Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

Phương pháp giải:

- Gọi \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là điểm thuộc đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \[M\] là: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\,\,\,\left[ d \right]\].

- Xác định tọa độ các điểm \[A = Ox \cap d,\,\,B = Oy \cap d\].

- Giải phương trình \[OA = OB\] tìm \[{x_0}\], từ đó suy ra các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]. Ta có \[y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\].

Gọi \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \[M\] là:

\[y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\left[ {x - {x_0}} \right] + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\,\,\,\left[ d \right]\]

Gọi \[A = d \cap Ox\].

Cho \[y = 0\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\left[ {x - {x_0}} \right] + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 0 =  - 4\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {{x_0} + 3} \right]\left[ {{x_0} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 0 =  - 4x + 4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4}\end{array}\]

\[ \Rightarrow A\left[ {\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4};0} \right]\] \[ \Rightarrow OA = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4}\].

Gọi \[B = d \cap Oy\].

Cho \[x = 0\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow y = \dfrac{{4{x_0}}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} = \dfrac{{4{x_0} + \left[ {{x_0} + 3} \right]\left[ {{x_0} - 1} \right]}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}} = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\end{array}\]

\[ \Rightarrow B\left[ {0;\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}} \right] \Rightarrow OB = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\].

Vì tam giác \[OAB\] vuông cân tại \[O\] nên \[OA = OB\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4} = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|\left[ {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_0} - 1} \right]}^2}}} = 0\end{array}\]  

[Do \[A \ne B\] nên \[x_0^2 + 6{x_0} - 3 \ne 0\]]

\[ \Leftrightarrow {\left[ {{x_0} - 1} \right]^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 2\\{x_0} - 1 =  - 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\,\,\left[ {tm} \right]\].

Với \[{x_0} = 3\] \[ \Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến: \[y =  - 1\left[ {x - 3} \right] + 3 \Leftrightarrow y =  - x + 6\].

Với \[{x_0} =  - 1\] \[ \Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến: \[y =  - 1\left[ {x + 1} \right] - 1 \Leftrightarrow y =  - x - 2\].

Chọn A.

Những câu hỏi liên quan

Cho hàm số: y   =   2 x + 2     x - 1  có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

A. y = -x-1; y = -x+6

B. y = -x-2; y = -x+7

C. y = -x-1; y = -x+5

D. y = -x-1; y = -x+7

Cho hàm số y = 2 x x + 2 có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C], biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng  1 18

A.  y = 9 4 x + 1 2 ; y = 4 9 x + 2 9

B.  y = 9 4 x + 1 2 ; y = 4 9 x + 4 9

C.  y = 9 4 x + 31 2 ; y = 4 9 x + 2 9

D.  y = 9 4 x + 1 2 ; y = 4 9 x + 1 9

Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 x + 3 x + 2 chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

A.  y = x + 2

B.  y = x - 2

C.  y = - x + 2

D.  y = 1 4 x + 3 2

Tìm số tiếp tuyến tại điểm nằm trên đồ thị hàm số y = x + 2 x + 1  cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Cho hàm số

có đồ thị là

. Viết phương trình tiếp tuyến của

, biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

A.

;.

B.

;.

C.

;.

D.

;.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi

. Ta có: Tiệm cận đứng: ; tiệm cận ngang: ; tâm đối xứng Gọi là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của : . Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng . * . * .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Toán Học 11 - Đề số 6

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

• Trên đồ thị của hàm số

  có điểm
  sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ
  là:

• Cho hàm số

  [
  là tham số]. Tìm tất cả các giá trị
  để tiếp tuyến của
  tại điểm có hoành độ
  ,
  song song hoặc trùng nhau.

• Đồ thị

  của hàm số
  cắt trục tung tại điểm
  . Tiếp tuyến của
  tại
  có phương trình là:

• Cho hàmsố

  cóđồthị
  . Có bao nhiêutiếptuyếncủađồthị
  vuônggócvớiđườngthẳng
  ?

• Cho parabol

  vàđườngthẳng
  . Qua điểm
  tùyý trênđườngthẳng
  kẻ2 tiếptuyến
  ,
  tới
  [với
  ,
  làcáctiếpđiểm]. Biếtđườngthẳng
  luônđiqua điểm
  cốđịnh. Phátbiểunàosauđâyđúng?

• Cho hàm số

  có đồ thị là
  . Viết phương trình tiếp tuyến của
  , biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

• Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số:

  tại điểm
  thuộc đồ thị và vuông góc với
  [
  là giao điểm
  tiệm cận ]

• Cho parabol

  vàđườngthẳng
  . Qua điểm
  tùyý trênđườngthẳng
  kẻ2 tiếptuyến
  ,
  tới
  [với
  ,
  làcáctiếpđiểm]. Biếtđườngthẳng
  luônđiqua điểm
  cốđịnh. Phátbiểunàosauđâyđúng?

