Bài tập góc và khoảng cách trong không gian năm 2024

\[d[A,[\alpha ]] = \dfrac{{\left| {1.{x_A} + 2.{y_A} – 2.{z_A} – 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = 1.\]

[collapse]

Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α]: 2x – y – 2z – 4 = 0 và β 2x – y – 2z + 2 = 0.

1. 2.
2. 6.
3. \[\dfrac{{10}}{3}.\]
4. \[\dfrac{4}{3}.\]

Hướng dẫn

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta lấy điểm H[2; 0; 0] thuộc [α]. Khi đó \[d\left[ {[\alpha ],[\beta ]} \right] = d\left[ {H,[\beta ]} \right] = \dfrac{{\left| {2.2 – 1.0 – 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{[ – 1]}^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = 2\].

[collapse]

Câu 3. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng [α]: \[2x – y – 2z – 4 = 0\] và đường thẳng d: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z = – t\end{array} \right.\] .

1. \[\dfrac{1}{3}.\]
2. \[\dfrac{4}{3}.\]
3. 0.
4. 2.

Hướng dẫn

Đường thẳng d song song với mặt phẳng [α]. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng. Ta lấy điểm $H\left[ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right]$ thuộc đường thẳng d. Khi đó: $d[d,[\alpha ]] = d[H,[\alpha ]] = \dfrac{{\left| {2.1 – 1.2 – 2.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{[ – 1]}^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = \dfrac{4}{3}.$

[collapse]

Câu 4. Khoảng cách từ điểm $A\left[ {2;\,\,4;\,\,3} \right]$ đến mặt phẳng [α]: 2x + y + 2z + 1 = 0 và β: x = 0 lần lượt là \[d[A,[\alpha ]]\], \[d[A,[\beta ]]\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

1. \[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\]\[ = 3\].\[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]
2. \[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\]\[ > \]\[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]
3. \[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\] = \[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]
4. 2.\[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\] = \[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]

Hướng dẫn

\[d\left[ {A,[\alpha ]} \right] = \dfrac{{\left| {2.{x_A} + {y_A} + 2.{z_A} + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1\] ; \[d\left[ {A,[\beta ]} \right] = \dfrac{{\left| {{x_A}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2.\] Kết luận: \[d\left[ {A,[\beta ]} \right] = 2.d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\].

[collapse]

Câu 5. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P]: \[2x – y + 3z – 4 = 0\] nhỏ nhất?

1. \[M\left[ {0;2;0} \right].\]
2. \[M\left[ {0;4;0} \right].\]
3. \[M\left[ {0; – 4;0} \right].\]
4. \[M\left[ {0;\dfrac{4}{3};0} \right]\].

Hướng dẫn

Khoảng cách từ M đến [P] nhỏ nhất khi M thuộc [P]. Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng [P]. Thay x = 0, z = 0 vào phương trình [P] ta được y = – 4. Vậy M[0;- 4;0]. Cách giải khác Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng [P] sau đó so sánh chọn đáp án.

[collapse]

Câu 6. Khoảng cách từ điểm \[M\left[ { – 4; – 5;6} \right]\] đến mặt phẳng [Oxy], [Oyz] lần lượt bằng:

1. 6 và 4.
2. 6 và 5.
3. 5 và 4.
4. 4 và 6.

Hướng dẫn

\[d\left[ {M,\left[ {Oxy} \right]} \right] = \left| {{z_M}} \right| = 6\]; \[d[M,[Oyz]] = \left| {{x_M}} \right| = 4.\]

[collapse]

Câu 7. Khoảng cách từ điểm \[C\left[ { – 2;\,\,0;\,\,0} \right]\] đến mặt phẳng [Oxy] bằng:

1. 0.
2. 2.
3. 1.
4. \[\sqrt 2 .\]

Hướng dẫn

Điểm C thuộc mặt phẳng [Oxy] nên \[d\left[ {C,[Oxy]} \right] = 0\]

[collapse]

Câu 8. Khoảng cách từ điểm H\[[1;0;3]\] đến đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\], \[t \in R\] và mặt phẳng [P]:\[z – 3 = 0\] lần lượt là \[d[H,{d_1}]\] và \[d[H,[P]]\]. Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:

1. \[d\left[ {H,{d_1}} \right] > d\left[ {H,[P]} \right].\]
2. \[d\left[ {H,[P]} \right] > d\left[ {H,{d_1}} \right].\]
3. \[d\left[ {H,{d_1}} \right] = 6.d\left[ {H,[P]} \right].\]
4. \[d\left[ {H,[P]} \right] = 1\].

