1 0, 4; p 2 0,1; p 3 0, 5.

Bài 2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có qui luật phân phối xác suất như sau:

X x 1 x 2 P p 1 0,

Tìm x x p 1 , , 2 1 biết E[X] = 0,7 và V[X] = 0,21.

Giải: Dễ thấy p 2 1 p 1 0, 3.

Ta có 122221 1 1 2

[ ] 0, 7 0, 3 0, 7 2, 7 2 [ ] 0, 21 0, 3 0, 7 2, 7 0, 21 3

E X x x x V X x x x

.

Bài 2 Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và một phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt 2 sản phẩm [ lấy không hoàn lại]. a] Gọi X là: số phế phẩm có thể gặp phải. Lập bảng phân phối xác suất của X. b] Tính E[X] và V[X]. c] Gọi Y là: số chính phẩm có thể gặp phải. Lập hệ thức cho biết mối quan hệ giữa Y và X. d] Tính E[Y] và V[Y]. Giải: a] Vì có 5 chính phẩm và 1 phế phẩm nên nếu gọi X là số phế phẩm có thể gặp phải thì X= 0 hoặc X=

Gọi X 0 là biến cố không gặp phải phế phẩm nào: P[X 0 ]= 24 CC 25 = 0,6.

Gọi X 1 là biến cố gặp phải 1 phế phẩm: P[X 1 ] = 11 14 C CC. 52 = 0,

Ta có bảng phân phối xác suất của X: X 0 1 P 0,6 0, b] E[X]= X 1 P 1 +X 2 P 2 =0,4. V[X] = E[X 2 ] E 2 [X]= 0+1 2 .0,4 0,4 2 =0,24.

Giải: a] Gọi X là biến ngẫu nhiên số sản phẩm bán được: Kỳ vọng toán cho số sản phẩm bán được: E[X] = 0,5 + 1,1 + 2,2 + 3,2 = 1, Mỗi sản phẩm bán với giá 110 ngàn đồng thì số tiền bình quân thu được từ mỗi khác hàng = 1,1. 110 = 121 [ ngàn đồng ] Nhân viên bán hàng được hưởng 10% trên số sản phẩm bán được. Số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hưởng từ mỗi khách hàng là: 121. 0,1 = 12,1 [ ngàn đồng ] b] Phương sai của số lượng sản phẩm bán được:

V X [ ] E X [ 2 ] E X 2 [ ]0,1 0, 2 0, 2 1,1 2 1, 49 Gọi Y là biến ngẫu nhiên số tiền hoa hồng nhận được thì Y = 10%=11X [đơn vị ngàn] Phương sai của số tiền hoa hồng: V[Y] = V[11X] = 11 2 .1,49= 180,29. Ý nghĩa của kết quả: Số tiền mà nhân viên nhận được hoa hồng khi bán cho 1 khách không đồng đều. Bài 2 Tỉ lệ khách hàng phản ứng tích cực với một chiến dịch quảng cáo là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:

X[%] 0 10 20 30 40 50 Px 0,1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,

a] Chứng tỏ rằng các xác suất Px tạo nên 1 bảng phân phối xác suất b] Tìm tỉ lệ khách hàng bình quân phản ứng tích cực với quảng cáo đó c] Tìm xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng tích cực với chiến dịch quảng cáo Giải: a] Ta thấy: P[X=0]+P[X=10]+P[X=20]+P[X=30]+P[X=40]+P[X=50]=0,1+0, +0,35+0,2+0,1+0,05=1. Do đó các Px tạo nên 1 bảng xác suất. b] Tỉ lệ bình quân khách hàng phản ứng tích cực với quảng cáo đó chính là kì vọng: E[X]=0,1+0,2+0,35+0,2+0,1+0,05=21,5. c] Xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng với chiến dịch quảng cáo là: Pc= 0,2+0,1+0,05=0,35.

