Bài tập tam giác đồng dạng toanmath
Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng [rule_3_plain]Tài liệu gồm 48 trang, tóm lược lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng, giúp học trò lớp 8 tham khảo lúc học chương trình Toán 8 (tập 2) phần Hình học chương 3. Bài 1. Định lí Ta-lét trong tam giác. + Dạng 1. Tính toán, chứng minh về tỉ số của 2 đoạn thẳng và đoạn thẳng tỷ lệ. + Dạng 2. Sử dụng định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 3. Sử dụng định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức. Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét. + Dạng 1. Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét để chứng minh các hệ thức. + Dạng 3. Sử dụng định lí Ta-lét đảo để chứng minh 2 đường thẳng song song. + Dạng 4. Phối hợp định lí Ta-lét thuận và đảo. + Dạng 5. Vận dụng vào toán dựng hình. Trong 4 đoạn thẳng tỷ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tư lúc biết độ dài 3 đoạn kia. Bài 3. Thuộc tính đường phân giác của tam giác. + Dạng 1. Áp dụng thuộc tính đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. + Dạng 2. Áp dụng thuộc tính đường phân giác của tam giác để tính tỉ số độ dài 2 đoạn thẳng. + Dạng 3. Đường phân giác ngoài của tam giác. Bài 4. Khái niệm 2 tam giác đồng dạng. + Dạng 1. Vẽ tam giác đồng dạng với 1 tam giác cho trước. + Dạng 2. Thuộc tính 2 tam giác đồng dạng. + Dạng 3. Chứng minh 2 tam giác đồng dạng. Bài 5. Trường hiệp đồng dạng thứ nhất. + Dạng 1. Nhận biết 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ nhất. + Dạng 2. Sử dụng trường hiệp đồng dạng thứ nhất để chứng minh các góc bằng nhau. Bài 6. Trường hiệp đồng dạng thứ 2. + Dạng 1. Nhận biết 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ 2 để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh 2 góc bằng nhau. + Dạng 2. Sử dụng các tam giác đồng dạng để dựng hình. Bài 7. Trường hiệp đồng dạng thứ 3. + Dạng 1. Nhận biết 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ 3 để tính đồ dài 2 đoạn thẳng. + Dạng 2. Nhận biết 2 tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp thứ 3. + Dạng 3. Sử dụng tam giác đồng dạng để dựng hình. Bài 8. Các trường hiệp đồng dạng của tam giác vuông. + Dạng 1. Các trường hiệp đồng dạng của tam giác vuông suy từ các trường hiệp đồng dạng của tam giác. + Dạng 2. Trường hiệp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vuông. + Dạng 3. Tỉ số 2 đường cao của 2 tam giác đồng dạng. Bài 9. Phần mềm thực tiễn của tam giác đồng dạng. + Dạng 1. Đo gián tiếp chiều cao. + Dạng 2. Đo gián tiếp khoảng cách, bề dày. Ôn tập chương III. A. Bài tập ôn trong SGK. B. Bài tập bổ sung. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Tải tài liệu [rule_2_plain]#Lý #thuyết #các #dạng #toán #và #bài #tập #tam #giác #đồng #dạng
