Giải toán bài tập lớp 7
|
Câu 6 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho biểu thức \(5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\). Tính giá trị của biểu thức tại: a) x = 0 b) x = - 1 c) \(x = {1 \over 3}\) Giải a) Thay x = 0 vào biểu thức ta có: $${5.0^2} + 3.0 - 1 = 0 + 0 - 1 = - 1$$ Vậy giá trị của biểu thức \(5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\) tại x = 0 là -1 b) Thay x = -1 vào biểu thức ta có: $$5.{\left( { - 1} \right)^2} + 3.\left( { - 1} \right) - 1 = 5.1 - 3 - 1 = 1$$ Vậy giá trị của biểu thức \(5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\) tại x = -1 là 1. c) Thay \(x = {1 \over 3}\) vào biểu thức ta có: $$5.{\left( {{1 \over 3}} \right)^2} + 3.{1 \over 3} - 1 = 5.{1 \over 9} + 1 - 1 = {5 \over 9}$$ Vậy giá trị của biểu thức \(5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\) tại \(x = {1 \over 3}\) là \({5 \over 9}\) Câu 7 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 3x – 5y +1 tại \(x = {1 \over 3};y = - {1 \over 5}\) b) \(3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 5\) tại \({\rm{x}} = 1;x = - 1;x = {5 \over 3}\) c) \({\rm{x}} - 2{y^2} + {z^3}\) tại x = 2; y = -1; z = -1 Giải a) Thay \(x = {1 \over 3};y = - {1 \over 5}\) vào biểu thức ta có: \(3.{1 \over 3} - 5.\left( { - {1 \over 5}} \right) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\) Vậy giá trị của biểu thức 3x – 5y +1 tại \({\rm{x}} = {1 \over 3}\) và \(y = - {1 \over 5}\) là 3. b) Thay x = 1 vào biểu thức ta có: \({3.1^2} - 2.1 - 5 = 3 - 2 - 5 = - 4\) Vậy giá trị của biểu thức \(3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 5\) tại x = 1 là -4 Thay x = -1 vào biểu thức ta có: \(3.{( - 1)^2} - 2.( - 1) - 5 = 3 - 2 - 5 = - 4\) Vậy giá trị của biểu thức \(3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 5\) tại x = -1 là 0. Thay \(x = {5 \over 3}\) vào biểu thức ta có: \(3.{\left( {{5 \over 3}} \right)^2} - 2.{5 \over 3} - 5 = 3.{{25} \over 9} - {{10} \over 3} - 5 = {{25} \over 3} - {{10} \over 3} - {{15} \over 3} = 0\) Vậy giá trị của biểu thức \(3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 5\) tại \(x = {5 \over 3}\) là 0. c) Thay x = 4, y = -1 vào biểu thức ta có: \(4 - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} = 4 - 2.1 + ( - 1) = 4 - 2 - 1 = 1\) Vậy giá trị của biểu thức \({\rm{x}} - 2{y^2} + {z^3}\) tại x = 4, y = -1, z = -1 là 1. Câu 8 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Tính giá trị của biểu thức sau. a) \({{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}}\) tại \({\rm{x}} = 1;x = - 1;x = {1 \over 2}\) b) \(3{{\rm{x}}^2} - xy\) tại x = -3; y = -5 c) \(5 - x{y^3}\) tại x = 1; y = -3 Giải a) Thay x = 1 vào biểu thức ta có: $${1^2} - 5.1 = 1 - 5 = - 4$$ Vậy giá trị của biểu thức \({{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}}\) tại x = 1 là -4 Thay x = -1 vào biểu thức ta có: $${( - 1)^2} - 5.( - 1) = 1 + 5 = 6$$ Vậy giá trị của biểu thức \({{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}}\) tại x = -1 là 6 Thay \({\rm{x}} = {1 \over 2}\) vào biểu thức ta có: $${\left( {{1 \over 2}} \right)^2} - 5.{1 \over 2} = {1 \over 4} - {{10} \over 4} = {{ - 9} \over 4}$$ Vậy giá trị của biểu thức \({{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}}\) tại \({\rm{x}} = {1 \over 2}\) là \(- {9 \over 4}\) b) Thay x = -3 và y = - 5 vào biểu thức ta có: $$3.{\left( { - 3} \right)^2} - ( - 3).( - 5) = 3.9 - 15 = 12$$ Vậy giá trị của biểu thức \(3{{\rm{x}}^2} - xy\) tại x = -3; y = -5 là 12 c) Thay x = 1, y = -2 vào biểu thức ta có: $$5 - 1.{( - 3)^3} = 5 - 1.( - 27) = 5 + 27 = 32$$ Vậy giá trị của biểu thức \(5 - x{y^3}\) tại x = 1; y = -3 là 32 Giaibaitap.me Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Câu 5 trang 36 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh các độ dài BK, BC. Giải
