Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số \[y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left[ m+25 \right]x-1\] đồng biến trên khoảng \[\left[ 1;+\infty \right]\].
- A. 8
- B. 10
- C. 11
- D. 9
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\].
Ta có \[{y}'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m+25\].
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ 1;+\infty \right]\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x>1\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m+25\ge 0, \forall x>1\]
\[\Leftrightarrow m\ge -4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25, \forall x>1\].
Xét hàm số \[f\left[ x \right]=-4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25\], với x>1.
\[{f}'\left[ x \right]=-12{{x}^{2}}+24x\]. \[{f}'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow -12{{x}^{2}}+24x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\]
Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: \[m\ge -4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25,\,\forall x>1\Leftrightarrow m\ge -9\]
\[\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}{x^4} + mx - \dfrac{3}{{2x}}\\ \Rightarrow y' = {x^3} + m - \dfrac{3}{2}.\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}} = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}}\end{array}\]
Để hàm số đồng biến .
\[ \Leftrightarrow {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{[0; + \infty ]} \left[ { - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}}} \right]\]
Dùng máy tính cầm tay, chức năng TABLE [Mode + 7]
Nhập \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = - {x^3} - \dfrac{3}{{2{x^2}}}\\g[x]:bo\,\,qua\\Start:0\\End:5\\Step\dfrac{5}{{19}}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow Max = - 2,52\]
Theo đánh giá trên \[m \ge Max \Rightarrow m \ge - 2,52\]
+ Mà \[m\] là số nguyên âm \[ \Rightarrow m = \left\{ { - 1; - 2} \right\}{\rm{.}}\]
Chọn A.
Cách 2:
Xét hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] ta có: \[y' = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\]
Hàm số đã cho đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] \[ \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\\ \Leftrightarrow m \ge - \left[ {{x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right]\,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} \left[ { - \left[ {{x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}} \right]} \right]\end{array}\]
Xét hàm số \[y = - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] ta có:
\[y' = - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}}\] \[ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow - {x^5} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Ta có BBT:
\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} \left[ { - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}} \right] = - \frac{5}{2}\] \[ \Rightarrow m \ge - \frac{5}{2}\]
+] Để hàm số đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right] \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\].
+] Cô lập m, đưa BPT về dạng \[m \ge f\left[ x \right]\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} f\left[ x \right]\].
+] Sử dụng chức năng MODE 7, xác định GTNN của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] và kết luận.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\]. Ta có \[y' = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} = \dfrac{{2{x^5} + 2m{x^2} + m}}{{2{x^2}}}\].
Để hàm số đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right] \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right] \Leftrightarrow 2{x^5} + 2m{x^2} + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\].
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^5} + m\left[ {2{x^2} + 1} \right] \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right] \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{ - 2{x^5}}}{{2{x^2} + 1}} = f\left[ x \right]\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} f\left[ x \right]\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = \dfrac{{ - 2{x^5}}}{{2{x^2} + 1}}\] trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\], sử dụng MTCT ta có \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} f\left[ x \right] = f\left[ 0 \right] = 0 \Rightarrow m \ge 0\].