Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để 2 4 2 fxfmxx 1 2 2 có nghiệm

Tập xác định D = R.

Ta có \(y = 4{x^3} 12{x^2} + m + 25\).

Hàm số đồng biến trên khoảng\(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y \ge 0,\forall x > 1\)

\(\Leftrightarrow 4{x^3} 12{x^2} + m + 25 \ge 0\)\(\forall x > 1\)

\( \Leftrightarrow m \ge 4{x^3} + 12{x^2} 25\), \(\forall x > 1\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + 12{x^2} 25\), với x > 1.

\(f\left( x \right) = 12{x^2} + 24x\).

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} + 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m \ge 4{x^3} + 12{x^2} 25,\,\forall x > 1\)\( \Leftrightarrow m \ge 9\).

Vì m nguyên âm nên \(m \in \left\{ { 9;\, 8;\, 7;\, 6;\, 5;\, 4;\, 3;\, 2;\, 1} \right\}\).

Vậy có 9 giá trị nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).