Bài 67 trang 16 sbt hình học 11 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng hợp thành của T và Đ cũng bằng hợp thành của Đ và T.

Lời giải chi tiết:

Giả sử M là một điêmt nào đó, Đ biến M thành M1và T biến M1thành M.

Như vậy, nếu gọi F là hợp thành của T và Đ thì F biến M thành M.

Nếu ta lấy điểm M2sao cho MM1MM2là hình chữ nhật thì rõ ràng T biến M thành M2và Đ biến M2thành M.

Vậy F cũng là hợp thành của T và Đ.

LG b

Chứng minh rằng nếu M là ảnh của M qua phép đối xứng trượt thì trung điểm đoạn thẳng MM luôn nằm trên trục của phép đối xứng trượt đó.

Lời giải chi tiết:

Hiển nhiên

LG c

Hợp thành của hai phép đối xứng trượt có trục song song là phép gì?

Lời giải chi tiết:

Giả sử phép đối xứng trượt F có trục d và vectơ trượt \(\overrightarrow v \) , phép đối xứng trượt F có trục đối xứng d và véc tơ trượt \(\overrightarrow v '\) .

Kí hiệu Đ, Đ lần lượt là phép đối xứng có trục d và d, T và T lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow {v'} \) .

Như vậy F là hợp thành của T và Đ, F là hợp thành của Đ và T.

Suy ra hợp thành của F và F là hợp thành của bốn phép: T, Đ, Đ và T.

Vì d // d nên hợp thành của Đ và Đ là một phép tịnh tiến.

Vậy hợp thành F và F là hợp thành của ba phép tịnh tiến và do đó là môt phép tịnh tiến.

LG d

Chứng minh rằng hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến là một phép đối xứng trượt.

Lời giải chi tiết:

Gọi Đ là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) , còn F là hợp thành của Đ và T.

Ta có thể tìm được hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) sao cho \(\overrightarrow {{v_1}} \) song song với d, \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d và \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) .

Nếu ta gọi T1và T2lần lượt là các phép tịnh tiến theo các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) thì T là hợp thành của T2và T1.

Nhưng vì \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d nên T2có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục D1và D2có trục song song với d. Tóm lại, F là hợp thành của bốn phép Đ, Đ1, Đ2và T1.

Như đã biết, hợp thành của 3 phép đối xứng trục Đ, Đ1, Đ2(có trục song song) là phép đối xứng của trục Đ3có trục song song với d. Vậy F là hợp thành của Đ3và T1với vectơ tịnh tiến của T1song song với trục đối xứng Đ3, nên F là phép đối xứng trượt.

LG e

Chứng minh rằng hợp thành của một phép quay và một phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.

Lời giải chi tiết:

Giả sử Q là phép quay tâm O và Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là hợp thành của Q và Đ.

Ta có thể xem phép quay Q là hợp thành của hai phép đối xứng Đ1và Đ2có các trục đối xứng đi qua O, trong đó trục của Đ2song song với d.

Như vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: Đ1, Đ2và Đ.

Nhưng hợp thành của Đ2và Đ (có trục đối xứng song song) là phép tịnh tiến do đó F là hợp thành của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến nên theo câu d), F là phép đối xứng trượt.

LG g

Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.

Lời giải chi tiết:

Suy từ câu d và câu e).