Trong ∆ACK ta có \(\widehat {BKC}\) là góc ngoài tại đỉnh K. \(\widehat {BKC} > \widehat A = 90^\circ \) (tính chất góc ngoài) Trong ∆BKC ta có \(\widehat {BKC}\) là góc tù, BC là cạnh đối diện với \(\widehat {BKC}\) nên BC > BK Câu 1.1, 1.2, 1.3 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Câu 1.1 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Tam giác ABC có  là góc tù, \(\widehat B > \widehat C\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? (A) AB > AC > BC (B) AC > AB > BC (C) BC > AB > AC (D) BC > AC > AB Giải Do  là góc tù nên  lớn nhất. Vậy có \(\widehat A > \widehat B > \widehat C\). Từ đó suy ra BC > AC > AB. Chọn (D) BC > AC > AB. Câu 1.2 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm và AC = 7cm. Gọi \({\widehat A_1},\widehat {{B_1}},\widehat {{C_1}}\) theo thứ tự là góc ngoài tại đỉnh A, B, C của tam giác đó. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(\left( A \right)\widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}} > \widehat {{C_1}}\) \(\left( B \right)\widehat {{B_1}} > \widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}}\) \(\left( C \right)\widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}}\) \(\left( D \right)\widehat {{C_1}} > \widehat {{B_1}} > \widehat {{A_1}}\) Giải Ta có \(\widehat {{A_1}} = 180^\circ - \widehat A;\widehat {{B_1}} = 180^\circ - \widehat B;\widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat C\). Theo giả thiết ta có AB < BC < AC. Từ đó suy ra \(\widehat C < \widehat A < \widehat B\). Vậy \(\widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}}\). Chọn \(\left( C \right)\widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}}\) Câu 1.3 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 So sánh các cạnh của một tam giác cân, biết rằng nó có một góc ngoài bằng 40°. Giải Theo giả thiết, tam giác cân này có một góc ngoài bằng 40° nên nó có một góc trong bằng 180° - 40° = 140°. Góc trong này không thể là góc ở đáy của tam giác cân mà phải là góc ở đỉnh. Vậy cạnh đáy của tam giác cân lớn hơn hai cạnh bên của nó. Giaibaitap.me Page 23
Câu 1.4, 1.5, 1.6 trang 37, 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Câu 1.4 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC với AB ≥ AC. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Chứng minh rằng AM < AC. Giải  Ta có \(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ \) nên chỉ có hai khả năng xảy ra ứng với các vị trí của M trên BC là \(\widehat {{M_1}} > 90^\circ \) hoặc \(\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \). - Nếu \(\widehat {{M_1}} > 90^\circ \) thì tam giác AMC có góc tù nên AM > AC - Nếu \(\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \) thì trong tam giác ABM có AM < AB. Kết hợp với giả thiết AB < AC, ta suy ra AM < AC. Vậy ta luôn có AM < AC. Câu 1.5 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC với AB ≤ BC ≤ CA. Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy hai điểm M và N (khác A, B, C). Chứng minh rằng MN < AC. Giải
Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC. Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M # B, M # C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC. Câu 1.6 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D (khác A và B), trên cạnh AC lấy điểm E (khác A và C). Chứng minh rằng DE < BC. Giải
Xét tam giác CDE. Ta có \(\widehat E > \widehat A\), mà Â là góc tù nên \(\widehat {{E_1}}\) là góc tù. Suy ra CD > DE (1) Xét tam giác BCD. Ta có \(\widehat {{D_1}} > \widehat A\) nên \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù. Suy ra BC > CD (2) Từ (1) và (2) suy ra BC > DE. Câu 6 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC Giải
Kẻ \(DH \bot AC\) Xét hai tam giác vuông ABD và BHD: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left( {gt} \right)\) Cạnh huyền BD chung. Do đó: ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền góc nhọn) \( \Rightarrow \) AD = HD (2 cạnh tương ứng) (1) Trong tam giác vuông DHC có \(\widehat {DHC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \) DH < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD < DC Giaibaitap.me Page 24
Câu 7 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {CAM}\). Giải
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét ∆AMB và ∆DMC: MA = MD (theo cách vẽ) \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh) MB = MC (gt) Do đó: ∆AMB = ∆DMC (c.g.c) Nên: AM = CD (2 cạnh tương ứng) \(\widehat D = \widehat {{A_1}}\) (2 góc tương ứng) (1) AB < AC (gt) Suy ra: CD < AC Trong ∆ADC ta có: CD < AC Nên \(\widehat D = \widehat {{A_2}}\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) hay \(\widehat {BAM} > \widehat {MAC}\) Câu 8 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC. Giải
