Bài 20 trang 219 sbt giải tích 12

LG a

y = x3; y = 1 và x = 3

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích (V1và V2) của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy V = V1 V2, trong đó :

\({V_1} = \pi \int\limits_1^3 {{x^6}} dx = {1 \over 7}\pi {x^7}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right. = {\pi \over 7}({3^7} - 1)\)

\({V_2} = \pi \int\limits_1^3 {dx = 2\pi }\)

\(\RightarrowV = {V_1} - {V_2} = {\pi \over 7}({3^7} - 15) = 310{2 \over 7}\pi \)(đơn vị thể tích)

LG b

\(y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi \over 2}{\rm{]}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có V = V1 V2trong đó

\({V_1} = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} \)

\(\begin{array}{l}
= \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \\
= \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\
= \dfrac{\pi }{2}\left. {\left( {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}\\
= \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}
\end{array}\)

\({V_2} = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{({2 \over \pi }x)}^2}dx } \)

\( = \dfrac{4}{\pi }\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}dx} = \dfrac{4}{\pi }.\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{6}\)

\(V = {V_1} - {V_2} = {{{\pi ^2}} \over {12}}\)(đơn vị thể tích)

LG c

\(y = {x^\alpha },\alpha \in {N^*};y = 0;x = 0\)và x = 1

Lời giải chi tiết:

Hình vẽ

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{2\alpha }}dx} \)

\( = \pi .\left. {\dfrac{{{x^{2\alpha + 1}}}}{{2\alpha + 1}}} \right|_0^1 = \pi \left( {\dfrac{1}{{2\alpha + 1}} - 0} \right) \) \(= \dfrac{\pi }{{2\alpha + 1}}\)