Cho biểu thức
P[x] = [2x+1x]+[2x+1x]2+[2x+1x]3+...+[2x+1x]20
Tìm hệ số chính xác của số hạng không chứa trong khai triển và rút gọn biểu thức P[x].
[Trích bài 7, Kỳ thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính tỉnh Thừa Thiên Huế, lớp 12, năm học 2010 - 2011]
Giải trên máy fx - 570 ES
Theo khai triển của nhị thức Newton, hệ số của số hạng không chứa x trong [2x+1x]n là
Cnk.2k.x2k-n khi n = 2k ⇔k=n2.[n chẵn]
Do đó, hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn của P[x] là:
2C21+22C42+...+210C2010
Ghi vào màn hình:
∑x=110 2x× [2X]C[X]
Ấn =, ta được kết quả: 217886108.
“Theo sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO FX-570MS”
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
BÙI THẾ VIỆT
đáp án chính xác và nhanh nhất. Cách làm trên sẽ vô cùng khó khăn khi xét các biểu
thức lớn như tìm hệ số
của
Bắt kịp xu thế, tôi [Bùi Thế Việt] mạnh dạn đưa phương pháp mà mình tự nghĩ ra chia
sẻ cho bạn đọc để giải quyết bài toán một cách khoa học hơn.
n
t t 1 t 2
t t 1 t 2 1 0
f x a x a x a x ... a x a
Hướng dẫn : Hệ số
được tính bằng :
t t 1 t 2 0
1
k k k k
k
m
t t 1 t 2 1 0
t t 1 t 2 0
n!
x .a a a ...a a
k !k !k !...k !
Với
thỏa mãn :
0 1 2 t
1 2 3 t
k k k ... k n
k 2k 3k ... tk m
Nhận xét : Công thức trên có vẻ gây khó hiểu cho bạn đọc khi nhìn nó lần đầu tiên.
Tuy nhiên, hãy thử xem một vài ví dụ dưới đây để biết những gì nó mang lại như thế
nào …
sau khi khai triển của biểu thức :
Hướng dẫn : Với
, ta có hệ phương trình sau :
0 1 0
11
k k 10 k 3
k 7 k 7
Vậy
.
Hệ số của
là
0
1
k3
k
77
10
10! 10!
x 2 3 2 3 414720
k !k ! 7!3!
Kết luận : Hệ số của
là
sau khi khai triển của biểu thức :
Hướng dẫn : Với
, ta có hệ phương trình sau :
0 1 2
12
k k k 9
k 2k 6
Vậy
2 1 0
k ,k ,k 0,6,3 ; 1,4,4 ; 2,2,5 ; 3,0,6
. Hệ số của
là :