Cách biểu diễn véctơ thành tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa

Giả sử S={v1,...,vn} là một tập hữu hạn các vectơ, một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng các vectơ nhân bởi các hệ số theo dạng:

a1v1+...+an vn

với các số a1,...,an nằm trong trường F của không gian vectơ chứa v1,...,vn.

Ví dụ

Vector [3,-4] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp {[1,1],[2,3],[1,-1]} bởi vì:

[3,-4] = 2[1,1] + [-1][2,3] + 3[1,-1]

Bao tuyến tính

Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong S được gọi là bao tuyến tính của S [hay không gian con sinh bởi S] và ký hiệu là span[S] hay

. Nói một cách chính xác:
span[S] = {v thuộc V: v= a1v1+...+an vn với các số a1,...,an nằm trong trường F}.

 Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Một hệ các vectơ {v1,...,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số : k1, ..., kn không đồng thời bằng không sao cho:

k1 v1 + ... + kn vn = 0.

• Hệ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
• Nói cách khác, hệ các vectơ này là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

k1 v1 + ... + kn vn = 0

chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 = ... = kn = 0

Ý nghĩa hình học

• Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
• Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Thí dụ

• Hai vectơ [1,2,3,4] và [-3,-6,-9,5] là độc lập tuyến tính.

• [1,2] và [-2,-4] không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ1 = 1 và λ2 = 2 thỏa mãn λ1[-2,-4] + λ2[1,2] = 0.

Độc lập tuyến tính trong không gian Rn

• Trong không gian Rn một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v1,...,vm} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu hệ các vectơ {v1,...,vm} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:

k1 v1 + ... + km vm là một không gian con đẳng cấu với Rm.

• Một hệ n vectơ {v1,...,vn} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, khi và chỉ khí ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không.

Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyên tính và sinh ra không gian vectơ đó. Đây là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Ta có thể nhận ra ý nghĩa của cơ sở trong không gian vectơ

. Không gian này thường được biểu diễn bằng các vectơ hình học trên mặt phẳng. Một cơ sở của nó là hệ gồm hai vectơ đơn vị của hai trục toạ độ: i=[1,0] và j=[0,1]. Mọi vectơ của đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này. Trong không chỉ có một cơ sở, có rất nhiều hệ hai vectơ như thế. Tồng quát cho một không gian vectơ bất kỳ ta có:

Định nghĩa

Một tập hợp B của các vectơ b1,...,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như

Khi đó [với n hữu hạn] số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V.

Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ

, với tập chỉ số I là tập vô hạn. Khi đó V được gọi là không gian vô hạn chiều.

Trong không gian

, số vectơ trong cơ sở bằng số chiều của không gian bằng n.

Tính chất

1. Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian V hữu hạn chiều có số phần tử như nhau.
2. Mọi vectơ v của V biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở B.
3. Hai không gian hữu hạn chiều là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và mọi đẳng cấu tuyến tính biến một cơ sở thành cơ sở.

Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sở

Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Chẳng hạn

nếu v = k1.b1 + k2.b2 + ... + kn.bn thì [k1,k2,...,kn] là toạ độ của v trong cơ sở B.

Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vetơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' tương ứng là [k1,k2,...,kn] và [k'1,k'2,...,k'n]. Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau

.

Khi đó v=

= = .

Như vậy

được gọi là công thức đổi cơ sở.

Cơ sở chính tắc

Trong không gian

, hệ gồm n vectơ đơn vị:

lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của .

Ví dụ:

{[1,0,0], [0,1,0],[0,0,1]} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ .

Đã gửi 03-12-2014 - 21:47

Hãy biểu diễn véctơ $x$ thành tổ hợp tuyến tính của các véctơ $u, v, w$

$x=5+9t+5t^2$

$u=2+t+4t^2$

$v=1-t-3t^3$

$w=3+2t+5t^2$

Giả sử $x=au+bv+cw$.

Khi đó $5+9t+5t^2=-3bt^3+t^2[4a+5c]+t[a-b+2c]+[2a+b+3c]$

Ta được hệ $\left\{\begin{matrix} b=0\\4a+5c=5 \\2a+b+3c=5 \\ a-b+2c=9 \end{matrix}\right.$

Hệ trên vô nghiệm nên $x$ không biểu diễn tuyến tính qua $u,v,w$

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.

Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây

Đã gửi 05-04-2013 - 19:30

Cho em hỏi cách giải các dạng bài tập tổ hợp tuyến tính. Giống như các ví dụ sau:

1] Trong R3, xét xem vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3 hay không

u1= [1,0,1], u2=[1,1,0], u3=[0,1,1], u=[1,2,1]

2] Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w. Trong đó

x=[7,-2,15], u=[2,3,5], v=[3,7,8], w=[1,-6,1]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi elgato02: 05-04-2013 - 19:31

Đã gửi 05-04-2013 - 19:54

Cho em hỏi cách giải các dạng bài tập tổ hợp tuyến tính. Giống như các ví dụ sau:

1] Trong R3, xét xem vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3 hay không

u1= [1,0,1], u2=[1,1,0], u3=[0,1,1], u=[1,2,1]

2] Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w. Trong đó

x=[7,-2,15], u=[2,3,5], v=[3,7,8], w=[1,-6,1]

Chúng ta sử dụng trực tiếp định nghía là có thể xử ký dể dàng bài này.