• Cho hàm số

  [C].Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết Tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.

• Tìm

  để đồ thị :
  có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
  .

• Cho hàm số

  có đồ thị
  . Có bao nhiêu điểm
  thuộc
  sao cho tiếp tuyến của
  tại
  cắt
  tại hai điểm phân biệt
  ,
  khác
  ] thỏa mãn

• Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  song song với đường thẳng
  .

• Cho hàmsố

  cóđồthị
  . Hệsốgóccủatiếptuyếnvới
  tạiđiểm
  bằng

• Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  tại điểm có hoành độ
  bằng

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  tại điểm có hoành độ bằng
  là:

• Cho hàmsố

  cóđồthị
  . Tiếptuyếncủa
  tạigiaođiểmcủa
  vớitrụctungcóphươngtrình

• Cho hàm số

  có đồ thị
  . Biết rằng khi
  thì tiếp tuyến với đồ thị
  tại điểm có hoành độ bằng
  đi qua
  . Khẳng định nào sâu đây đúng?

• Phươngtrìnhtiếptuyếncủađồthịhàmsố

  tạiđiểmcóhoànhđộ
  là:

• Tiếp tuyến với hàm số

  tại điểm
  có hệ số góc là

• Cho hàm

  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
  sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
  .

• Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  tại điểm
  có phương trình:

• Tìm

  để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
  tại điểm có hoành độ
  vuông góc với đường thẳng
  .

• Cho hàmsố

  . Xéthaiđiểm
  và
  phânbiệtcủađồthị
  màtiếptuyếntại
  và
  song song. Biếtrằngđườngthẳng
  điqua. Phươngtrìnhcủađườngthẳng
  là

• Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

  tại giao điểm của
  và trục hoành:

• Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  đi qua điểm
  . Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng

• Phương trình tiếp tuyến của đường cong

  tại điểm có hoành độ
  là:

• Cho hàm số y=ax+b2x+3 có đồ thị đi qua điểm A1;1 . Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng −2 có hệ số góc bằng 5. Mệnh đề nào sau đây đúng?
  

• Cho hàm số

  . Có bao nhiêu cặp điểm
  thuộc
  mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau:

• Cho hàmsố

  Tiếptuyếncủa[C] song songvớiđườngthẳngy = -3x cóphươngtrìnhlà

• Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị

  tại điểm của hoành độ
  bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

• Cho hàm số

  có đồ thị
  và điểm
  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
  để có đúng hai tiếp tuyến của
  đi qua
  ?

• Phương trình tiếp tuyến của đường cong

  tại điểm có hoành độ
  là:

• Phươngtrìnhtiếptuyếnvớiđồthị

  tạiđiểmcóhoànhđộ
  là:

• Cho hàm số

  có đồ thị
  . Viết phương trình tiếp tuyến của
  tại giao điểm của
  với trục tung.

• Cho hàm số

  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồthịhàm sốtại điểm
  .

• Viết phương trình tiếp tuyến của

  đi qua điểm
  .

• Biết với một điểm

  tùy ý thuộc
  :
  , tiếp tuyến tại
  cắt
  tại hai điểm
  tạo với
  một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là?

• Điểm

  trên đồ thị hàm số
  mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc
  bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì
  ,
  là

• Cho hàm số

  , có đồ thị
  . Tiếp tuyến của
  vuông góc với đường thẳng
  là đường thẳng có phương trình:

• Đường thẳng

  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
  khi
  bằng

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Cho Parabol

  . Tập hợp đỉnh của Parabol
  là đường cong
  cắt trục hoành tại điểm có tọa độ:

• Đại hội đại biểu toàn quốc lần III của Đảng [9/1960] xác định cách mạng miền Bắc

• Tìm tất cả các giá trị

  để đường thẳng
  cắt parabol
  tại
  điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

• Chiến thắng “Ấp Bắc” của quân dân ta đã dấy lên phong trào nào trong cả nước?

• Cho hàm số

  xác định trên
  . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
  lần lượt là
  ,
  thỏa mãn
  . Khi đó giá trị của
  bằng

• Hai công trình có quy mô lớn và quan trọng ở nước ta, mặc dù được xây dựng trong hai thế kỉ khác nhau nhưng cũng mang một tên gọi. Đó là

• Việc Mỹ tuyên bố “phi Mỹ hóa” chiến tranh xâm lược Việt Nam đánh dấu sự thất bại của chiến lược chiến tranh nào?

• Tìm

  để hàm số
  có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
  bẳng
  .

• Việc Mỹ tuyên bố “phi Mỹ hóa” chiến tranh xâm lược Việt Nam đánh dấu sự thất bại của chiến lược chiến tranh nào?

• Xác định các hệ số

  và
  để Parabol
  có đỉnh