10:11:2527/02/2019
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.
• xem thêm: Các dạng toán về phương trình đường trònI. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng [d], vectơ
* Nhận xét: Nếu
b] Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Định nghĩa
- Phương trình [d]: ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là [a2 + b2 ≠ 0] là phương trình tổng quát của đường thẳng [d] nhận
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
- [d]: ax + c = 0 [a ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Oy
- [d]: by + c = 0 [b ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Ox
- [d]: ax + by = 0 [a2 + b2 ≠ 0]: [d] đi qua gốc toạ độ.
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên [d] đi qua A [a;0] B[0;b] [a,b ≠ 0]
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng].
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
a] Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng [d], vectơ
* Nhận xét: Nếu
b] Phương trình tham số của đường thẳng:
* có dạng:
* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M[x;y] ∈ [d].
- Nếu điểm M[x;y] ∈ [d] thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
- 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số [vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số].
c] Phương trình chính tắc của đường thẳng
* có dạng:
d] Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A[xA;yA] và B[xB;yB] có dạng:
+ Nếu:
+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA
+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA
e] Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
- Cho điểm M[x0;y0] và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng [d1]: a1x + b1y + c1 = 0; và [d2]: a2x + b2y + c =0;
+ d1 cắt d2 ⇔
+ d1 // d2 ⇔
+ d1 ⊥ d2 ⇔
* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:
- Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
- Hai đường thẳng // nhau nếu:
- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:
II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng [d] biết [d]: đi qua điểm M[1;2] và có VTPT
* Lời giải: Vì [d] đi qua điểm M[1;2] và có VTPT
⇒ PT tổng quát của đường thẳng [d] là: 2[x-1] - 3[y-2] = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ pháp tuyến n
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d] đi qua điểm M[-1;2] và có VTCP
* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M [1 ;-2] và có vtcp là
⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng:
a] đi qua M[3;2] và //Δ:
b] đi qua M[3;2] và //Δ: 2x - y - 1 = 0
* Lời giải:
a] Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ PT đường thẳng [d] là:
b] đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là
⇒ PT [d] đi qua điểm M[3;2] và có VTPT
2[x-3] - [y-2] = 0 ⇔ 2x - y -4 = 0
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d]:
a] đi qua M[-2;3] và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0
b] đi qua M[4;-3] và ⊥ Δ:
* Lời giải:
a] Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là
vì [d] vuông góc với Δ nên [d] nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒
⇒ PT [d] đi qua M[-2;3] có VTCP
b] Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ Vậy [d] đi qua M[4;-3] có VTPT
2[x-4] - [y+3] = 0 ⇔ 2x - y - 11 = 0.
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A[1;2] và B[3;4].
* Lời giải:
- Vì [d] đi qua 2 điểm A, B nên [d] có VTCP là:
⇒ Phương trình tham số của [d] là:
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
- [d] có dạng: y = k[x-x0] + y0
Ví dụ: Viết PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3;
* Lời giải:
- PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k[x-x0] + y0
⇒ Vậy PTĐT [d] là: y = 3[x+1] + 2 ⇔ y = 3x + 5.
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k
Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT [d] vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A[3;-1] và B[5;3]
* Lời giải:
- [d] vuông góc với AB nên nhận
- [d] đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ:
xi = [xA+xB]/2 = [3+5]/2 = 4;
yi = [yA+yB]/2 = [-1+3]/2 = 1;
⇒ toạ độ của I[4;1]
⇒ [d] đi qua I[4;1] có VTPT [2;4] có PTTQ là:
2[x-4] + 4[y-1] = 0
⇔ 2x + 4y -12 = 0
⇔ x + 2y - 6 = 0.
» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước
- [d] đi qua M[x0;y0] và tạo với Ox 1 góc ∝ [00