Hướng dẫn

Vì H thuộc đường thẳng \[{d_1}\]và H thuộc mặt phẳng [P] nên khoảng cách từ điểm H đến đường thẳng \[{d_1}\] bằng 0 và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng [P] bằng 0.

[collapse]

Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm E\[[1;1;3]\] đến đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 + 3t\\z = – 2 – 5t\end{array} \right.\], \[t \in R\] bằng: A\[\dfrac{1}{{\sqrt {35} }}.\]

1. \[\dfrac{4}{{\sqrt {35} }}.\]
2. \[\dfrac{5}{{\sqrt {35} }}.\]
3. 0

Hướng dẫn

+ Gọi [P] là mặt phẳng đi qua E và vuông góc với [P]. Viết phương trình [P] + Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và [P]. Tìm tọa độ H + Tính độ dài EH. Khoảng cách từ điểm E\[[1;1;3]\] đến đường thẳng d bằng EH. Cách giải khác: Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E\[[1;1;3]\] đến đường thẳng d bằng 0.

[collapse]

Câu 10. Cho vectơ \[\overrightarrow u \left[ { – 2;\,\, – \,2;\,\,0} \right];\,\,\overrightarrow v \left[ {\sqrt 2 ;\,\,\sqrt 2 ;\,\,2} \right]\]. Góc giữa vectơ \[\overrightarrow u \] và vectơ \[\overrightarrow v \] bằng:

1. \[135^\circ \].
2. \[45^\circ \].
3. \[60^\circ \].
4. \[150^\circ \].

Hướng dẫn

Ta có \[\cos [\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v ]\,\, = \,\,\dfrac{{\overrightarrow u .\,\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow v } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{ – 2.\sqrt 2 – 2.\sqrt 2 \,\, + 2.0}}{{\sqrt {{{[ – 2]}2}\,\, + \,\,{{[ – 2]}^2}} .\sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}\,\, + {{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}\,\, + {2^2}} }}\,\, = \,\, – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]\[ \Rightarrow \,\,[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v ]\,\, = \,\,135\circ \].

[collapse]

Câu 11. Cho hai đường thẳng \[{d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,2\,\, + \,\,t\\y\,\, = \,\, – 1\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\,3\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,1\,\, – \,\,t\\y\,\, = \,\,2\\z\,\, = \,\, – 2\,\, + \,\,t\end{array} \right.\]. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: A\[30^\circ \].

1. \[120^\circ \].
2. \[150^\circ \].
3. \[60^\circ \].

Hướng dẫn

Gọi \[\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} \] lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2. \[\overrightarrow {{u_1}} \, = \,[1;\,\,1;\,\,0];\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,[ – \,1;\,\,0;\,\,1]\] Áp dụng công thức ta có \[cos\left[ {{d_1},{d_2}} \right]\,\, = \,\,\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\left| { – \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\]. \[ \Rightarrow \left[ {{d_1},{d_2}} \right]\,\, = \,\,60^\circ \].

[collapse]

Câu 12. Cho đường thẳng \[\Delta :\,\,\dfrac{x}{1}\,\, = \,\,\dfrac{y}{{ – \,2}}\,\, = \,\,\dfrac{z}{1}\] và mặt phẳng [P]: \[5x\,\, + \,\,11y\,\, + \,\,2z\,\, – \,\,4\,\, = \,\,0\]. Góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng [P] là:

1. \[60^\circ \].
2. \[ – \,30^\circ \].
3. \[30^\circ \].
4. \[ – \,\,60^\circ \].

