Phương pháp thế là phương pháp phổ biến của giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta rút một ẩn của phương trình 1 hoặc hai rồi thế vào phương trình còn lại để tim ra một ẩn, rồi lại thế ngược lại để tìm ra hệ nghiệm phương trình. Mời các bạn xem hướng dẫn giải chi tiết bài 12
Câu a:
\[\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\]\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =-2-3y & & \\ -19y=21 & & \end{matrix}\right.\]\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{25}{19} & & \\ y=-\frac{21}{19} & & \end{matrix}\right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x - 3.\left[ {2 - 4x} \right] = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x - 6 + 12x = 5\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x + 12x = 5 + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\19x = 11\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\x = \dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = 2 - 4.\dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = - \dfrac{6}{{19}}\end{array} \right.\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \[{\left[\dfrac{11}{19}; \dfrac{-6}{19} \right]}\]
Rút \[x\] từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới, ta có:
\[\left\{ \matrix{ x + 3y = - 2 \hfill \cr 5x - 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr 5\left[ { - 2 - 3y} \right] - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 10 - 15y - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 15y - 4y = 11 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 19y = 21 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr y = - \dfrac{ 21}{ 19} \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3. \dfrac{ - 21}{19} \hfill \cr y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{25}{19} \hfill \cr y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right.\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \[{\left[\dfrac{25}{19}; \dfrac{-21}{19} \right]}\]
Bài 13 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 2
Câu hỏi:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
- \[\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\]; b] \[\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{2}- \dfrac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\]
Lời giải:
- Ta có:
\[\left\{ \matrix{ 3x - 2y = 11 \hfill \cr 4x - 5y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2y = 3x - 11 \hfill \cr 4x - 5y = 3 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = \dfrac{3x - 11}{2}\ [1] \hfill \cr 4x - 5.\dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 \ [2] \hfill \cr} \right.\]
Giải phương trình \[[2]\]:
\[4x - 5.\dfrac{3x - 11}{ 2} = 3\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{8x}{2} - \dfrac{15x - 55}{2} = \dfrac{6}{2}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{8x - 15x + 55}{2} = \dfrac{6}{2}\]
\[\Leftrightarrow 8x - 15x + 55 = 6\]
\[\Leftrightarrow - 7x = 6 - 55\]
\[\Leftrightarrow - 7x = - 49\]
\[\Leftrightarrow x=7\]
Thay \[x=7\] vào phương trình \[[1]\], ta được:
\[y = \dfrac{3.7 - 11}{2}=5\]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \[[7; 5]\].
- Ta có:
\[\left\{ \matrix{ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1 \hfill \cr 5x - 8y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \dfrac{x }{2} = 1 + \dfrac{y}{3} \hfill \cr 5x - 8y = 3 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 + \dfrac{2y}{3} \ [1] \hfill \cr 5{\left[2 + \dfrac{2y}{3} \right]} - 8y = 3 \ [2] \hfill \cr} \right.\]
Giải phương trình \[[2]\], ta được:
\[5{\left[2 + \dfrac{2y}{3} \right]} - 8y = 3 \]
\[ \Leftrightarrow 10 + \dfrac{10y}{3} -8y =3 \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{30}{3} +\dfrac{10y}{3} - \dfrac{24y}{3} = \dfrac{9}{3}\]
\[ \Leftrightarrow 30+ 10y -24y=9\]
\[ \Leftrightarrow -14y=9-30\]
\[ \Leftrightarrow -14y=-21\]
\[ \Leftrightarrow y=\dfrac{21}{14}\]
\[ \Leftrightarrow y= \dfrac{3}{2}\]
Thay \[y= \dfrac{3}{2}\] vào \[[1]\], ta được:
\[x = 2 + \dfrac{2. \dfrac{3}{2}}{3}=2+\dfrac{3}{3}=3.\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ {\left[\dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} ; \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \right]}\]