Bài tập trắc nghiệm về hàm số liên tục năm 2024
|
Tài liệu gồm 36 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề hàm số liên tục, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANTổng hợp các bài tập trắc nghiệm hàm số liên tục mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết Xem lời giải Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,986,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,128,Đề thi THỬ Đại học,401,Đề thi thử môn Toán,65,Đề thi Tốt nghiệp,46,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,208,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,308,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,392,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, Trắc nghiệm bài 17 Hàm số liên tục mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 14 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới. DẠNG 1: TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [a ; b] là
Lời giải Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b)$. Chọn A Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên [a ; b]. Tìm mệnh đề đúng.
Lời giải Vì $f(a)f(b) > 0$ nên $f(a)$ và $f(b)$ cùng dương hoặc cùng âm. Mà $f(x)$ liên tục, tăng trên [a ; b] nên đồ thị hàm $f(x)$ nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên [a ; b] hay phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $(a;b)$. Chọn C Câu 3. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải Chọn B Vì theo định lý 3 trang 139/sgk. Câu 4. Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ sau: Chọn mệnh đề đúng.
Lời giải Chọn B Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm $x = 0$ nên nó liên tục tại điểm $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm $x = 0$. Câu 5. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại $x = 1$ ? A. B. C. D. Lời giải Chọn D Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$. Câu 6. Cho các mệnh đề: 1. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a)$. $f(b) < 0$ thì tồn tại ${x_0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = 0$. 2. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên [a ; b] và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. 3. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục, đơn điệu trên [a ; b] và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.
Lời giải Chọn D Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn [a ; b]. Câu 7. Cho hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{1 – {x^3}}}{{1 – x}},}&{{\text{ khi }}x < 1} \\ {1,}&{{\text{, khi }}\quad x \geqslant 1} \end{array}} \right.$. Hãy chọn kết luận đúng
Lời giải Chọn A Ta có: $y(1) = 1$.Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{1 – {x^3}}}{{1 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(1 – x)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4$ Nhận thấy: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y(1)$. Suy ra $y$ liên tục phải tại $x = 1$. Câu 8. Cho hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 7x + 12}}{{x – 3}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\ { – 1}&{{\text{ khi }}x = 3} \end{array}} \right.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn D $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 7x + 12}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x – 4) = – 1 = y(3)$ nên hàm số liên tục tại ${x_0} = 3$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} – 7x + 12} \right) – \left( {{3^2} – 7.3 + 12} \right)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} – 7x + 12} \right)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x – 4) = – 1 \Rightarrow {y^\prime }(3) = – 1$. Câu 9. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\ 4&{{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} \right.$. Chọn mệnh đề đúng?
Lời giải Chọn A Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (\sqrt {x + 2} + 2) = 4$ $f(2) = 4$$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$ Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$. Câu 10. Cho hàm số $f(x) = \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – x}}$. Kết luận nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn D Tại $x = \frac{1}{2}$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$. Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$. Câu 11. Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 1$ :
Lời giải А) $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty $ suy ra $f(x)$ không liên tục tại $x = 1$.
Câu 12. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$.
Lời giải Ta có $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ không xác định tại ${x_0} = – 1$ nên gián đoạn tại ${x_0} = – 1$. Câu 13. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại $x = 2$ ?
Lời giải Chọn A Ta có: $y = \frac{{3x – 4}}{{x – 2}}$ có tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} $, do đó gián đoạn tại $x = 2$. Câu 14. Hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ gián đoạn tại điểm ${x_0}$ bằng?
Lời giải Chọn D Vì hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \{ – 1\} $ nên hàm số gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$. Câu 15. Cho hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 1}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn A Hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 1}}$ có tập xác định $\mathbb{R}\backslash \{ \pm 1\} $. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$. Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
Chọn A Lời giải Vì $y = {x^3} – x$ là đa thức nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$. Câu 17. Cho bốn hàm số ${f_1}(x) = 2{x^3} – 3x + 1,{f_2}(x) = \frac{{3x + 1}}{{x – 2}},{f_3}(x) = \cos x + 3$ và ${f_4}(x) = {\log _3}x$. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập $\mathbb{R}$ ?