Hướng dẫn

Gọi \[\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n \] lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng [P]. \[\overrightarrow u = \left[ {1;\,\, – 2;\,\,1} \right];\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left[ {5;\,\,11;\,\,2} \right]\] Áp dụng công thức ta có $\sin \left[ {\Delta ,[P]} \right] = \left| {cos\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right]} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.5 – 11.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{2}.$ \[ \Rightarrow \,\,\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right]\,\, = \,\,30\circ .\]

[collapse]

Câu 13. Cho mặt phẳng \[[\alpha ]:\,\,2x\,\, – \,\,y\,\, + \,\,2z\,\, – \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,[\beta ]:\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0\]. Cosin góc giữa mặt phẳng [α]và mặt phẳng\[\,[\beta ]\] bằng:

1. \[\dfrac{4}{9}\]
2. \[ – \dfrac{4}{9}.\]
3. \[\dfrac{4}{{3\sqrt 3 }}.\]
4. \[ – \dfrac{4}{{3\sqrt 3 }}.\]

Hướng dẫn

Gọi \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \], \[\,\overrightarrow {{n_\beta }} \] lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [α] và β. Ta có \[\overrightarrow {{n_\alpha }} [2;\,\, – \,\,1;\,\,2];\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} [1;\,\,2;\,\, – \,2]\]. Áp dụng công thức: \[cos[[\alpha ],\,[\beta ]]\,\, = \,\,\left| {cos[\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} ]} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\dfrac{{\left| {2.1 – 1.2 – 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{[ – 1]}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {[{1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{[ – 2]}^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{4}{9}.\]

[collapse]

Câu 14. Cho mặt phẳng \[[P]:\,\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,2\,\, = \,\,0\] và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \[[\alpha ]:\,\,x\,\, – \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,[\beta ]:\,\,x\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Khi đó:

1. \[60^\circ \].
2. \[45^\circ \].
3. \[30^\circ \].
4. \[90^\circ \].

Hướng dẫn

Đường thẳng d có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\, & 2t\\y\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\, – \dfrac{3}{2}\,\, + \,\,t\end{array} \right.,\,\,t\,\, \in \,\,R\] . Suy ra VTCP của d là \[\overrightarrow {{u_d}} [2;\,\,1;\,\,1]\] Ta có $\sin \left[ {d,[P]} \right] = \,\,\left| {cos\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow n } \right]} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {2.3\,\, + \,\,1.4\,\, + \,\,1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2}\,\, + \,\,{1^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{3^2}\,\, + \,\,{4^2}\,\, + \,\,{5^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$. \[ \Rightarrow \,\,[d,[P]]\,\, = \,\,60^\circ \].

[collapse]

Câu 15. Cho mặt phẳng \[[\alpha ]:\,\,3x\,\, – \,\,2y + \,\,2z\,\, – \,\,5\,\, = \,\,0\]. Điểm A[1; – 2; 2]. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng [α] một góc \[45^\circ .\]

1. Vô số.
2. 1.
3. 2.
4. 4.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận] Gọi \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left[ {a;\,\,b;\,\,c} \right]\] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng β cần lập. \[cos\left[ {[\alpha ],\,[\beta ]} \right]\,\, = \,\,\left| {cos\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\dfrac{{\left| {3.a – 2.b\,\, + \,\,2.c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + \,\,{{[ – 2]}2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {{a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\] \[ \Rightarrow \,\,2{[3a\,\, – \,\,2b\,\, + \,\,2c]^2}\,\, = \,\,17[{a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2}]\] Phương trình trên có vô số nghiệm. Suy ra có vô số vectơ \[\overrightarrow {{n_\beta }} [a;\,\,b;\,\,c]\] là véc tơ pháp tuyến của β. Suy ra có vô số mặt phẳng βthỏa mãn điều kiện bài toán [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình. Giả sử tồn tại mặt phẳng β thỏa mãn điều kiện bài toán. [Đi qua A và tạo với mặt phẳng [α] một góc \[45\circ \]]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng [α]. Sử dụng phép quay theo trục \[\Delta \] với mặt phẳng β. Ta được vô số mặt phẳng \[[\beta ‘]\] thỏa mãn điều kiện bài toán.

