Bài tập góc và khoảng cách trong không gian năm 2024
|
\(d(A,(\alpha )) = \dfrac{{\left| {1.{x_A} + 2.{y_A} – 2.{z_A} – 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 1.\) [collapse] Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): 2x – y – 2z – 4 = 0 và β 2x – y – 2z + 2 = 0.
Hướng dẫn Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc (α). Khi đó \(d\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = d\left( {H,(\beta )} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 – 1.0 – 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 2\). [collapse] Câu 3. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α): \(2x – y – 2z – 4 = 0\) và đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z = – t\end{array} \right.\) .
Hướng dẫn Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng. Ta lấy điểm $H\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right)$ thuộc đường thẳng d. Khi đó: $d(d,(\alpha )) = d(H,(\alpha )) = \dfrac{{\left| {2.1 – 1.2 – 2.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = \dfrac{4}{3}.$ [collapse] Câu 4. Khoảng cách từ điểm $A\left( {2;\,\,4;\,\,3} \right)$ đến mặt phẳng (α): 2x + y + 2z + 1 = 0 và β: x = 0 lần lượt là \(d(A,(\alpha ))\), \(d(A,(\beta ))\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hướng dẫn \(d\left( {A,(\alpha )} \right) = \dfrac{{\left| {2.{x_A} + {y_A} + 2.{z_A} + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1\) ; \(d\left( {A,(\beta )} \right) = \dfrac{{\left| {{x_A}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2.\) Kết luận: \(d\left( {A,(\beta )} \right) = 2.d\left( {A,(\alpha )} \right)\). [collapse] Câu 5. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): \(2x – y + 3z – 4 = 0\) nhỏ nhất?
Hướng dẫn Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = – 4. Vậy M(0;- 4;0). Cách giải khác Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng (P) sau đó so sánh chọn đáp án. [collapse] Câu 6. Khoảng cách từ điểm \(M\left( { – 4; – 5;6} \right)\) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng:
Hướng dẫn \(d\left( {M,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_M}} \right| = 6\); \(d(M,(Oyz)) = \left| {{x_M}} \right| = 4.\) [collapse] Câu 7. Khoảng cách từ điểm \(C\left( { – 2;\,\,0;\,\,0} \right)\) đến mặt phẳng (Oxy) bằng:
Hướng dẫn Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên \(d\left( {C,(Oxy)} \right) = 0\) [collapse] Câu 8. Khoảng cách từ điểm H\((1;0;3)\) đến đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\), \(t \in R\) và mặt phẳng (P):\(z – 3 = 0\) lần lượt là \(d(H,{d_1})\) và \(d(H,(P))\). Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
Hướng dẫn Vì H thuộc đường thẳng \({d_1}\)và H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường thẳng \({d_1}\) bằng 0 và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) bằng 0. [collapse] Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm E\((1;1;3)\) đến đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 + 3t\\z = – 2 – 5t\end{array} \right.\), \(t \in R\) bằng: A\(\dfrac{1}{{\sqrt {35} }}.\)
Hướng dẫn + Gọi (P) là mặt phẳng đi qua E và vuông góc với (P). Viết phương trình (P) + Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và (P). Tìm tọa độ H + Tính độ dài EH. Khoảng cách từ điểm E\((1;1;3)\) đến đường thẳng d bằng EH. Cách giải khác: Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E\((1;1;3)\) đến đường thẳng d bằng 0. [collapse] Câu 10. Cho vectơ \(\overrightarrow u \left( { – 2;\,\, – \,2;\,\,0} \right);\,\,\overrightarrow v \left( {\sqrt 2 ;\,\,\sqrt 2 ;\,\,2} \right)\). Góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow v \) bằng:
Hướng dẫn Ta có \(\cos (\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v )\,\, = \,\,\dfrac{{\overrightarrow u .\,\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow v } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{ – 2.\sqrt 2 – 2.\sqrt 2 \,\, + 2.0}}{{\sqrt {{{( – 2)}2}\,\, + \,\,{{( – 2)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}\,\, + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}\,\, + {2^2}} }}\,\, = \,\, – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \,\,(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v )\,\, = \,\,135\circ \). [collapse] Câu 11. Cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,2\,\, + \,\,t\\y\,\, = \,\, – 1\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\,3\end{array} \right.\) và \({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,1\,\, – \,\,t\\y\,\, = \,\,2\\z\,\, = \,\, – 2\,\, + \,\,t\end{array} \right.\). Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: A\(30^\circ \).
