Tài liệu gồm 94 trang, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán và bài tập tự luận + trắc nghiệm chuyên đề bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit, từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12.
BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT.
- LÝ THUYẾT. II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. + Dạng 1. Bất phương trình cơ bản – phương pháp đưa về cùng cơ số. + Dạng 2. Bất phương trình mũ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. + Dạng 3. Bất phương trình lôgarit giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. + Dạng 4. Bất phương trình mũ – lôgarit phương pháp xét hàm. + Dạng 5. Một số bài toán kết hợp các phương pháp. III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 1. Bài tập trắc nghiệm trích từ đề tham khảo và đề chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm 2017 đến nay. 2. Hệ thống bài tập trắc nghiệm. + Dạng 1. Bất phương trình mũ. + Dạng 2. Bất phương trình lôgarit. + Dạng 3. Bất phương trình mũ – mức độ 2 – 3. + Dạng 4. Bất phương trình lôgarit – mức độ 2 – 3. 3. Bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng – vận dụng cao. + Dạng 1. Bất phương trình lôgarit chứa tham số. + Dạng 2. Bất phương trình mũ chứa tham số. + Dạng 3. Bất phương trình nhiều ẩn.
- Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Tài liệu gồm có các dạng toán thường gặp trong kỳ thi THPT. Được mình chia dạng rõ ràng, phân mức độ tương ứng với từng đối tượng học sinh. Tài liệu có tính cập nhật cao đối với các đề thi gần đây. Hi vọng sẽ giúp các bạn học sinh bổ sung được kiến thức, đồng thời cũng nâng cao được kinh nghiệm giải toán.
Tài liệu có full đáp án chi tiết
Nếu bạn là giáo viên, có nhu cầu sử dụng FILE WORD để tiện tham khảo, chỉnh sửa trong quá trình biên soạn và giảng dạy thì có thể liên hệ mình nhé!
Nếu bạn đọc trong quá trình tham khảo, học tập phát hiện ra lỗi trong bộ tài liệu TỰ HỌC TOÁN 10, TỰ HỌC TOÁN 11, 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI 2022 thì mong các bạn phản hồi về cho mình nha. Mình chân thành cám ơn!
Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán phương trình logarit và bất phương trình logarit trong chương trình Giải tích 12 chương 2, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu lũy thừa – mũ – logarit được đăng tải trên TOANMATH.com.
- KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1. ${\log _a}f\left[ x \right] = {\log _a}g\left[ x \right]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\\ f\left[ x \right] \ge 0{\rm{ }}\left[ {g\left[ x \right] \ge 0} \right] \end{array} \right.$ 2. ${\log _a}f\left[ x \right] = b \Leftrightarrow f\left[ x \right] = {a^b}.$ 3. ${\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right]$ $[*].$ + Nếu $a > 1$ thì $\left[ * \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left[ x \right] > g\left[ x \right]\\ g\left[ x \right] > 0 \end{array} \right.$ + Nếu $0 < a < 1$ thì $\left[ * \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\\ f\left[ x \right] > 0 \end{array} \right.$ Chú ý: ${\log _a}f\left[ x \right]$ có nghĩa $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left[ x \right] > 0\\ 0 < a \ne 1 \end{array} \right.$
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số Phương pháp: ${\log _a}f\left[ x \right] = {\log _a}g\left[ x \right]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1\\ f\left[ x \right] = g\left[ x \right] > 0 \end{array} \right.$ Phương trình logarit cơ bản: ${\log _a}x = b$, $\left[ {0 < a \ne 1} \right].$ * ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$, $\left[ {0 < a \ne 1} \right]$. * $\lg x = b \Leftrightarrow x = {10^b}$, $\ln x = b \Leftrightarrow x = {e^b}$.
Ví dụ 1. Giải các phương trình: 1. ${\log _{25}}{\left[ {4x + 5} \right]^2} + {\log _5}x = {\log _3}27.$ 2. ${\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x = {\log _{20}}x.$
1. Điều kiện: $x > 0.$ Phương trình đã cho trở thành: ${\log _5}\left[ {4x + 5} \right] + {\log _5}x = 3$ $ \Leftrightarrow {\log _5}[4{x^2} + 5x] = 3$ $ \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x = 125$ $ \Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = \frac{{25}}{4}.$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ hoặc $x = \frac{{25}}{4}.$ 2. Điều kiện $x > 0.$ Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số ${\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}.$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}3}} + \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}4}} = \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}20}}$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}} + \frac{1}{{{{\log }_2}4}} – \frac{1}{{{{\log }_2}20}}} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$ Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức ${\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}$ sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn.
Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\log _3}{\left[ {x – 2} \right]^2} + {\log _{\sqrt 3 }}\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}} = 0.$
Điều kiện: $0 < x \ne 2.$ Phương trình đã cho viết lại ${\log _3}{\left[ {x – 2} \right]^2} + {\log _3}{\left[ {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right]^2} = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\left[ {x – 2} \right]}^2}.{{\left[ {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right]}^2}} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow {\left[ {x – 2} \right]^2}.{\left[ {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right]^2} = 1.$ Giải phương trình này ta được $x = 1, x = \frac{3}{2}, x = 3.$
Ví dụ 3. Giải phương trình: ${\log _2}\left[ {8 – {x^2}} \right]$ $+ {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right] – 2 = 0.$
Với $x \in \left[ { – 1;1} \right]$ phương trình đã cho viết lại: ${\log _2}\left[ {8 – {x^2}} \right]$ $ = 2 + {\log _2}\left[ {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right]$ $ \Leftrightarrow 8 – {x^2} = 4\left[ {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right]$ $[*].$ Đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} $, phương trình $[*]$ trở thành: ${\left[ {{\rm{t}} – {\rm{2}}} \right]{\rm{2}}}\left[ {{{\rm{t}}{\rm{2}}} + {\rm{4t}} + {\rm{8}}} \right] = 0$, phương trình này có nghiệm $t = 2$ hay $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} = 2$. Bình phương $2$ vế và rút gọn ta được $x = 0.$
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\lg \sqrt {1 + x} + 3\lg \sqrt {1 – x} – 2 = \lg \sqrt {1 – {x^2}} .$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 1 + x > 0\\ 1 – x > 0\\ 1 – {x^2} > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 1.$ Để ý: $\lg \sqrt {1 – {x^2}} = \lg \sqrt {1 + x} \sqrt {1 – x} $ $ = \lg \sqrt {1 + x} + \lg \sqrt {1 – x} .$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \lg \sqrt {1 + x} + 3\lg \sqrt {1 – x} – 2$ $ = \lg \sqrt {1 + x} + \lg \sqrt {1 – x} $ $ \Leftrightarrow \lg \sqrt {1 – x} = 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – x} = 10$ $ \Leftrightarrow 1 – x = 100 \Leftrightarrow x = – 99.$ Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.
Dạng 2. Đặt ẩn phụ Phương pháp: $f\left[ {{{\log }_a}g\left[ x \right]} \right] = 0$ $\left[ {0 < a \ne 1} \right]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = {\log _a}g\left[ x \right]\\ f\left[ t \right] = 0 \end{array} \right.$ Ta chú ý công thức đổi cơ số: ${\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}$ $ \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ $\forall a, b, x > 0; a, b \ne 1.$
Ví dụ 5. Giải các phương trình: 1. ${\log _2}x + \sqrt {10{{\log }_2}x + 6} = 9.$ 2. $\sqrt {{{\log }_9}x + 1} + \sqrt {{{\log }_3}x + 3} = 5.$ 3. ${4^{{{\log }_2}2{\rm{x}}}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}.$
1. Điều kiện: $x > 0$ và $10{\log _2}x + 6 \ge 0.$ Đặt $t = {\log _2}x$, phương trình đã cho đưa về dạng: $\sqrt {10t + 6} = 9 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 – t \ge 0\\ 10t + 6 = {\left[ {9 – t} \right]2} \end{array} \right.$ từ đây ta tìm được $t = 3$ tức $x = 8.$ Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 8.$ 2. Điều kiện: $x > 0$ và ${\log _3}x + 3 \ge 0,$ ${\log _9}x + 1 \ge 0.$ Đặt $t = {\log _3}x$, phương trình đã cho về dạng $\sqrt {\frac{1}{2}t + 1} + \sqrt {t + 3} = 5$ $[1].$ Với điều kiện $t \ge – 2$, bình phương hai vế của $[1]$ và rút gọn ta được: $\sqrt {\frac{1}{2}{t^2} + \frac{5}{2}t + 3} = 21 – \frac{3}{2}t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 \le t \le 14\\ {t^2} – 292t + 1716 = 0 \end{array} \right.$ $⇒t = 6$ tức $x = 64.$ Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 64.$ 3. Điều kiện: $x > 0.$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {4{1 + {{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{\log }_2}x}}$ $ \Leftrightarrow {4.4^{{{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} – {18.9^{{{\log }_2}x}} = 0$ $ \Leftrightarrow 4.{\left[ {\frac{2}{3}} \right]{{{\log }_2}x}} – {\left[ {\frac{2}{3}} \right]{{{\log }_2}x}} – 18 = 0.$ Đặt $t = {\left[ {\frac{2}{3}} \right]{{{\log }_2}x}}, t > 0$, ta có: $4{t^2} – t – 18 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{4}$ $ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{2}{3}} \right]{{{\log }_2}x}} = \frac{9}{4} = {\left[ {\frac{2}{3}} \right]^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{4}.$