[collapse]

Câu 16. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc \[60^\circ \]

1. \[[P]:\,\,2x\,\, + \,\,11y\,\, – \,\,5z\,\, + \,\,3 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, – \,\,z\,\, – \,\,2 = \,\,0\].
2. \[[P]:\,\,2x\,\, + \,\,11y\,\, – \,\,5z\,\, + \,\,3 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\, – x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,5 = \,\,0\].
3. \[[P]:\,\,2x\,\, – \,\,11y\,\, + \,\,5z\,\, – \,\,21 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\,2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,2 = \,\,0\].
4. \[[P]:\,\,2x\,\, – \,\,5y\,\, + \,\,11z\,\, – \,\,6 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\, – x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,5 = \,\,0\].

Hướng dẫn

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng. \[\cos \left[ {[P],[Q]} \right] = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\,\, = \,\,\cos 60^\circ \,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\] Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P] và [Q]. Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng. Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất.

[collapse]

Câu 17. Cho vectơ \[\overrightarrow u [1;\,\,1;\,\, – \,2],\,\,\overrightarrow v [1;\,\,0;\,\,m]\]. Tìm m để góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] có số đo bằng \[45^\circ \]. Một học sinh giải như sau: Bước 1: Tính \[\cos \left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right]\,\, = \,\,\dfrac{{1\,\, – \,\,2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2}\,\, + \,\,1} }}\] Bước 2: Góc giữa \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] có số đo bằng \[45^\circ \] nên \[\dfrac{{1\,\, – \,\,2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2}\,\, + \,\,1} }}\, = \,\,\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\] \[ \Leftrightarrow \,\,1\,\, – \,\,2m\,\, = \,\,\sqrt {3[{m^2}\,\, + \,\,1]} \] [*] Bước 3: Phương trình \[[*]\,\, \Leftrightarrow \,\,{[1\,\, – \,\,2m]^2}\,\, = \,\,3[{m^2}\,\, + \,\,1]\] \[ \Leftrightarrow \,\,{m^2}\,\, – \,\,4m\,\, – \,\,2\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m\,\, = \,\,2\,\, – \,\,\sqrt 6 \\m\,\, = \,\,2\,\, + \,\,\sqrt 6 .\end{array} \right.\] Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

1. Sai ở bước 3.
2. Sai ở bước 2.
3. Sai ở bước 1.
4. Đúng.

Hướng dẫn

Phương trình [*] chỉ bình phương được hai vế khi biến đổi tương đương nếu thỏa mãn \[1\,\, – \,\,2m\,\, \ge \,\,0\]. Bài toán đã thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm \[m\,\, = \,\,2\,\, + \,\,\sqrt 6 \].

[collapse]

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm \[A[ – 3;\,\, – 4;\,\,5];\]\[B[2;\,\,7;\,\,7];\]\[C[3;\,\,5;\,\,8];\]\[D[ – 2;\,\,6;\,\,1]\]. Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc \[60^\circ \]?

1. DB và AC.
2. AC và CD.
3. AB và CB.
4. CB và CA.

Hướng dẫn

Tính tọa độ các vectơ sau đó thay vào công thức: \[\cos [d,d’] = \left| {\cos [\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right|\] để kiểm tra.

[collapse]

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A[2; 1; – 1] tạo với trục Oz một góc \[30^\circ \]?