b) EAD ∽ EMB. 3. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, AB 6cm,CD 12cm và AD 17cm. Trên cạnh 900. 4. Cho tam giác ABC vuông tại A với AC 4cm và BC 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC BD 9cm. Chứng minh BD song song với AC. Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh. 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com 2 2 c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh BAP ∽ ACQ; d) Chứng minh AP CQ. 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh: 2 a) AH AM.AB; b) AM.AB AN.AC. c) AMN ∽ ACB. 7. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE AB tại E, CF AD tại F, BH AC tại H và DK AC tại K. Chứng minh; a) AB AH ; AC AE b) AD.AF AK.AC; c) AD.AF AB.AE AC 2 . BC 2 BH.BD CH.CE. Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm của DF và CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE. 10. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam giác EBD và FDC lần lượt bằng a 2 và b2 , hãy tính diện tích tam giác ABC. HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI 1A.a) BEH CDH ( g g ) b) Có BEH CDH ta suy ra HE HB HD HC Từ đó chứng minh được EHD BHC (c.g.c) 1B. HS tự chứng minh 2A. Ta chứng minh được ABE DEC (c.g .c ) AEB ECD 900 (ĐPCM) Từ đó ta có DEC AEB 900 suy ra BEC 2B. Ta chứng minh được ABC CBD ACB CBD Từ đó suy ra BD//AC (ĐPCM) 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com 3A. a) Ta chứng minh ABH CBA từ đó suy ra AB2 = b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh c) Từ AHC BHA AH AC AH AQ mà BH AB BH BP AC AQ Từ đó suy ra . Do đó có BAP ACQ (c g c) AB BP d) Gọi M là giao điểm của CQ và AP (M AP) MCA . Trong AMC ta Sử dụng kết quả câu b) BAP 90 0 CP AQ (ĐPCM) chứng minh được CMA 3B. HS tự chứng minh. AB AH (1) AC AE AD AK b) Tương tự câu a ta chứng minh được AC AF 4A. a) Ta chứng minh AHB AEC( g.g) AD.AF =AK.AC (2) b) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3) Lấy (3) + (2) ta được AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM) 4B. Gợi ý: Gọi AH BC K , chứng minh được AK BC. Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM. 5A. Ta chứng minh được CIF vuông tại I. Vẽ BK CE. 2 S BC CBK CFI CBK 4 SCFI CF Lại có CFI BEK nên SCBE 5 SCIF 5B. Đặt SABC = S2. EBD ABC S a 2 BD BD Chứng minh EBD S ABC BC S 2 BC 2 BD a (1) BC s Chứng minh: S DC b DC CDF CBA CDF (2) SCBA BC BC s Từ (1) và (2) BD DC a b 2 S a b BC BC s s 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) BEH ” CDH; b) EHD ” BHC. Bài 2: Cho ABC có đường cao AH, biết AB 30cm, BH 18cm ; AC 40cm a) Tính độ dài AH và chứng minh: ABH ” CAH b) Chứng minh ABH ” CBA Bài 3: Cho tam giác ABC, có A 90 B , đường cao CH . Chứng minh: a) CBA ACH b) CH 2 BH .AH Bài 4: Cho hình vuông ABCD , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM DA. a) Chứng minh EMC ~ ECB b) Chứng minh EB .MC 2 a 2 . c) Tính diện tích tam giác EMC theo a. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm. a) Tính BC. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ CAB. c) Tính EB và EM. d) Chứng minh BH vuông góc với EC. e) Chứng minh HA.HC HM .HE . Bài 6: Cho tứ giác ABCD, có DBC 90 0 , AD 20cm , AB 4 cm , DB 6 cm , DC 9 cm . a) Tính góc BAD b) Chứng minh BAD ” DBC c) Chứng minh DC //AB . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F.Chứng minh rằng AB.AE AD. AF AC 2 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com LỜI GIẢI BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 A Bài 1: D HE HB b) Có BEH ~ CDH ta suy ra HD HC Từ đó chứng minh được EHD ” BHC (c.g c ) Bài 2: H C B a) Vì AH BC AHB vuông tại H, theo định lý Pitago ta có: AB 2 AH 2 BH 2 AH 2 AB 2 BH 2 AH 2 30 2 182 900 324 576 AH 24cm Vì AH BC AHC vuông tại H, theo định lý Pitago ta có: AC 2 AH 2 HC 2 HC 2 AC 2 AH 2 A HC 2 402 24 2 1600 576 1024 HC 32cm AH 24 4 18 3 AH HC Ta lại có: BH HC 32 4 BH AH B H AH 24 3 CHA 90 AHB CAH AHB ” CHA (c.g.c) ABH Xét AHB và CHA có: AH HC (cmt ) BH AH b) Ta có: HBA BAH 90 CAH HAB 90 90 AHB CAB Xét ABH và CBA có: ABH ” CAB (g g ) (đpcm) (chung ) B Bài 3: a) CBA ACH 900 (1800 BAC ) 900 BAC CBA ACH 900 CAH b) CH 2 BH . AH ACH CBH HCA ” HBC 0 CHA BHC 90 HC HA HC 2 HA.HB HB HC Bài 4: 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com C a) Chứng minh EMC ~ ECB 1 EC nên là tam giác vuông tại M. 2 CEB MEC ECB ~ EMC 0 EMC ECB 90 b) Chứng minh EB .MC 2 a 2 . EB BC EB.MC EC .BC 2a 2 EC MC c) Tính diện tích tam giác EMC theo a. ECB ” EMC EC EC 2 4a 2 4 ECB ” EMC 2 2 2 2 S ECB 5 EC CB 4a a EB 1 4 S EBC EC .BC a 2 S EMC a 2 2 5 S EMC 2 Bài 5: a) BC AB 2 AC 2 9cm (Pitago) CAB ( 90 0 ), EBM CBA (góc chung) EMB ~ CAB (g.g) b) EMB 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com 5 ME AC 6cm ME BE MB 9 : 2 5 6 c) EMB ” CAB 5 AC BC AB 5, 4 6 BE BC 7,5cm 6 d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC, BH EC e) Chứng minh AHE ” MHC từ đó suy ra HA.HC HM .HE . Bài 6: a) Ta có BD 2 AB 2 AD 2 , suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo) b) Ta có BC CD 2 BD 2 3 5 (Pitago) CBD 90, AB AD 4 20 ABD ” BDC (c.g .c) BAD BD BC 6 3 5 AB / /CD c) ABD ” BDC ABD BDC Bài 7: Vẽ BH AC H AC AEC 900 ; BAC Xét ABH và ACE có AHB chung . Suy ra ABH ” ACE(g g) AB AH AB.AE AC.AH (1) AC AE Xét CBH và ACF có BCH CAF (so le trong) CFA 900 CHB Suy ra CBH ” ACF(g.g) BC CH BC .AF AC .CH (2) AC AF Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: AB.AE BC .AF AC .AH AC .CH AB.AE AD.AF AC AH CH AC 2 . 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2 Dạng 1: Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Vuông Suy Ra Từ Các Trường Hợp Đòng Dạng Của Tam Giác Bài tập 1 : Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng. Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Chứng minh rằng: Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Đường cao AH cắt BD tại I. Chứng minh rằng: 1. AB.BI BH .DB 2. Tam giác AID cân. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, biết AB 15cm, AC 13cm và đường cao AH 12cm . Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB và AC. 1. CMR: AHN ∽ ACH 2. Tính độ dài BC 3. Chứng minh: AM . AB AN . AC , từ đó suy ra AMN ∽ ACB . Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD có AB 8cm, AD 6cm . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM 4cm. Đường thẳng AM cắt đường chéo BD tại I, cắt đường DC tại N IB ID 2. Chứng minh: MAB ∽ AND 1. Tính tỉ số 3. Tính độ dài DN và CN. Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, Hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Biết BQ 4cm, CP 9cm. Tính cạnh của hình vuông. Dạng 2: Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh Huyền – Cạnh Góc Vuông 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Bài tập 1: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, MA 6cm, MB 24cm. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C thuộc tia Ax, điểm D thuộc tia By sao cho MC 10cm, MD 30cm. Chứng minh rằng: CMD 900 . y x C 10 A 6 M 24 B Bài tập 2: Tam giác ABH vuông tại H có AB 20cm, BH 12cm. Trên tia đối của tia HB lấy 5 AH . 