Ví dụ 6. Giải phương trình: ${\log _2}x{\left[ {x – 1} \right]^2}$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left[ {{x^2} – x} \right] – 2 = 0.$
Điều kiện: $x > 1.$ Biến đổi phương trình về dạng: ${\log _2}\frac{{{{\left[ {{x^2} – x} \right]}^2}}}{x}$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left[ {{x^2} – x} \right] – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left[ {{x^2} – x} \right] – {\log _2}x$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left[ {{x^2} – x} \right] – 2 = 0$ $[*].$ Đặt $u = {\log _2}\left[ {{x^2} – x} \right]$ và $v = {\log _2}x.$ Đưa phương trình $[*]$ về phương trình: $\left[ {u – 1} \right]\left[ {v + 2} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow u = 1$ hoặc $v = – 2.$ + Với $u = 1$ thì ${\log _2}\left[ {{x^2} – x} \right] = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x = 2 \Leftrightarrow x = 2.$ + Với $v = – 2$ thì ${\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ [không thỏa mãn điều kiện]. Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$
Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích Phương pháp: $f\left[ x \right].g\left[ x \right] = 0{\rm{ }}$ $ \Leftrightarrow f\left[ x \right] = 0$ hoặc $g\left[ x \right] = 0.$
Ví dụ 7. Giải phương trình: ${\log _3}x + {\log _4}x = {\log _5}x.$
Dễ thấy: ${\log _4}x = {\log _4}3.{\log _3}x$, ${\log _5}x = {\log _5}3.{\log _3}x.$ Với $x > 0$. Phương trình được viết dưới dạng: ${\log _3}x + {\log _4}3.{\log _3}x = {\log _5}3.{\log _3}x$ $ \Leftrightarrow {\log _3}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$
Ví dụ 8. Giải các phương trình: 1. ${\log _{5x}}\frac{5}{x} + \log _5^2x = 1.$ 2. ${\log _{{x^2}}}16 + {\log _{2x}}64 = 3{\rm{ }}.$
1. Điều kiện: $0 < x \ne \frac{1}{5}.$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}\frac{5}{x}}}{{{{\log }_5}5x}} + \log _5^2x = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 – {{\log }_5}x}}{{1 + {{\log }_5}x}} + \log _5^2x = 1$ $ \Leftrightarrow {\log _5}x[\log _5^2x + {\log _5}x – 2] = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _5}x\left[ {{{\log }_5}x – 1} \right]\left[ {{{\log }_5}x + 2} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}x = 0\\ {\log _5}x = 1\\ {\log _5}x = – 2 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 5\\ x = {5^{ – 2}} \end{array} \right.$ Vậy phương trình có ba nghiệm: $x = 1; x = 5; x = \frac{1}{{25}}.$ 2. Điều kiện: $0 < x \ne 1, x \ne \frac{1}{2}.$ Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}16}}{{{{\log }_2}{x^2}}} + \frac{{{{\log }_2}64}}{{{{\log }_2}2x}} = 3$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\log }_2}x}} + \frac{6}{{1 + {{\log }_2}x}} = 3$ $ \Leftrightarrow 3\log _2^2x – 5{\log _2}x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_2}x – 2} \right]\left[ {3{{\log }_2}x + 1} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 2\\ {\log _2}x = – \frac{1}{3} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \end{array} \right.$ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 4; x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.$
Dạng 4. Phương pháp đồ thị Phương pháp: Giải phương trình: ${\log _a}x = f\left[ x \right]$ $\left[ {0 < a \ne 1} \right]$ $[*].$ $[*]$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y = {\log _a}x$ $\left[ {0 < a \ne 1} \right]$ và $y = f\left[ x \right]$. Khi đó ta thực hiện 2 bước: + Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y = {\log _a}x$ $\left[ {0 < a \ne 1} \right]$ và $y = f\left[ x \right].$ + Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị.