Bài 2 Tung cùng một lúc hai con xúc xắc. Gọi X là tổng số chấm thu được. a] Tìm bảng phân phối xác suất của X b] Tìm hàm phân bố xác suất của X c] Giá trị nào của X có khả năng xảy ra nhiều nhất Giải: X là tổng số chấm thu được. Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị X = 2, 3,..., 12 a]

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

b]

F[x] =

0 2 1/ 36 2 3 3/36 3 4 6/ 36 4 5 10 / 36 5 6 15/ 36 6 7 21 / 36 7 8 26/ 36 8 9 30/ 36 9 10 33/ 36 10 11 35 / 36 11 12 1 12

x x x x x x x x x x x x

c] Từ bảng phân bố xác suất ta thấy mo = 7 Bài 2 Qua theo dõi trong nhiều năm kết hợp với sự đánh giá của các chuyên gia tài chính thì lãi suất đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

X[%] 9 10 11 12 13 14 15 Px 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,

a] Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó thì sẽ đạt được lãi suất ít nhất là 12% b] Tìm lãi suất có thể hy vọng khi đầu tư vào công ty đó c] Mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó có thể đánh giá bằng cách nào? Giải: a] X là lãi suất đầu tư vào công ty ta có

Hỏi làm theo cách nào lợi hơn? Giải: Theo phương pháp 1 thì phải làm 5000 xét nghiệm Theo phương pháp 2 thì gọi X là số xét nghiệm phải làm đối với từng loạt 10 người X=1 [nếu kết quả xét nghiệm là âm tính] và X=11 [nếu kết quả là dương tính] P 1 = P[X=1]=[10,1]ଵ଴=0,9ଵ଴ [10 người không mắc bệnh] P 2 = P[X=11]= 1 P 1 = 1 0,9ଵ଴ [có ít nhất 1 người mắc bệnh] Từ đó E[X] 7,5 tức là trung bình phải làm 7,5 xét nghiệm

Vậy tổng số xét nghiệm phải làm là: ହ଴଴଴ଵ଴ × 7,5 = 3750 xét nghiệm

Như vậy làm theo phương pháp 2 lợi hơn phương pháp 1 là 25%. Bài 2 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

X 1 4 8 P 0,3 0,1 0,

Tìm P[|X-E[X]| < 4]? Giải: Từ bảng phân phối xác suất ta có: E[X]= 1,3+4,1+8,6=5,

X E X [ ] 4 4 X E X [ ] 4 1, 5 X 9, 5 X 4;

Suy ra P X [ E X [ ] 4] P X [ 4] P X [ 8] 0,1 0, 6 0, 7.

§2 Biến ngẫu nhiên liên tục Bài 2 Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau [ đơn vị: ngàn sản phẩm]

a] Tìm k. b] Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12000 sản phẩm một năm. c] Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó. Giải:

0 f x dx

30 0

f x dx +

30

f x dx

30 0

f x dx =

30 0

k [30 x dx ] =

230 k 30 x x 2 | 0

=450k

Vậy k = 1/450. b] Xác suất để nhu cầu về loại hàng A không vượt quá 12 ngàn sản phẩm một năm là

12 f x dx

12 0

f x dx =

12212

0 4501 [30 x dx ] 4501 [30 x x 2 ] | 0 0, 64.

c] Nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó cũng chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X:

302330

0 x. 4501. 30 x dx 4501 30. x 2 x 3 | 0 10.

Bài 2 Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố xác

suất như sau [ đơn vị phút ] 32

0 0 [ ] 3 2 0 1 1 1

F x ax x

x x x x

a] Tìm hệ số a. b] Tìm thời gian xếp hàng trung bình c] Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút

Giải: Ta có f x [ ] 30 ax 2 x 6 x [ 2 ; 0] [1; 0 x ] 1

a] Do f[x] là hàm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên:

10 0

1 f x dx [ ] 1 [ 3 ax 26 x 2] dx ax 33 x 2 2 | x a 1 a 2

.

b]

1243 2 1 E X [ ] xf x dx [ ] 0 x ax [3 6 x 2] dx 34 ax 2 x x | 0 0, 5

.

c] Xác suất để một người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0,5 phút là:

Xác suất để cả 3 người xếp hàng phải chờ quá 0,5 phút là 0 3 nên Xác suất để có không quá 2 trong 3 người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0 phút:

Pc =1-0 3 =0,875.

Bài 2 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất sau đây: F x [ ] 12 1 arctanx.

a] Tìm P[0