Các chuỗi đặc biệt của toán cao cấp năm 2024
Students also viewed
Related documents
Preview textCHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT CHUỖI4. Chuỗi số Show
Cho dãy số thực u u 12 , ,..., ,... un. Tổng vô hạn 12 1 ... ni ... i u u u u được gọi là một chuỗi số. Tổng n số hạng đầu tiên 12 1 ...n n n i i S u u u u , gọi là tổng riêng thứ n.Định nghĩa. Nếu lim n n SS ta nói chuỗi 1 i i u hội tụ và có tổng là S, ký hiệu1 i i uS .Ngược lại chuỗi gọi là phân kỳ. Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi 1 1n nn ( 1) .Giải 1 1 1lim lim ... 1 2 ( 1) n n S nn 1 1 1 1 1 1lim ... 1 2 2 3 nn 1 11lim 1 11 n . Vậy 1 11n nn ( 1) .Chuỗi hình học 0 1,n 1 n qq q ; phân kỳ khi q 1.Nếu q 1 thì 1 k n nk q q q .0 13n n hội tụ;0 53n n phân kỳ.Ví dụ. Tính tổng chuỗi 1.1 34n n 2.1 43n n 3.1 43n n 4.1 13n n 5.12 1 234nn n n 6.1 1 223n n n 7.21 4 2 2 ( 1)3nn n n 8.1 23 1 ( 1) 32nn n n 9.1 2 2 2 ( 1)3nn n n 10.21 21 2 5 ( 1)3nn n n 11.1 21 2 342n n n 12.3 2 2 2 ( 1)3nn n n Giải 1.1 33434 314n n
1 43n n phân kỳ3.11 14134 4. 233113nn nn 4.1 111334113n n 5.12 11 2 3 1 32. 9.4 2 4nn nn n nn 11 132924nn nn 13242. 9.131124 2 9 296.1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3n n n n n n n n n n n n 11 2 1 1 23 3 3 3n n nn 122133..331211331 2 13 3 3 Chuỗi 1 2n nn 1 , 312 1n n cùng hội tụChuỗi 1 2n n 1 , 102 1n n cùng phân kỳVí dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi 1.2 1 21 n 38 n n 2.5 1 71 n 51 n n 3.2 2 1 35 n ( 1) n n n n 4.2 1 1 n ln n nn 5.2 1 21 n 51 n n 6.3 1 21 n 1 n nn Tiêu chuẩn Cauchy. Cho chuỗi số dương an , giả sửlim n n n a .Nếu 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.Tiêu chuẩn D’Alembert. Cho chuỗi số dương an , giả sử1 lim n n n a a .Nếu 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.Ví dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi 1.1 121n n n n 2.2 2 1 2 2 15 2 1n n nn nn 3.2 3 1 1 n n n n 4.21 1 31n n n n Hướng dẫn 1.1 121n n n n .Tiêu chuẩn Cauchy 1lim lim 112 1 2 1lim 1 2 n n n n n n n nn n a n .Nên chuỗi hội tụ. 2.2 2 1 2 2 15 2 1n n nn nn .Tiêu chuẩn Cauchy 22 22 2lim lim 2 2 1 2 2 15 2 1im 1 2 1 55 l n n n n n n n n n n n nn a nn .Nên chuỗi hội tụ. 3.2 3 1 1 n n n n Tiêu chuẩn Cauchy 22 33 11lim lim n lim 0 1 n n n n n n nn a nn .Nên chuỗi hội tụ. 4.21 1 31n n n n Tiêu chuẩn Cauchy 21 21 1 lim lim lim 1 1 3 1 93 n n n n n n n n n nn a nn .Nên chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn D’Alembert. Cho chuỗi số dương an, giả sử 1 lim n n n a a .Nếu 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.Ví dụ. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi 1.1 5 51 n n 2.1 2 73 n n n 3.1 1 3 n n n 4.1 ( 2)! 3 n n n Hướng dẫn
1 5 51 n n , ta có11 55 5 1 5 1 unn nn,u ,1 1 1 5 51 5 1 1 lim lim lim 1 5515 51 n n n n n n n n n u u chuỗi hội tụ. 2.1 2 1 7 n n n u lim u chuỗi hội tụ
1 1 3 n n n có11 12 33 nnnn nn u ,u , 1 1 1 2 3 2 3 2 . 131 3( 1) 3 n n n n n n n u nn u n n n 1 1 1 3 n n n u lim u chuỗi hội tụ.