Lời giải * Ta có hai hàm số ${f_2}(x) = \frac{{3x + 1}}{{x – 2}}$ và ${f_4}(x) = {\log _3}x$ có tập xác định không phải là tập $\mathbb{R}$ nên không thỏa yêu cầu. * Cả hai hàm số ${f_1}(x) = 2{x^3} – 3x + 1$ và ${f_3}(x) = \cos x + 3$ đều có tập xác định là $\mathbb{R}$ đồng thời liên tục trên $\mathbb{R}$. Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
Chọn D Lời giải Hàm số $f(x) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ là hàm phân thức hữu tỉ và có tập xác định là $D = \mathbb{R}$ do đó hàm số $f(x) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: Cách 1: Hàm số liên tục tại $x = {x_0}$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$. Cách 2: Hàm số liên tục tại $x = {x_0}$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} – } f(x) = f({x_0})$ Câu 19. Tìm ${\text{m}}$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne – 2} \\ m&{{\text{ khi }}x = – 2} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 2$
Lời giải Chọn A Hàm số liên tục tại $x = – 2$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} m = m \Leftrightarrow m = – 4$ Câu 20. Cho hàm số $y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}}{\text{ khi }}x \ne 1} \\ {2m + 1{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} \right.$. Giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$ là:
Lời giải Chọn C Ta có $f(1) = 2m + 1$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 3$ Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$ thì $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1$. Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số ${\text{m}}$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\ {m\quad {\text{ khi }}x = 2}&{} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$.
Lời giải Chọn A $f(2) = m$ Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(x + 1)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3$. Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 3$. Câu 22. Để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{2{x^2} – 3x + 1}}{{2(x – 1)}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\ m&{{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$ thì giá trị $m$ bằng
Lời giải Chọn A $f(1) = m$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} – 3x + 1}}{{2(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(2x – 1)}}{{2(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x – 1}}{2} = \frac{1}{2}$. Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$. Câu 23. Để hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + 3x + 2}&{{\text{ khi }}}&{x \leqslant – 1} \\ {4x + a}&{{\text{ khi }}}&{x > – 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = – 1$ thì giá trị của $a$ là
Lời giải Chọn B Hàm số liên tục tại $x = – 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = y( – 1)$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} (4x + a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y( – 1) \Leftrightarrow a – 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$. Câu 24. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^3} – {x^2} + 2x – 2}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\ {3x + m}&{{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$.
Lời giải Chọn A Ta có: $f(1) = m + 3$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – {x^2} + 2x – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3$. Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 3 = m + 3 \Leftrightarrow m = 0$. Câu 25. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\ k&{{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} \right.$. Tìm $k$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.
Lời giải Chọn A Ta có: $f(1) = k$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{1}{2}$ Để hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}$. Câu 26. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{3 – \sqrt x }}{{9 – x}}}&{{\text{ khi }}x \ne 9} \\ a&{{\text{ khi }}x = 9} \end{array}} \right.$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 9$.
Lời giải Chọn C Ta có $f(9) = a$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{3 – \sqrt x }}{{9 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{(3 – \sqrt x )(3 + \sqrt x )}}{{(9 – x)(3 + \sqrt x )}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{9 – x}}{{(9 – x)(3 + \sqrt x )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{1}{{(3 + \sqrt x )}} = \frac{1}{6}$. Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 9$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x) = f(9) \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}$. Câu 27. Biết hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + b}&{khix \leqslant – 1} \\ {x + a}&{khi\quad x > – 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải Chọn A $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = f( – 1) = b – 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = a – 1$. Để liên tục tại $x = – 1$ ta có $b – 3 = a – 1 \Leftrightarrow a = b – 2$ Câu 28. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\ m&{{\text{ khi }}x = 3} \end{array}} \right.$. Hàm số đã cho liên tục tại $x = 3$ khi $m = $ ?
Lời giải Chọn D $f(3) = m$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(3 – x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ( – \sqrt {x + 1} – 2) = – 4$ Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3)$ Suy ra, $m = – 4$. Câu 29. Biết hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a{x^2} + bx – 5}&{{\text{ khi }}}&{x \leqslant 1} \\ {2ax – 3b}&{{\text{ khi }}}&{x > 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$ Tính giá trị của biểu thức $P = a – 4b$.
Lời giải Chọn B Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {a{x^2} + bx – 5} \right) = a + b – 5 = f(1)$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2ax – 3b) = 2a – 3b$. Do hàm số liên tục tại $x = 1$ nên $a + b – 5 = 2a – 3b \Rightarrow a – 4b = – 5$. Câu 30. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – x}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\ {m – 1}&{khi\quad x = 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$
Lời giải Chọn D TXĐ: $D = R$ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – x}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1$ $f(1) = m – 1$. Hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow m – 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2$ Câu 31. Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\ {{m^2} + m – 1}&{{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = 1$ ?
Lời giải Chọn D $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x – 2)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x – 2) = – 1$. Để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$ cần: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$$ \Leftrightarrow {m^2} + m – 1 = – 1$$ \Leftrightarrow {m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 0({\text{TM}})} \\ {m = – 1({\text{L}})} \end{array}} \right.$. Câu 32. Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {x + 2} – 2}}{{x – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\ {2x + a}&{{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$ ?
