Cách về tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

Giải thích các bước giải:

a. Vì BE, CF là đường cao của $\Delta ABC\to BE\perp AC, CF\perp AB$ 

$\to \widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

Tứ giác $AEHF$ có:

$\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{AEF}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối đỉnh

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính (AH)

Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

Đỉnh F, E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc $90^o$ nên $\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính (BC)

b. Từ câu a $\to\widehat{FEB}=\widehat{FCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF của (BC))

$\widehat{FCB}=\widehat{NCB}=\widehat{NMB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung NB của (O))

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{FEB}=\widehat{NMB}$ mà chúng ở vị trí đồng vị

$\to MN//EF$

c. Kẻ $At$ là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{tAB}=\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

$\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ (vì $BCEF$ nội tiếp, hai góc cùng bù với $\widehat{EFB}$)

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{tAB}=\widehat{AFE}$ mà chúng ở vị trí so le trong

$\to At//EF$

Do $At\perp AO$ (do cách dựng $At$ là tiếp tuyến của (O))

$\to EF\perp AO$.

Câu hỏi: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)3) Chứng minh OA vuông góc với MN.4) Cho biết \(AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) đường thẳng qua \(I\) vuông góc với \(AO\) và cắt cạnh \(AC\) tại\(J.\) Chứng minh bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,J,\,\,I\) cùng thuộc một đường tròn.

Đã gửi 21-02-2016 - 07:26

gọi L là trung diểm BF và  là trung diểm AC thì ta có CL=CM suy ra L dx M qua IC, tương tự, gọi J,G là trung diểm của FC,AB thì J dx G qua IB,

mà GM= và // LJ nên GJ cắt LM taị trung diểm mỗi dường, tức là LM,GJ,IB,IC dồng quy tại I, suy ra IL // EF

mà I  là trung diểm của KE,L là trung diểm BF nên IL//EF//KB suy ra  $ \widehat{BKI}=180^o-\widehat{KEF}=180^o-\widehat{ICF}$ suy ra tứ giác BKIC nội tiếp, cmtt tứ giác BIHC nt, suy ra dpcm