1 ( 2)! 3 n n n cóChuỗi đan dấu 1 ( 1)n n n a , thỏa {}n a là dãy giảm, lim 0 n n a thì chuỗi hội tụ. Ví dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi 1.0 ( 1)n n n 2.2 0 ( 1)n n n 3.0 1( 1)n n n 4.3 0 2 ( 1)n n n 5. 2 3 1 1 1 n 2 n n n 6. 1 1 n n n n 7. 21 ) 21 ( 1 1 n n n n 8.2 1 1 ( 1) 5 n n n n Giải 1.0 ( 1)n n n có1n a n là dãy giảm và lim lim 10n nn a n nên chuỗi 0 ( 1)n n n hội tụ.2.2 0 ( 1)n n n có 21an n là dãy giảm và 2 lim lim 1n 0 nn a n nên chuỗi 2 0 ( 1)n n n hội tụ.Định nghĩa.
a gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗin a hội tụ.Ví dụ. 1.n a =2 0 ( 1)n n n , có chuỗi an = 20 1n n 3 0 ( 1)n n n ; 40 ( 1)n n n hội tụ tuyệt đối.
a hội tụ, chuỗin a phân kỳ thì chuỗin a gọi là bán hội tụ.1.0 ( 1)n n n hội tụ theo Leibniz; chuỗi0 1n n phân kỳ nên chuỗi0 ( 1)n n n bán hội tụ.0 1( 1)n n n ; 30 2( 1)n n n bán hội tụ.Định lý 4. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Ví dụ. Xét tính hội tụ, hội tụ tuyệt đối của các chuỗi sau 1.1 1 1( 1)n n n 2.1 1 1( 1)21n n n 3.1 3 1 1( 1)1n n n 4.1 2 1 1( 1)n n n Hướng dẫn 1.1 1 1( 1)n n n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz,1 11 11( 1)n nnnn phân kỳ. Chuỗi bánhội tụ. 2.1 1 1( 1)21n n n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz,1 11 11( 1)2 1 2 1n nnnn phân kỳ. Chuỗi bán hội tụ. 3.1 3 1 1( 1)1n n n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz,1 33 11 11( 1)11n nnnn phânkỳ. Chuỗi bán hội tụ. 4.1 2 1 1( 1)n n n hội tụ tuyệt đối vì chuỗi1 22 11 11( 1)n nnnn hội tụ. Tiêu chuẩn Cauchy. Cho chuỗi số bất kỳ n a , đặtlim n n n a .Nếu 1 thì chuỗi hội tụ (tuyệt đối). Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.Ví dụ. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi 2 0 21( 1)n n n n n Hướng dẫn 21 1 2 2 1 11 11 lim lim lim lim 1 n n n n n n n n n n n n nn e nn a n Nên chuỗi phân kỳ. Tiêu chuẩn D’Alembert. Cho chuỗi số bất kỳ n a , đặt1 lim n n n a a .Nếu 1 thì chuỗi hội tụ (tuyệt đối). Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.4. CHUỖI LŨY THỪAĐịnh nghĩa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng 0 ni , n n aax .Định lý 4. Với mọi chuỗi lũy thừa 0 n n n a x , tồn tại số R, ( 0 R ) sao cho chuỗi0 n n n a x hội tụ tuyệt đối khi xR , phân kỳ khi xR .
Định lý. Cho chuỗi lũy thừa n axn , giả sửlim n n n a hoặc 1 lim n n n a a thì bán kính hội tụ 1R. Khoảng hội tụ là ( RR , ). Ví dụ. Tìm miền hội tụ của chuỗi 1.1 3n n x 2.2 1 n n x n 3.1 (5 1)!n n x n 4.1 ( 1).n n n n x n 5.1 3n n x n 6.1 n n n x n 7.1!n n x n 8.2 1 1n n n n x n 9.1.n n n x n 10.2 1. n n n x n 11.2 1 ( 1).n n n x n 12.2 1 ( 1)3n n x nn Hướng dẫn 1.1 3n n x ,13 an n Ta có 1 1 1lim lim lim 3 3 3 n n n n n n n a Bán kính hội tụ 1R 3, khoảng hội tụ ( 3;3) Tại x 3 ta có 1 1n n phân kỳTại x 3 ta có 1 ( 1)n n phân kỳVậy miền hội tụ là ( 3;3). 2.2 1 n n x n , 21an n Ta có 22 11lim n n lim n lim 1 n n n n a n n Bán kính hội tụ 1R 1, khoảng hội tụ ( 1;1) Tại x 1 ta có 2 1 1n n hội tụTại x 1 ta có 2 1 ( 1)n n n hội tụVậy miền hội tụ là [ 1;1]. 5.113 (3 )n n n nn xx nn ,1(3 )n n a n Ta có 11lim lim lim 0 3 3 n n n n n n n a n n Bán kính hội tụ 1R , miền hội tụ ( ; ) 6.1 n n n x n Ta có 11lim n lim n lim 0 n n n n n a nn Bán kính hội tụ R , miền hội tụ ( ; ) 7.1!n n x n Ta có 1 1( 1)!! 1.2... 1lim lim lim lim lim 0 1 ( 1)! 1.2... .( 1) 1 !n n n n n n n a n nn a n n n n n Bán kính hội tụ R , miền hội tụ ( ; ) 9.1.n n n x n Ta có 1 1 1lim lim lim 333 n n n n n n n n a n n Bán kính hội tụ R 3 , khoảng hội tụ ( 3;3) Tại x 3 ta có 11 31.n n nnnn phân kỳTại x 3 ta có 11 ( 3) ( 1).nn n nnnn hội tụVậy miền hội tụ là [ 3; 3) |