Lời giải Chọn B Ta có $f(2) = 4 + a$. Ta tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 – 4}}{{(x – 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}$. Hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \Leftrightarrow 4 + a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = – \frac{{15}}{4}$. Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $a = – \frac{{15}}{4}$. Câu 33. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}}}&{{\text{ khi }}x > 2} \\ {{m^2}x – 4m + 6}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \end{array},m} \right.$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ ?
Lời giải Chọn D Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{(x – 2)(x – 1)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{x – 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x – 1)(\sqrt {x + 2} + 2) = 4$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{m^2}x – 4m + 6} \right) = 2{m^2} – 4m + 6$ $f(2) = 2{m^2} – 4m + 6$ Để hàm số liên tục tại $x = 2$ thì$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = f(2)$ $ \Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 6 = 4 \Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$. Câu 34. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} – 2}}{{{x^2} – 1}},}&{x \ne 1} \\ {4 – m}&{x = 1} \end{array}} \right.$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi
Lời giải Chọn A Tập xác định $D = \mathbb{R},{x_0} = 1 \in \mathbb{R}$. Ta có $f(1) = 4 – m$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} – 2}}{{(x + 1)(x – 1)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(3x + 5)}}{{(x + 1)(x – 1)\left( {\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 5}}{{(x + 1)\left( {\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} + 2} \right)}} = 1$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x) = f(1) \Leftrightarrow 4 – m = 1 \Leftrightarrow m = 3$. Câu 35. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}}&{{\text{ khi }}}&{x < – 1} \\ {mx + 2}&{{\text{ khi }}}&{x \geqslant – 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 1$.
Lời giải Chọn D Ta có: $ + f( – 1) = – m + 2$. $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} f(x) = – m + 2$. $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)} – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)} – }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)} – }} \frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)} – }} \frac{{x + 2}}{{x – 1}} = \frac{{ – 1}}{2}.$ Hàm số liên tục tại $x=-1$$ \Leftrightarrow – m + 2 = \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$. Câu 36. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}}}&{{\text{khi}}x \ne 0} \\ {2a – \frac{5}{4}}&{{\text{khi}}x = 0} \end{array}} \right.$. Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0$.
Lời giải Chọn D Tập xác định: $D = \mathbb{R}$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4} – 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4 – 4}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}} = \frac{1}{4}.$ $f(0) = 2a – \frac{5}{4}.$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) \Leftrightarrow 2a – \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$. Vậy $a = \frac{3}{4}$. Câu 37. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 2x + 3}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\ {3x + m – 1}&{{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.
Lời giải Chọn C TXĐ $D = \mathbb{R}$ Ta có $f(1) = 2 + m$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} – 2x + 3} \right) = 2$. Hàm số liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 2 = m + 2 \Leftrightarrow m = 0$. Câu 38. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\ a&{{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} \right.$. Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $a$ bằng
Lời giải Chọn A Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$. Ta có $f(2) = a,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x – 1) = 1$. Do đó $a = 1$ Câu 39. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\ {mx + 2}&{{\text{ khi }}\quad x = 3} \end{array}} \right.$.Hàm số liên tục tại điểm $x = 3$ khi $m$ bằng:
Lời giải Chọn A Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $f(3) = 3m + 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [ – (\sqrt {x + 1} + 2)] = – 4$. Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) \Leftrightarrow 3m + 2 = – 4 \Leftrightarrow m = – 2$. Câu 40. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}}&{{\text{ khi }}x > 4} \\ {mx + 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 4} \end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = 4$.
Lời giải Chọn A Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f(x) = f(4) = 4m + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} (x + 4) = 8$. Hàm số liên tục tại điểm $x = 4 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = f(4) \Leftrightarrow 4m + 1 = 8 \Leftrightarrow m = \frac{7}{4}$. Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 2x}}{{x – 2}}{\text{ khi x}} > 2} \\ {mx – 4{\text{ khi x}} \leqslant 2} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$.
Lời giải Chọn A Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 2x}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x(x – 2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} (mx – 4) = 2m – 4$ Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) \Leftrightarrow 2m – 4 = 2 \Leftrightarrow m = 3$. Câu 42. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {x + 3} – m}}{{x – 1}}khix \ne 1}&{} \\ n&{khix = 1} \end{array}} \right.$. Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$ thì giá trị của biểu thức $(m + n)$ tương ứng bằng:
Lời giải Chọn D Ta có: $f(1) = n$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 – {m^2}}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}$ Hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 – {m^2}}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}$ (1) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: $1 + 3 – {m^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 2} \\ {m = – 2} \end{array}} \right.$. Khi $m = 2$ thì $(1) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}$. Khi $m = – 2$ thì $(1) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} – 2}}$ suy ra không tồn tại $n$. Vậy $m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Câu 43. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^3} – 6{x^2} + 11x – 6}}{{x – 3}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\ m&{{\text{ khi }}x = 3} \end{array}} \right.$. Tìm giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3$ ?
