Bài 93 trang 140 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

LG a

Chứng minhA, B, C, Dlà bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right),\overrightarrow {AC} = {\rm{ }}\left( {7{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right),\)suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ 3 & { - 1} \cr 0 & { - 7} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 1} & 2 \cr { - 7} & 7 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & 3 \cr 7 & 0 \cr } } \right|} \right) \)

\(= ( - 21;7; - 21).\)

Lại có \(\overrightarrow {AD} = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}7{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right)\)nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}147 \ne 0\)

Do đóA, B, C, Dlà các đỉnh của một tứ diện.

LG b

Tính thể tích khối tứ diệnABCD.

Lời giải chi tiết:

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {{196} \over 6} = {{98} \over 3}.\)

LG c

Viết phương trình mặt cầu(S)ngoại tiếp tứ diệnABCD

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I(x{\rm{ }};y;z)\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :

\(\left\{ \matrix{ I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr {IA^2} = I{C^2} \hfill \cr {IA^2} = I{D^2}. \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra \(x = - 2,y = 1,z{\rm{ }} = - 5.\)Vậy \(I = {\rm{ }}\left( { - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1; - 5} \right)\) vàR=IA= 7.

Do đó, mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diệnABCDcó phương trình :

\(\left( S \right){\rm{ }}:{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49.\)

LG d

Tìm tọa độ các giao điểmM, Ncủa đường thẳng d với mặt cầu(S).

Lời giải chi tiết:

Dạng tham số của đường thẳngdlà :

\(\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr} \right.\)

Toạ độ \(\left( {x;y;{\rm{ }}z} \right)\) của giao điểm củadvà (S) thoả mãn hệ :

\(\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = - 5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t \hfill \cr y = {\rm{ }} - 11{\rm{ }} + 5t \hfill \cr z = {\rm{ }}9{\rm{ }} - 4t. \hfill \cr {\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{(y - {\rm{ }}1)^2} + {(z{\rm{ }} + 5)^2} = {\rm{ }}49. \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & = > {\left( {3t{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {5t - {\rm{ }}12} \right)^2} + {( - {\rm{ }}4t + 14)^2} = 49 \cr & \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Khit= 2 thì \(x = {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}y{\rm{ }} = - 1{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1\), ta được điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

+) Khit= 3 thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }};y = {\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ }}z{\rm{ }} = - 3\), ta được điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

Vậy cắt (S) tại hai điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right).\)

LG e

Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu(S) tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tạiM.Khi đó, (P) đi qua điểm \(M\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} = \overrightarrow {IM} = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }}; - 2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình của (P) là:

\(3\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 2(y{\rm{ }} + 1){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow3x - 2y + 6z - 11 = 0.\)

Gọi (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tạiN.Khi đó, mp(Q) đi qua điểm \(N\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }}; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {IN} = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Vậy phương trình của (Q) là :

\(6(x - {\rm{ }}4) + 3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right) + {\rm{ }}2\left( {z{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 30 = 0.\)

Gọi \(\varphi \)là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có

\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {18 - 6 + 12} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} .\sqrt {36 + 9 + 4} }} = {{24} \over {49}}.\)