Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = log a b 2 a 2 + 3 log b a b
A.19
B.13
C.14
D.15
Các câu hỏi tương tự
Xét các số thực a; b thỏa mãn a> b> 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = log 2 a b a 2 + 3 log b a b
A. 19
B. 13
C. 14
D. 15
Xét các số thực a, b thỏa mãn 1 4 < b < a < 1 Biểu thức P = log a [ b - 1 4 ] - log a b b đạt giá trị nhỏ nhất khi
A. log a b = 1 3
B. log a b = 2 3
C. log a b = 3 2
D. log a b = 3
Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P của biểu thức P = log a b 2 a 2 + 3 log b a b
A. 19.
B. 13.
C. 14.
D. 15.
Giả sử a, b là các số thực sao cho x3 + y3 = a.103x + b.102x đúng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn log [x + y] = z và log[x2 + y2] = z + 1. Giá trị của a+b bằng:
A. - 31 2
B. - 25 2
C. 31 2
D. 29 2
Xét số thực a,b thỏa mãn b > 1 và a ≤ b < a . Biểu thức P = log a b a + 2 log b a b đạt giá trị nhỏ nhất khi
A. a = b 2 .
B. a 2 = b 3 .
C. a 3 = b 2 .
D. a 2 = b .
Cho các số thực dương a,b thỏa mãn log a = x , log b = y . Tính P = log [ a 2 b 3 ]
Cho x,y,z,a,b,c là các số thực thay đổi thỏa mãn [ x + 3 ] 2 + [ y - 2 ] 2 + [ z + 1 ] 2 = 2 và a+b+c=1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [ x - a ] 2 + [ y - b ] 2 + [ z - c ] 2 là
A. 3 - 2
B. 3 + 2
C. 5 - 2 6
D. 5 + 2 6
Lời giải của GV Vungoi.vn
$P = {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] + 12{\left[ {{{\log }_{\frac{b}{a}}}a} \right]^2} - 3$$ = {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] + 12{\left[ {\dfrac{1}{{{{\log }_a}\dfrac{b}{a}}}} \right]^2} - 3$$ = {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] + 12{\left[ {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right]^2} - 3$
Ta có: $\dfrac{{3b - 1}}{4} \le {b^3}$$ \Leftrightarrow 3b - 1 \le 4{b^3}$$ \Leftrightarrow 4{b^3} - 3b + 1 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left[ {b + 1} \right]\left[ {4{b^2} - 4b + 1} \right] \ge 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {b + 1} \right]{\left[ {2b - 1} \right]^2} \ge 0$ [luôn đúng với \[\dfrac{1}{3} < b < 1\]]
$ \Rightarrow {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] \ge {\log _a}{b^3}$ [ vì \[a < 1\]] $ \Rightarrow {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] \ge 3{\log _a}b$
Do đó $P \ge 3{\log _a}b + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}} - 3$$ \Leftrightarrow P \ge 3\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}$ \[\left[ * \right]\]
Vì \[\dfrac{1}{3} < b < a < 1\] nên \[{\log _a}b > 1\]
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho \[3\] số dương: \[\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]\], \[\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]\], $\dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}$
\[\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}\]\[ \ge 3.\,\sqrt[3]{{\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right].\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right].\dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}}}\]
\[ \Leftrightarrow 3\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}} \ge 9\] \[\left[ {**} \right]\]
Từ \[\left[ * \right]\]và \[\left[ {**} \right]\] ta có \[P \ge 9\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] = \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]^3} = 8\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b - 1 = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b = 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\b = {a^3}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2}}}\end{array} \right.\]
Vậy \[\min P = 9\]
Cho hai số thực \[a\], \[b\] đều lớn hơn \[1\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\] bằng
A. \[\frac{4}{9}\].
B. \[\frac{9}{4}\].
C. \[\frac{9}{2}\].
D. \[\frac{1}{4}\].
Lời giải
Chọn B
Ta có \[S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\]\[ = {\log _a}\left[ {ab} \right] + {\log _b}\sqrt[4]{{ab}}\]
\[ = 1 + {\log _a}b + \frac{1}{4}\left[ {{{\log }_b}a + 1} \right]\]\[ = {\log _a}b + \frac{1}{{4{{\log }_a}b}} + \frac{5}{4}\].
Đặt \[x = {\log _a}b\]. Do \[a\], \[b > 1\] nên \[x > 0\]. Khi đó \[S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\].
Cách 1.
Ta có \[S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\]\[ \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}\] [Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \[x\] và \[\frac{1}{4}x\]].
Dấu xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{4x}}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{1}{2}\].
Vậy \[\min S = \frac{9}{4}\] tại \[{\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \].
Cách 2.
Ta có \[S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\]
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\], ta có
\[f’\left[ x \right] = 1 – \frac{1}{{4{x^2}}}\]\[ = \frac{{4{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}\]; \[f’\left[ x \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = – \frac{1}{2} \notin \left[ {0; + \infty } \right]\] hoặc \[x = \frac{1}{2} \in \left[ {0; + \infty } \right]\].
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,\,; + \infty } \right]} f\left[ x \right] = \frac{9}{4}\] khi \[x = \frac{1}{2}\].
Vậy \[\min S = \frac{9}{4}\] tại \[{\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \].
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốTrang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Xét các số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a > b > 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất \[{P_{\min }}\] của biểu thức \[P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left[ {{a^2}} \right] + 3{\log _b}\left[ {\frac{a}{b}} \right]\].
A.
B.
C.
D.