Hướng dẫn Gọi \(\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2. \(\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,\,1;\,\,0);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,( – \,1;\,\,0;\,\,1)\) Áp dụng công thức ta có \(cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\left| { – \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\). \( \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,60^\circ \). [collapse] Câu 12. Cho đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1}\,\, = \,\,\dfrac{y}{{ – \,2}}\,\, = \,\,\dfrac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): \(5x\,\, + \,\,11y\,\, + \,\,2z\,\, – \,\,4\,\, = \,\,0\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) là:
Hướng dẫn Gọi \(\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n \) lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\, – 2;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left( {5;\,\,11;\,\,2} \right)\) Áp dụng công thức ta có $\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.5 – 11.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{2}.$ \( \Rightarrow \,\,\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\,\, = \,\,30\circ .\) [collapse] Câu 13. Cho mặt phẳng \((\alpha ):\,\,2x\,\, – \,\,y\,\, + \,\,2z\,\, – \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0\). Cosin góc giữa mặt phẳng (α)và mặt phẳng\(\,(\beta )\) bằng:
Hướng dẫn Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), \(\,\overrightarrow {{n_\beta }} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và β. Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, – \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, – \,2)\). Áp dụng công thức: \(cos((\alpha ),\,(\beta ))\,\, = \,\,\left| {cos(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} )} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\dfrac{{\left| {2.1 – 1.2 – 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{( – 1)}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {({1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{( – 2)}^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{4}{9}.\) [collapse] Câu 14. Cho mặt phẳng \((P):\,\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,2\,\, = \,\,0\) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\, – \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
Hướng dẫn Đường thẳng d có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\, & 2t\\y\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\, – \dfrac{3}{2}\,\, + \,\,t\end{array} \right.,\,\,t\,\, \in \,\,R\) . Suy ra VTCP của d là \(\overrightarrow {{u_d}} (2;\,\,1;\,\,1)\) Ta có $\sin \left( {d,(P)} \right) = \,\,\left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow n } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {2.3\,\, + \,\,1.4\,\, + \,\,1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2}\,\, + \,\,{1^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{3^2}\,\, + \,\,{4^2}\,\, + \,\,{5^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$. \( \Rightarrow \,\,(d,(P))\,\, = \,\,60^\circ \). [collapse] Câu 15. Cho mặt phẳng \((\alpha ):\,\,3x\,\, – \,\,2y + \,\,2z\,\, – \,\,5\,\, = \,\,0\). Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc \(45^\circ .\)
Hướng dẫn [Phương pháp tự luận] Gọi \(\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng β cần lập. \(cos\left( {(\alpha ),\,(\beta )} \right)\,\, = \,\,\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right)} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\dfrac{{\left| {3.a – 2.b\,\, + \,\,2.c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + \,\,{{( – 2)}2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {{a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow \,\,2{(3a\,\, – \,\,2b\,\, + \,\,2c)^2}\,\, = \,\,17({a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2})\) Phương trình trên có vô số nghiệm. Suy ra có vô số vectơ \(\overrightarrow {{n_\beta }} (a;\,\,b;\,\,c)\) là véc tơ pháp tuyến của β. Suy ra có vô số mặt phẳng βthỏa mãn điều kiện bài toán [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình. Giả sử tồn tại mặt phẳng β thỏa mãn điều kiện bài toán. (Đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc \(45\circ \)). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α). Sử dụng phép quay theo trục \(\Delta \) với mặt phẳng β. Ta được vô số mặt phẳng \((\beta ‘)\) thỏa mãn điều kiện bài toán. [collapse] Câu 16. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc \(60^\circ \)