Lời giải Chọn B Ta có: $f(3) = m$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} – 6{x^2} + 11x – 6}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 2.$ Câu 44. Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos 7x}}{{{x^2}}}$. Tìm giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3$ ?
Lời giải Chọn B Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos 7x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin 5x\sin 2x}}{{{x^2}}} = 2.5.2 = 20$. Câu 45. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 1}}{\text{ khi }}x > – 1} \\ {mx – 2{m^2}{\text{ khi }}x \leqslant – 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 1$.
Lời giải Chọn A Tập xác định $D = R$. $f( – 1) = – m – 2{m^2}$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \left( {mx – 2{m^2}} \right) = – m – 2{m^2}$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{(x + 1)(x – 2)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} (x – 2) = – 3$. Hàm số liên tục tại $x = – 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = f( – 1)$$ \Leftrightarrow – m – 2{m^2} = – 3 \Leftrightarrow 2{m^2} + m – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 1} \\ {m = – \frac{3}{2}} \end{array}} \right.$ Vậy các giá trị của $m$ là $m \in \left\{ {1; – \frac{3}{2}} \right\}$. Câu 46. Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 2x}}}&{{\text{ khi }}x < 2} \\ {mx + m + 1}&{{\text{ khi }}x \geqslant 2} \end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = 2$.
Lời giải Chọn B Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(x – 1)}}{{x(x – 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 1}}{x} = \frac{1}{2}$.$f(2) = 3m + 1$. Để hàm số liên tục tại điểm $x = 2 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{6}$. Câu 47. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}}{\text{ khi }}x \ne 0} \\ {2a – \frac{5}{4}{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} \right.$. Tìm các giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$.
Lời giải Chọn D Ta có +$f(0) = 2a – \frac{5}{4}$. $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}}} \right) = \frac{1}{4}$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) \Leftrightarrow 2a – \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$. Câu 48. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} – bx – 2}}{{4{x^3} – 3x + 1}}{\text{ khi }}x \ne \frac{1}{2}} \\ {\frac{c}{2}\quad {\text{ khi }}x = \frac{1}{2}} \end{array},(a,b,c \in \mathbb{R})} \right.$. Biết hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$. Tính $S = abc$.
Lời giải Chọn A Ta có $\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} – bx – 2}}{{4{x^3} – 3x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} } \right)}^2} – {{(bx + 2)}^2}}}{{{{(2x – 1)}^2}(x + 1)\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} + bx + 2} \right)}}$ $ = \frac{{\left( {a – {b^2}} \right){x^2} – 4bx – 3}}{{{{(2x – 1)}^2}(x + 1)\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} + bx + 2} \right)}}$. Để hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {a – {b^2}} \right){x^2} – 4bx – 3 = m{{(2x – 1)}^2}} \\ {\sqrt {\frac{a}{4} + 1} + \frac{b}{2} + 2 \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = – 3} \\ {b = – 3} \\ {a = – 3} \end{array}} \right.} \right.$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} – bx – 2}}{{4{x^3} – 3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ – 12{x^2} + 12x – 3}}{{{{(2x – 1)}^2}(x + 1)\left( {\sqrt { – 3{x^2} + 1} – 3x + 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ – 3}}{{(x + 1)\left( {\sqrt { – 3{x^2} + 1} – 3x + 2} \right)}} = \frac{{ – 3}}{{\frac{3}{2}}} = – 2 = \frac{c}{2} \Rightarrow c = – 4$. Vậy $S = abc = – 3( – 3)( – 4) = – 36$. Câu 49. Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}}&{x \ne 1} \\ a&{{\text{ khi }}}&{x = 1} \end{array}} \right.$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.
Lời giải Chọn C Tập xác định $D = R$. $f(1) = a$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$. $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow a = 2$. Câu 50. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{1 – cosx}}{{{x^2}}}\,\,\,\,khi\,x \ne 0 \hfill \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ Lời giải Ta có f(0)=1 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4 \cdot {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$ Vì $f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ nên f(x) gián đoạn tại x=0. Do đó f(x) không có đạo hàm tại x=0. $\forall x \ne 0\quad f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} \geqslant 0$. $f(\sqrt 2 ) > 0$ Vậy A, B,C sai. Câu 51. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { – x\cos x,x < 0} \\ {\frac{{{x^2}}}{{1 + x}},0 \leqslant x < 1.{\text{ }}} \\ {{x^3},x \geqslant 1} \end{array}} \right.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
Lời giải $f(x)$ liên tục tại $x \ne 0$ và $x \ne 1$. * Tại $x = 0$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} ( – x\cos x) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{1 + x}} = 0,f(0) = 0$. Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)$. |