1] Xét phương trình 

$u=\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+\alpha _{3}u_{3}$ $[*]$

$\Leftrightarrow [1,2,1]=\alpha _{1}[1,0,1]+\alpha _{2}[1,1,0]+\alpha _{3}[0,1,1]$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}+\alpha _{2}=1\\ \alpha _{2}+\alpha _{3}=2\\ \alpha _{1}+\alpha _{3}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}=0\\ \alpha _{2}=1\\ \alpha _{3}=1 \end{matrix}\right.$

Vậy $u$ là tổ hợp tuyến tính của $u_{1},u_{2},u_{3}$ và $u=0.u_{1}+1.u_{2}+1.u_{3}$

2] Tương tự thôi.

............................

Theo định nghĩa ta xét phương trình $[*]$. Nếu tồn tại bộ số $[\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}]$ khác không thỏa phương trình này thì ta nói $u$ là tổ hợp tuyến tính của $u_{1},u_{2},u_{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 05-04-2013 - 19:59

Võ Văn Đức 

     

Đã gửi 06-04-2013 - 10:58

Cho em hỏi vậy nếu như hệ phương trình ra được vô số nghiệm thì phải làm sao?

Đã gửi 06-04-2013 - 17:31

Một biểu thị tuyến tính nếu có là duy nhất.

Võ Văn Đức       

Đã gửi 07-04-2013 - 20:29

Một biểu thị tuyến tính nếu có là duy nhất.

vậy nếu như nó ra nghiệm toàn số 0 thì nó có phải là tổ hợp tuyến tính không.Cám ơn anh nhiều

Đã gửi 24-04-2013 - 23:03

Cái này bạn nên xem lại giáo trình, các định lý ý, nên đọc hết, không hiểu hãy hỏi

Đã gửi 04-12-2014 - 11:27

Cho e hỏi bài này làm ntn với ạ!

cho a[1;y;x], tìm x,y để a là tổ hợp tuyến tính của u[1;3;1], v[1;-1;1], w[3;1;3]

Đã gửi 04-12-2014 - 11:38

anh chị cho e gợi ý về một số cách tính An ,với A $\in$ Math[n] 

Đã gửi 05-12-2014 - 08:48

Cho e hỏi bài này làm ntn với ạ!

cho a[1;y;x], tìm x,y để a là tổ hợp tuyến tính của u[1;3;1], v[1;-1;1], w[3;1;3]

Xét tổ hợp tuyến tính $$a=\alpha _1u+\alpha _2v+\alpha _3w\qquad [*]$$

$$\Leftrightarrow \quad [1,y,x]=\alpha _1[1,3,1]+\alpha _2[1,-1,1]+\alpha _3[3,1,3]$$

$$\Leftrightarrow \quad [1,y,x]=[\alpha _1+\alpha _2+3\alpha _1,3\alpha _1-\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+3\alpha _3]$$

$$\Leftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \alpha _1+\alpha _2+3\alpha _3=1\\ 3\alpha _1-\alpha _2+\alpha _3=y\\ \alpha _1+\alpha _2+3\alpha _3=x \end{matrix}\right.$$

Như vậy, tổ hợp tuyến tính $[*]$ tương đương với một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn số $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3$. Để $a$ là tổ hợp tuyến tính của $u,v,w$ thì hệ phương trình tuyến tính trên phải có nghiệm $[\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3]$ khác không. Bây giờ ta tìm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính ấy có nghiệm khác không.

Xét ma trận hệ số bổ sung $$\overline{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1\\ 3 & -1 & 1 & | & y\\ 1 & 1 & 3 & | & x \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & | & 1\\ 0 & -4 & -8 & | & y-3\\ 0 & 0 & 0 & | & x-1 \end{pmatrix}$$

Suy ra, với $x=1$ và $\forall y\in \mathbb{R}$ thì $r[A]=r[\overline{A}]=2< 3$ hệ phương trình có vô số nghiệm, tức là có nghiệm khác không.

Vậy, $x=1$ và $\forall y\in \mathbb{R}$ là điều kiện cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 05-12-2014 - 08:50

Võ Văn Đức       

Đã gửi 21-12-2016 - 21:13

cho e hỏi nếu PT vô nghiệm thì phải làm như nào nữa ạ?? e cám ơn

Đã gửi 21-12-2016 - 23:06

cho e hỏi nếu PT vô nghiệm thì phải làm như nào nữa ạ?? e cám ơn

Hệ vô nghiệm thì tức là không thể biểu diễn một vectơ dưới dạng tổ hợp tuyến tính các vectơ còn lại. 

$\sum_{P} I[P, F\cap G]=mn$

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck

Đã gửi 22-12-2016 - 08:48

vậy nếu như nó ra nghiệm toàn số 0 thì nó có phải là tổ hợp tuyến tính không.Cám ơn anh nhiều

Có!

Một biểu thị tuyến tính nếu có là duy nhất.

Chỉ duy nhất khi các vector độc lập tuyến tính. Cụ thể:

Giả sử $u_1, u_2, ..., u_m, u\in V$ [không gian vector] và tồn tại các số $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ sao cho 

$$u=\sum_{i=1}^{m} \alpha_i u_i.\quad \quad \quad [**]$$

Khi đó sự tồn tại bộ số $[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m]$  thỏa [**] là duy nhất khi và chỉ khi $u_1, u_2, ..., u_m$ độc lập tuyến tính.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 22-12-2016 - 08:48

Đời người là một hành trình...