Hướng dẫn Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng. \(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\,\, = \,\,\cos 60^\circ \,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\) Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng. Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất. [collapse] Câu 17. Cho vectơ \(\overrightarrow u (1;\,\,1;\,\, – \,2),\,\,\overrightarrow v (1;\,\,0;\,\,m)\). Tìm m để góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) có số đo bằng \(45^\circ \). Một học sinh giải như sau: Bước 1: Tính \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right)\,\, = \,\,\dfrac{{1\,\, – \,\,2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2}\,\, + \,\,1} }}\) Bước 2: Góc giữa \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) có số đo bằng \(45^\circ \) nên \(\dfrac{{1\,\, – \,\,2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2}\,\, + \,\,1} }}\, = \,\,\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \,\,1\,\, – \,\,2m\,\, = \,\,\sqrt {3({m^2}\,\, + \,\,1)} \) (*) Bước 3: Phương trình \((*)\,\, \Leftrightarrow \,\,{(1\,\, – \,\,2m)^2}\,\, = \,\,3({m^2}\,\, + \,\,1)\) \( \Leftrightarrow \,\,{m^2}\,\, – \,\,4m\,\, – \,\,2\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m\,\, = \,\,2\,\, – \,\,\sqrt 6 \\m\,\, = \,\,2\,\, + \,\,\sqrt 6 .\end{array} \right.\) Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
Hướng dẫn Phương trình (*) chỉ bình phương được hai vế khi biến đổi tương đương nếu thỏa mãn \(1\,\, – \,\,2m\,\, \ge \,\,0\). Bài toán đã thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm \(m\,\, = \,\,2\,\, + \,\,\sqrt 6 \). [collapse] Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm \(A( – 3;\,\, – 4;\,\,5);\)\(B(2;\,\,7;\,\,7);\)\(C(3;\,\,5;\,\,8);\)\(D( – 2;\,\,6;\,\,1)\). Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc \(60^\circ \)?
Hướng dẫn Tính tọa độ các vectơ sau đó thay vào công thức: \(\cos (d,d’) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right|\) để kiểm tra. [collapse] Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz một góc \(30^\circ \)?
Hướng dẫn Gọi phương trình mặt phẳng (α) cần lập có dạng \(A(x\,\, – \,\,2)\,\, + \,\,B(y\,\, – \,\,1)\,\, + \,\,C(z\,\, + \,\,1)\,\,\, = \,\,0;\,\,\overrightarrow n \,(A;\,\,B;\,\,C)\) Oz có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k (0;\,\,0;\,\,1)\). Áp dụng công thức \(\sin ((\alpha ),\,\,Oz)\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\overrightarrow {\left| n \right|} .\overrightarrow {\left| k \right|} }}\,\, = \,\,\sin 30^\circ \) Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng. [collapse] Câu 20. Cho mặt phẳng \((P):\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,8\,\, = \,\,0\). Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\alpha ):\,\,x\,\, – \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0\). Góc giữa d và (P) là:
Hướng dẫn Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} (3;\,\,4;\,\,5)\) \(\overrightarrow {{n_d}} = \,\,\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]\,\, = \,\,(2;\,\,1;\,\,1)\) Áp dụng công thức \(\sin ((P),\,\,d)\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). [collapse] Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng\(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z + m = 0\) vàđiểm\(A\left( {1;1;1} \right)\). Khi đó \(m\) nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng 1?