3 1. Chứng minh rằng các tam giác ABH và CAH đồng dạng. . 2. Tính BAC Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC 4cm, BC 6cm. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông tại C có BD = 9cm. Chứng minh rằng BD / / AC . 900 , điểm E thuộc cạnh bên AD. Tính BEC A D Bài tập 4: Cho hình thang ABCD có biết rằng AB 4cm, BE 5cm, DE 12cm, CE 15cm. Bài tập 5: Cho hai tam giác cân ABC và A’B’C’ (AB=AC, A’B’=A’C’), các đường cao BH và BH BC B’H’. Cho biết . Chứng minh rằng ABC ∽ A ‘ B ‘ C ‘ . B ‘ H ‘ B ‘C ‘ HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 2 Dạng 1: các trường hợp đòng dạng của tam giác vuông suy ra từ các trường hợp đòng dạng của tam giác Bài tập 1: 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com Trên hình có 4 tam giác vuông đồng dạng với nhau từng đôi một, vì chúng có các cặp góc nhọn tương ứng bằng nhau. Đó là: ABC , NMC , HBA, HAC (Bốn tam giác trên đã được viết theo các đỉnh tương ứng) Bài tập 2: A B H Xét tam giác vuông HBA và HAC có: HAC 900 BAH BAH HCA 0 HCA HAC 90 Suy ra HBA ∽ HAC BH AH AH 2 BH .CH AH CH Bài tập 3: 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com C A D I B C H IHB 900 mà DAB 1. BD là đừng phân giác nên ABD HBI AB DB Suy ra ABD ∽ HBI g g AB.BI BH .DB HB IB mà BIH DIA (đối đỉnh) 2. Do ABD ∽ HBI g g nên B DA BIH Do đó: Tam giác AID cân tại A. Suy ra : B DA DIA Bài tập 4: A N M B H C A chung 1. Ta có: AHN ∽ ACH ( g g ) ANH AHC 900 2. Xét tam giác vuông ABH có: BH AB 2 AH 2 152 122 9 cm Xét tam giác vuông ACH có: CH AC 2 AH 2 132 122 5 cm Khi đó: BC BH CH 9 5 14 cm AH AN AH 2 AC . AN 1 AC AH Xét tam giác AMH và ABH có: 3. Do AHN ∽ ACH A chung AMH ∽ AHB g g AMH AHB 900 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com AM AH AH 2 AM . AB 2 AH AB Từ (1),(2) ta có : AM .AB AN.AC AM AN chung Suy ra: và MAN AC AB Nên AMN ∽ ACB (c g c) Bài tập 5: A 8 B 6 I D M C N BM IB IM (Theo định lý Ta Let mở rộng) AD ID IA BM 4 2 IB 2 Mà AD 6 3 ID 3 MAB AND slt 2. Ta có: MAB ∽ AND g g ABM N DA hbh MB AB 4 8 6.8 3. Do MAB ∽ AND nên ND 12 cm AD N D 6 ND 4 1. Ta có: BM / / AD Mà AB DC 8 cm hbh Nên CN DN DC 12 8 4 cm Bài tập 6: Đặt MP NQ x. Từ BMQ ∽ NCP ta tính được x = 6 cm. Cạnh của hình vuông bằng 6 cm. Dạng 2: trường hợp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vuông Bài tập 1 : y x C 10 A 6 M 24 B Ta tính được BD = 18 cm. A B Xét tam giác AMC và BDM: CM AM 10 6 AMC ∽ BDM CH CGV vi MD BD 30 18 AMC B DM mà B DM BM D 900 Suy ra: 900 và BM CMD 1800 D AMC D AMC Nên BM D 900. Vậy CM Bài tập 2: A 20 B 12 H C AB 5 AC BH 3 AH 900 AHB CHA Có: AB BH ABH ∽ CAH CH CGV cmt AC AH 1. Ta có: ABH mà BAH ABH 900 2. Từ câu a suy ra: CAH 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com CAH 900 BAC 900. Nên BAH Bài tập 3: B 9 D 6 C 4 ACB ∽ CBD CH CGV nên: ACB CB D AC / / BD. Bài tập 4: A 4 E B 15 D C . AEB DCE ABE ∽ DEC (CH CGV ) nên: DEC 900 nên: 900 AEB DEC Ta lại có: DCE 900. Suy ra: BEC Bài tập 5: 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com A H H’ B’ B C Do BHC ∽ B ‘ H ‘ C ‘ CH CGV nên: C ’ . Do đó: ABC ∽ A ‘ B ‘ C ‘ C ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ – THCS.TOANMATH.com C’
|