1. \[\sqrt 2 [x\,\, – 2]\,\, + \,\,[y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, – \,\,2]\,\, – 3\,\, = \,\,0.\]
2. \[[x\,\, – 2]\,\, + \,\,\sqrt 2 [y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, + \,\,1]\,\, – 2\,\, = \,\,0.\]
3. \[2[x\,\, – 2]\,\, + \,\,[y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, – \,\,2]\,\, = \,\,0.\]
4. \[2[x\,\, – 2]\,\, + \,\,[y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,2\,\, = \,\,0.\]

Hướng dẫn

Gọi phương trình mặt phẳng [α] cần lập có dạng \[A[x\,\, – \,\,2]\,\, + \,\,B[y\,\, – \,\,1]\,\, + \,\,C[z\,\, + \,\,1]\,\,\, = \,\,0;\,\,\overrightarrow n \,[A;\,\,B;\,\,C]\] Oz có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow k [0;\,\,0;\,\,1]\]. Áp dụng công thức \[\sin [[\alpha ],\,\,Oz]\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\overrightarrow {\left| n \right|} .\overrightarrow {\left| k \right|} }}\,\, = \,\,\sin 30^\circ \] Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng.

[collapse]

Câu 20. Cho mặt phẳng \[[P]:\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,8\,\, = \,\,0\]. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \[[\alpha ]:\,\,x\,\, – \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,[\beta ]:\,\,x\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0\]. Góc giữa d và [P] là:

1. \[120^\circ .\]
2. \[60^\circ .\]
3. \[150^\circ .\]
4. \[30^\circ .\]

Hướng dẫn

Ta có \[\overrightarrow {{n_P}} [3;\,\,4;\,\,5]\] \[\overrightarrow {{n_d}} = \,\,\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]\,\, = \,\,[2;\,\,1;\,\,1]\] Áp dụng công thức \[\sin [[P],\,\,d]\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].

[collapse]

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng\[\left[ \alpha \right]:x + 2y + 2z + m = 0\] vàđiểm\[A\left[ {1;1;1} \right]\]. Khi đó \[m\] nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] bằng 1?

1. – 2.
2. – 8.
3. – 2 hoặc – 8.
4. 3.

Hướng dẫn

\[d\left[ {A,\left[ \alpha \right]} \right] = \dfrac{{\left| {5 + m} \right|}}{3} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 5 = 3\\m + 5 = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 8\end{array} \right.\]

[collapse]

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm \[A\left[ { – 2;0;0} \right]\],\[B\left[ {0;3;0} \right]\],\[C\left[ {0;0;4} \right]\]. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ \[O\] đến mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] là

1. \[\dfrac{{\sqrt {61} }}{{12}}.\]
2. 4.
3. \[\dfrac{{12\sqrt {61} }}{{61}}.\]
4. 3.

Hướng dẫn

Cách 1: \[\left[ \alpha \right]:\dfrac{x}{{ – 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x – 4y – 3z + 12 = 0\];\[d\left[ {O,\,\left[ {ABC} \right]} \right] = \dfrac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\] Cách 2: Tứ diệnOABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, khi đó\[\dfrac{1}{{{d^2}\left[ {O,\left[ {ABC} \right]} \right]}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{{61}}{{144}} \Rightarrow d\left[ {O,\left[ {ABC} \right]} \right] = \dfrac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\]

[collapse]

Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm \[A\left[ {1;\,2;\,3} \right];\,B\left[ {0;\,1;1} \right];\,C\left[ {1;\,0;\, – 2} \right]\]. Điểm \[M\, \in \,\left[ P \right]:\,x + y + z + 2 = 0\]sao cho giá trị của biểu thức \[T = M{A^2} + \,2M{B^2}\, + \,3M{C^2}\] nhỏ nhất. Khi đó, điểm \[M\] cách \[\left[ Q \right]:\,2x – y – 2z + 3 = 0\] một khoảng bằng

1. \[\dfrac{{121}}{{54}}.\]
2. 24.
3. \[\dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}.\]
4. \[\dfrac{{101}}{{54}}.\]