Hướng dẫn \(d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {5 + m} \right|}}{3} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 5 = 3\\m + 5 = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 8\end{array} \right.\) [collapse] Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm \(A\left( { – 2;0;0} \right)\),\(B\left( {0;3;0} \right)\),\(C\left( {0;0;4} \right)\). Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
Hướng dẫn Cách 1: \(\left( \alpha \right):\dfrac{x}{{ – 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x – 4y – 3z + 12 = 0\);\(d\left( {O,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\) Cách 2: Tứ diệnOABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, khi đó\(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{{61}}{{144}} \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\) [collapse] Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;\,2;\,3} \right);\,B\left( {0;\,1;1} \right);\,C\left( {1;\,0;\, – 2} \right)\). Điểm \(M\, \in \,\left( P \right):\,x + y + z + 2 = 0\)sao cho giá trị của biểu thức \(T = M{A^2} + \,2M{B^2}\, + \,3M{C^2}\) nhỏ nhất. Khi đó, điểm \(M\) cách \(\left( Q \right):\,2x – y – 2z + 3 = 0\) một khoảng bằng
Hướng dẫn Gọi \(M\left( {x;\,y;\,z} \right)\). Ta có \(T = 6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2} – 8x – 8y + 6z + 31\) \( \Rightarrow T = 6\left[ {{{\left( {x – \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {y – \dfrac{2}{3}} \right)}^2}{{\left( {z + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] + \,\dfrac{{145}}{6}\) \( \Rightarrow \,T = 6M{I^2} + \dfrac{{145}}{6}\) với \(I\left( {\dfrac{2}{3};\,\dfrac{2}{3};\, – \dfrac{1}{2}} \right)\) \( \Rightarrow T\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất \( \Rightarrow M\)là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \,M\left( { – \dfrac{5}{{18}}; – \dfrac{5}{{18}};\, – \dfrac{{13}}{9}\,} \right)\). [collapse] Câu 24. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y – z + 2 = 0\) và hai đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\); $d’:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – t’\\y = 1 + t’\\z = 1 – 2t’\end{array} \right..$ Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với \(\left( P \right)\); cắt d, d’ và tạo với \(d\) góc \({30^{\rm{O}}}.\) Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
Hướng dẫn Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm, $\overrightarrow {{n_P}} $ là VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(M\left( {1 + t;\,t;\,2 + \,2t} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(d\); \(M’\,\left( {3 – t’;\,1 + t’;\,1 – 2t’} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(d’\) Ta có: \(\overrightarrow {MM’} \,\left( {2 – t’ – t;\,1 + t’ – t;\, – 1 – 2t’ – 2t} \right)\) \(MM’\) ${\rm{//}}$ $\left( P \right)\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}M\, \notin \,\left( P \right)\\\overrightarrow {MM’} \, \bot \,\overrightarrow {{n_P}} \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,t’\, = \, – 2\, \Rightarrow \,\overrightarrow {MM’} \,\left( {4 – t; – 1 – t;\,3 – 2t} \right)$ Ta có ${\rm{cos}}{30^{\rm{O}}}\, = \,{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MM’} ,\,{{\overrightarrow u }_d}} \right)\, \Leftrightarrow \,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \,\dfrac{{\left| { – 6t\, + 9} \right|}}{{\sqrt {36{t^2}\, – \,108t\, + \,156} }}\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = – 1\end{array} \right.$ Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là \({\Delta _1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4 + t\\z = 10 + t\end{array} \right.;\,{\Delta _2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y = – 1\\z = t’\end{array} \right.\). Khi đó, ${\rm{cos}}\left( {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right)\, = \,\dfrac{1}{2}.$ [collapse] Câu 25. Tập hợp các điểm \(M\left( {x;\,y;\,z} \right)\)trong không gian \(Oxyz\) cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y – 2z – 3 = 0\) và \(\left( Q \right):\,x + y – 2z + 5 = 0\) thoả mãn:
Hướng dẫn \(M\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y – 2z – 3} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\left| {x + y – 2z + 5} \right|}}{{\sqrt 6 }}\)\( \Leftrightarrow \left| {x + y – 2z – 3} \right| = \left| {x + y – 2z + 5} \right| \Leftrightarrow x + y – 2z + 1 = 0\) |
