Bài tập vi ét giá trị tuyệt đối
|
Những bài toán liên quan đến dấu của nghiệm phương trình bậc hai bao giờ cũng liên quan đến công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét. Cụ thể là: Phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm: Phương trình có nghiệm ( ) và thì điều kiện nghiệm chung là: Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương gồm: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ( ) và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ( ) Trình bày lời giải
. Vậy với thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Ví dụ 2: Cho phương trình: ( là tham số). Tìm để phương trình có hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuong có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài). Giải Tìm cách giải. Bản chất của bài toán gồm 2 bước: Bước 1. Phương trình có hai nghiệm dương Bước 2. Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài) thì thỏa mãn:
Trình bày lời giải Xét Phương trình luôn có hai nghiệm Để hai nghiệm là số đo hai cạnh của tam giác phương trình có hai nghiệm dương . Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là (đơn vị độ dài)
. Giải ra, ta được: . Kết hợp điều kiện, ta được thỏa mãn Ví dụ 3: Cho phương trình ( là tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011 -2012) Giải Phương trình có hai nghiệm phâm biệt khi hay hoặc (*) Theo Vi-ét: Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương: Vậy
Vậy với thì Ví dụ 4: Cho phương trình (với là tham số). Tìm để phương trình đã cho có hai nghiệm và thỏa mãn: (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tình Phú Thọ năm học 2012 – 2013) Giải
* Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: * Ta có: Suy ra: Từ đó suy ra: (thỏa mãn điều kiện) Vậy với thì phương trình có hai nghiệm và thỏa mãn Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của sao cho phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt. (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013) Giải Cách 1. Ta có (1)
Đặt phương trình có dạng: (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
Cách 2. Ta có (1)
Đặt phương trình có dạng: (3) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn
Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu và là hai nghiệm của phương trình (1), còn và là hai nghiệm của phương trình (2) thì ta có hệ thức: . Giải Theo hệ thức Vi-et ta có: Xét
. Suy ra Điều phải chứng minh. Nhận xét. Nếu chọn và là hai số nguyên sao cho là số chính phương thì ta có kết quả: là số chính phương. Chẳng hạn: cho số nguyên , chứng minh rằng nếu và là hai nghiệm của phương trình (1), còn và là hai nghiệm của phương trình thì ta có là số chính phương. Ví dụ 7: Cho phương trình (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của và sao cho phương trình (1) có nghiệm nguyên phân biệt và nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia (Thi học sinh giỏi Toàn 9, tỉnh Yên Bái, năm học 2003 – 2004) Giải Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và Ta có: Suy ra Do đó Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm nguyên ohana biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia Ví dụ 8: Gọi là hai nghiệm của phương trình bậc hai . Đặt với nguyên dương
. Giải
Suy ra: (1), (2). Từ (1) và (2) cộng vế với vế, ta được:
Từ đó suy ra: .
Suy ra Vậy là nghiệm của phương trình . Áp dụng câu a, ta có: (*) Ta có: . Áp dụng công thức (*), ta có:
Ta có: .
17.1. Cho phương trình
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Bình năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi là nghiệm của phương trình Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Ta có:
Đặt
Từ đó ta có bảng sau:
1 3 5 15 -1 -3 -5 -15
15 5 3 1 -15 -5 -3 -1 Suy ra: k 4 2 2 4 -4 -4 -2 -4 m 4 1 0 -3 -3 0 1 4 Vậy với thì phương trình có nghiệm nguyên 17.2. Cho phương trình bậc hai . Tìm để phương trình:
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Vĩnh Long năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số
Theo hệ thức Vi-et, ta có: (thỏa mãn ) Vậy thì phương trình có 2 nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: nên nếu thì phương trình có nghiệm kép là số dương Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu thì phương trình cũng có một nghiệm dương
Vậy với hoặc thì phương trình có đúng một nghiệm dương 17.3. Cho phương trình Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: Hướng dẫn giải – đáp số
và Gọi là nghiệm của phương trình: * Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: Ta có:
(thỏa mãn), (không thỏa mãn) Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 17.4. Cho phương trình bậc hai với là tham số thực
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Vĩnh Long, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng hệ thức Vi-ét: Ta có:
Vậy khi và chỉ khi 17.5. Cho phương trình bậc hai (1). ( là tham số)
Hướng dẫn giải – đáp số
Theo hệ thức Vi-ét ta có: Theo đề bài:
Thử lại với điều kiện (*) thì không thỏa mãn Vậy không tồn tại thỏa mãn điều kiện đề bài 17.6. Cho phương trình (ẩn )
Tính theo và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Bình, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số
Vậy thì phương trình có hai nghiệm dương
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Xét: . Vì nên Ta có: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 3 khi 17.7. Cho phương trình (1)
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
Ư(9) Vì nguyên dương nên , suy ra:
-3 -1 1 3 9
1 2 3 4 7 Vậy với thì nhận giá trị nguyên 17.8. Cho phương trình (1) và (2) (với )
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét: nên
Mặt khác ta có: , nên: (vì ) 17.9. Cho là số tự nhiên khác 0. Gọi là hai nghiệm của phương trình ; là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng tích là một số chính phương. (Thi học sinh giỏi Toán, TP Hà Nội, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Từ (1); (2) theo hệ thức vi-ét, ta có:
(vì )
Mà Suy ra (*)
Điều phải chứng minh 17.10. Tìm để phương trình có nghiệm dương (Thi học sinh giỏi lớp 9, Thừa Thiên Huế, vòng 1, năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải – đáp số Khi , phương trình trở thành: Khi thì PT: (1) là phương trình bậc hai Gọi là tổng và tích các nghiệm của phương trình (1) Phương trình (1) có nghiệm dương trong các trường hợp sau: , khi đó . Suy ra hệ vô nghiệm , khi đó , khi đó . Suy ra Đáp số: 17.11. Cho phương trình:
(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải – đáp số Xét Phương trình có 2 nghiệm Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Vì nên và Do đó Vậy giá trị lớn nhất của là , đạt được khi và chỉ khi 17.12. Cho phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Hướng dẫn giải – đáp số Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho Theo định lí Vi-ét ta có: Khi đó Do
Vậy Đẳng thức xảy ra khi hoặc hoặc Vậy, hoặc 17.13. Cho phương trình ( là ẩn số). Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Quốc Học, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2015 – 2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có:
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2
Khi đó là nghiệm của phương trình (2), theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có: Suy ra: (thỏa mãn điều kiện) Vậy với thì phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: 17.14. Cho phương trình: , với là tham số (1).
ii. Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn . (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Bến Tre, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số
Có Phương trình (1) có nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Vì nên Suy ra Dấu bằng xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện). Vậy ii. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
Ta có (không thỏa mãn) Vậy không tồn tại để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn 17.15. Cho phương trình (1) với là tham số
(Tuyển sinh lớp 10, trường Phổ thông năng khiếu, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015) |