Hướng dẫn

Gọi \[M\left[ {x;\,y;\,z} \right]\]. Ta có \[T = 6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2} – 8x – 8y + 6z + 31\] \[ \Rightarrow T = 6\left[ {{{\left[ {x – \dfrac{2}{3}} \right]}^2} + {{\left[ {y – \dfrac{2}{3}} \right]}^2}{{\left[ {z + \dfrac{1}{2}} \right]}^2}} \right] + \,\dfrac{{145}}{6}\] \[ \Rightarrow \,T = 6M{I^2} + \dfrac{{145}}{6}\] với \[I\left[ {\dfrac{2}{3};\,\dfrac{2}{3};\, – \dfrac{1}{2}} \right]\] \[ \Rightarrow T\] nhỏ nhất khi \[MI\] nhỏ nhất \[ \Rightarrow M\]là hình chiếu vuông góc của \[I\] trên \[\left[ P \right]\] \[ \Rightarrow \,M\left[ { – \dfrac{5}{{18}}; – \dfrac{5}{{18}};\, – \dfrac{{13}}{9}\,} \right]\].

[collapse]

Câu 24. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,x + y – z + 2 = 0\] và hai đường thẳng \[d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\]; $d’:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – t’\\y = 1 + t’\\z = 1 – 2t’\end{array} \right..$ Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với \[\left[ P \right]\]; cắt d, d’ và tạo với \[d\] góc \[{30^{\rm{O}}}.\] Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

1. \[\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\]
2. \[\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
3. \[\sqrt {\dfrac{2}{3}} .\]
4. \[\dfrac{1}{2}.\]

Hướng dẫn

Gọi \[\Delta \] là đường thẳng cần tìm, $\overrightarrow {{n_P}} $ là VTPT của mặt phẳng \[\left[ P \right]\]. Gọi \[M\left[ {1 + t;\,t;\,2 + \,2t} \right]\] là giao điểm của \[\Delta \] và \[d\]; \[M’\,\left[ {3 – t’;\,1 + t’;\,1 – 2t’} \right]\] là giao điểm của \[\Delta \] và \[d’\] Ta có: \[\overrightarrow {MM’} \,\left[ {2 – t’ – t;\,1 + t’ – t;\, – 1 – 2t’ – 2t} \right]\] \[MM’\] ${\rm{//}}$ $\left[ P \right]\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}M\, \notin \,\left[ P \right]\\\overrightarrow {MM’} \, \bot \,\overrightarrow {{n_P}} \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,t’\, = \, – 2\, \Rightarrow \,\overrightarrow {MM’} \,\left[ {4 – t; – 1 – t;\,3 – 2t} \right]$ Ta có ${\rm{cos}}{30^{\rm{O}}}\, = \,{\rm{cos}}\left[ {\overrightarrow {MM’} ,\,{{\overrightarrow u }_d}} \right]\, \Leftrightarrow \,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \,\dfrac{{\left| { – 6t\, + 9} \right|}}{{\sqrt {36{t^2}\, – \,108t\, + \,156} }}\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = – 1\end{array} \right.$ Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là \[{\Delta _1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4 + t\\z = 10 + t\end{array} \right.;\,{\Delta _2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y = – 1\\z = t’\end{array} \right.\]. Khi đó, ${\rm{cos}}\left[ {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right]\, = \,\dfrac{1}{2}.$

[collapse]

Câu 25. Tập hợp các điểm \[M\left[ {x;\,y;\,z} \right]\]trong không gian \[Oxyz\] cách đều hai mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,x + y – 2z – 3 = 0\] và \[\left[ Q \right]:\,x + y – 2z + 5 = 0\] thoả mãn:

1. x + y – 2z + 1 = 0.
2. x + y – 2z + 4 = 0.
3. x + y – 2z + 2 = 0.
4. x + y – 2z – 4 = 0.

Hướng dẫn

\[M\left[ {x;y;z} \right]\]. Ta có \[d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ Q \right]} \right] \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y – 2z – 3} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\left| {x + y – 2z + 5} \right|}}{{\sqrt 6 }}\]\[ \Leftrightarrow \left| {x + y – 2z – 3} \right| = \left| {x + y – 2z + 5} \right| \Leftrightarrow x + y – 2z + 1 = 0\]