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB AB < AC nên AE < AC => E nằm giữa A và C Xét ∆ABD và ∆AED: AB = AE (theo cách vẽ) \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\left( {gt} \right)\) AD cạnh chung Do đó: ∆ABD = ∆AED (c.g.c) => BD = DE (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\) (2 góc tương ứng) \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù) \(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù) Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\) Trong ∆ABC ta có \(\widehat {{B_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh B. \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\) (tính chất góc ngoài tam giác) Suy ra: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\) Trong ∆DEC ta có: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\) \( \Rightarrow \) DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) Suy ra: BD < DC. Câu 9 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền. Giải
Xét ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ ;\widehat B = 30^\circ \) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC Suy ra: ∆ACD cân tại C Mà \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) Suy ra: ∆ACD đều \( \Rightarrow \) AC = AD = DC và \(\widehat {{A_1}} = 60^\circ \) \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) Trong ∆ADB ta có: \(\widehat {{A_2}} = \widehat B = 30^\circ \) Suy ra: ∆ADB cân tại D (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau) \( \Rightarrow \) AD = DB Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC Vậy \(AC = {1 \over 2}BC\) Câu 10 trang 37 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng định lý “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” theo gợi ý sau: Cho tam giác ABC có \(\widehat B > \widehat C\) a) Có thể xảy ra AC < AB hay không ? b) Có thể xảy ra AC = AB hay không ? Giải
a) Nếu AB > AC thì \(\widehat C > \widehat B\) (góc đối diện với cạnhlớn hơn là góc lớn hơn) Điều này trái với giả thiết \(\widehat B > \widehat C\) b) Nếu AB = AC thì ∆ABC cân tại A. \(\Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) Điều này trái với giả thiết \(\widehat B > \widehat C\) Vậy: \(\widehat B > \widehat C\) thì AC > AB Giaibaitap.me Page 25
Câu 11 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho hình sau. So sánh độ các độ dài AB, AC, AD, AE.
Giải Điểm C nằm giữa B và D nên BC < BD (1) Điểm C nằm giữa B và E nên BD < BE (2) Vì B, C, D, E thẳng hàng. Từ (1) và (2) suy ra BC < BD < BE \(AB \bot BE\) Suy ra: AB < AC < AD < AE. Câu 12 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho hình bên. Chứng minh rằng MN < BC
Giải Nối BN Vì M nằm giữa A và B nên AM < AB $$NA \bot AB$$ Suy ra: NM < NB (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (1) Vì N nằm giữa A và C nên AN < AC $$BA \bot AC$$ Suy ra: BN < BC (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MN < BC. Câu 13 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không có cắt cạnh BC hay không? Vì sao? Giải
\(AH \bot BC\) \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) \(HB = HC = {{BC} \over 2} = 6\left( {cm} \right)\) \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) \(\eqalign{ & A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \cr & A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} \cr & A{H^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \cr & AH > 0 \Rightarrow AH = 8\left( {cm} \right) \cr} \) Do bán kính cung tròn 9 (cm) > 8 (cm) nên cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC. Gọi D là giao điểm của cung tròn tâm A bán kính 9 cm. Với BC ta có đường xiên AD > AC nên hình chiếu HD < HC do đó D nằm giữa H và C. Vậy cung tròn tâm A bán kính 9cm cắt cạnh BC. Câu 14 trang 38 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF. Giải
Trong ∆ADE ta có \(\widehat {A{\rm{ED}}} = 90^\circ \) Nên AE < AD (1) Trong ∆CFD ta có \(\widehat {CF{\rm{D}}} = 90^\circ \) Nên CF < CD (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta có: AE + CF < AD + CD Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC Vậy AE + CF < AC Giaibaitap.me Page 26
|