Ví dụ 9. Giải phương trình: ${\log _3}\left[ {{{\left[ {x + 1} \right]}^3} + 3{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + 3x + 4} \right]$ $ = 2{\log _2}\left[ {x + 1} \right].$
Điều kiện: $x > – 1.$ Phương trình đã cho tương đương ${\log _3}{\left[ {x + 2} \right]3} = 2{\log _2}\left[ {x + 1} \right]$ hay $3{\log _3}\left[ {x + 2} \right] = 2{\log _2}\left[ {x + 1} \right].$ Đặt $3{\log _3}\left[ {x + 2} \right] = 2{\log _2}\left[ {x + 1} \right] = 6t$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 = {3{2t}}}\\ {x + 1 = {2^{3t}}} \end{array}} \right. \Rightarrow {9^t} – {8^t} = 1$, tức ${\left[ {\frac{1}{9}} \right]^t} + {\left[ {\frac{8}{9}} \right]^t} = 1$ $[*].$ Xét hàm $f\left[ t \right]{\rm{ }} = {\left[ {\frac{1}{9}} \right]^t} + {\left[ {\frac{8}{9}} \right]^t}$, ta thấy hàm $f\left[ t \right]$ nghịch biến, lại có $f\left[ 1 \right] = 1$ nên $t = 1$ là nghiệm duy nhất của $[*].$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 7.$
Ví dụ 10. Giải phương trình: ${\log _2}\left[ {x + {3^{{{\log }_6}x}}} \right] = {\log _6}x.$
Đặt $t = {\log _6}x \Rightarrow x = {6^t}.$ Phương trình đã cho trở thành: ${6^t} + {3^t} = {2^t}$, chia cả $2$ vế cho ${2^t}.$ Xét hàm số $f\left[ t \right] = {3^t} + {\left[ {\frac{3}{2}} \right]^t} – 1$, vì $3 > \frac{3}{2} > 1$ nên $f\left[ t \right]$ tăng và $f\left[ { – 1} \right] = 0$, do đó $f\left[ t \right] = 0$ xảy ra khi $t = – 1$ tức $x = \frac{1}{6}.$ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{6}.$
Ví dụ 11. Giải phương trình: $\left[ {3x – 5} \right]\log _3^2x$ $ + \left[ {9x – 19} \right]{\log _3}x – 12 = 0.$
Điều kiện: $x > 0.$ Đặt $t = {\log _3}x,$ phương trình trở thành: $\left[ {3x – 5} \right]{t^2} + \left[ {9x – 19} \right]t – 12 = 0.$ Khi $x = \frac{5}{3}$, phương trình vô nghiệm. Khi $x \ne \frac{5}{3}$, ta có: $\Delta = {\left[ {9x – 11} \right]2}$, khi đó phương trình có $2$ nghiệm $t = – 3$ hoặc $t = \frac{4}{{3x – 5}}.$ + Với $t = – 3$ tức ${\log _3}x = – 3$ $ \Leftrightarrow x = {3{ – 3}} = \frac{1}{{27}}.$ + Với $t = \frac{4}{{3x – 5}}$ tức ${\log _3}x = \frac{4}{{3x – 5}}$. Xét hàm số: $f\left[ x \right] = {\log _3}x – \frac{4}{{3x – 5}}$ với $0 < x \ne \frac{5}{3}.$ Ta có: $f’\left[ x \right] = \frac{1}{{x\ln 3}} + \frac{{12}}{{{{\left[ {3x – 5} \right]}2}}} > 0$, với mọi $0 < x \ne \frac{5}{3}.$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{5}{3}} \right]} – }} f\left[ x \right] = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {\frac{5}{3}} \right]}^ + }} f\left[ x \right] = – \infty .$ Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình $f\left[ x \right] = 0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt, hơn nữa $f\left[ 3 \right] = f\left[ {\frac{1}{3}} \right] = 0$ nên phương trình $f\left[ x \right] = 0$ luôn có $2$ nghiệm $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = 3.$ Vậy, phương trình có $3$ nghiệm: $x \in \left\{ {\frac{1}{{27}};\frac{1}{3};3} \right\}.$
Dạng 5. Giải bất phương trình logarit Ví dụ 12. Giải bất phương trình: 1. ${\log _2}\left[ {\sqrt {3x + 1} + 6} \right] – 1$ $ \ge {\log _2}\left[ {7 – \sqrt {10 – x} } \right].$ 2. ${\log _2}\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} + {\log _{\frac{1}{2}}}x \le 0.$
1. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 1 \ge 0\\ 10 – x \ge 0\\ 7 – \sqrt {10 – x} > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{3} \le x \le 10.$ Bất phương trình tương đương với ${\log _2}\frac{{\sqrt {3x + 1} + 6}}{2}$ $ \ge {\log _2}\left[ {7 – \sqrt {10 – x} } \right]$ $ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} + 6 \ge 2\left[ {7 – \sqrt {10 – x} } \right]$ $ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} + 2\sqrt {10 – x} \ge 8$ $ \Leftrightarrow {\rm{49}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}–{\rm{ 418x }} + {\rm{ 369 }} \le {\rm{ }}0$ $ \Leftrightarrow {\rm{1 }} \le {\rm{ x }} \le \frac{{369}}{{49}}$ [thoả điều kiện]. Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm ${\rm{1 }} \le {\rm{ x }} \le \frac{{369}}{{49}}.$
2. Bất phương trình đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} \le x\\ \frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ – 12{x^2} – 4x + 5}}{{12x – 8}} \le 0\\ \frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} – \frac{5}{6} \le x \le \frac{1}{2}\\ x > \frac{2}{3} \end{array} \right.\\ \frac{5}{{12}} < x < \frac{2}{3} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} < x \le \frac{1}{2}.$ Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $\frac{5}{{12}} < x \le \frac{1}{2}.$