Các bài toán chứng minh quy nạp lớp 11 năm 2024

1. Để chứng minh một mệnh đề P[n] là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Xem lời giải

1. Để chứng minh một mệnh đề P[n] là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bài toán

Gọi \[P\left[ n \right]\] là một mệnh đề chứa biến \[n\left[ {n \in {N^*}} \right]\]. Chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với mọi số tự nhiên \[n \in {N^*}\].

Quảng cáo

Phương pháp quy nạp toán học

- Bước 1: Chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = 1\].

- Bước 2: Với \[k\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = k \ge 1\], chứng minh \[P\left[ n \right]\] cũng đúng khi \[n = k + 1\].

Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với mọi \[n \ge p\] với \[p\] là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = p\].

- Bước 2: Với \[k \ge p\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = k\], chứng minh \[P\left[ n \right]\] cũng đúng khi \[n = k + 1\].

Ví dụ: Chứng minh \[{n^7} - n\] chia hết cho \[7\] với mọi \[n \in {N^*}\].

Giải:

Đặt \[P\left[ n \right] = {n^7} - n\].

- Với \[n = 1\] thì \[P\left[ 1 \right] = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\] nên \[P\left[ 1 \right]\] đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với \[n = k \in {N^*}\], tức là \[P\left[ k \right] = \left[ {{k^7} - k} \right] \vdots 7\].

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \[n = k + 1\], tức là: \[P\left[ {k + 1} \right] = {\left[ {k + 1} \right]^7} - \left[ {k + 1} \right] \vdots 7\]

Ta có: \[{\left[ {k + 1} \right]^7} - \left[ {k + 1} \right]\] \[= C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4}\] \[+ C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left[ {k + 1} \right]\]

\[= {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3}\] \[+ 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1 \] \[= \left[ {{k^7} - k} \right] + 7\left[ {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right]\]

Do \[[{k^7} - k] \vdots 7\] và \[7\left[ {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right] \vdots 7\] nên \[P\left[ {k + 1} \right] = {\left[ {k + 1} \right]^7} - \left[ {k + 1} \right] \vdots 7\].

Bài viết Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học.

Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học [hay, chi tiết]

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P[n] = Q[n] [hoặc P[n] > Q[n]] đúng với n ≥ n0, n0 ∈ N* ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P[n0],Q[n0] rồi chứng minh P[n0 ]= Q[n0]

Bước 2: Giả sử P[k] = Q[k] ; k ≥ n0, k ∈ N*, ta cần chứng minh P[k+1] = Q[k+1].

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= [n[n+1]]/2

Đặt P[n] = 1+2+3+...+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên :

Ta cần chứng minh P[n] = Q[n] n ≥ 1 ,n ∈ N*.

Bước 1: Với n = 1 ta có P[1] = 1, Q[1] = 1

⇒ P[1] = Q[1] = 1đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử P[k0 = Q[k] với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:

Ta cần chứng minh P[k+1] = Q[k+1], tức là:

Thật vậy:

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.

Quảng cáo

Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2

♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1

Suy ra đẳng thức đã cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:

1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k2 [1]

Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là:

1 + 3 + 5 + ... + [2k - 1] + [2k + 1] = [k + 1]2 [2]

Thật vậy: VT[2] = 1 + 3 + 5 + ... + [2k - 1] + [2k + 1]

\= k2 + [2k + 1] = [k + 1]2 = VP[2]

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n = 1.

Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức:

♦ Với n = 1 ta có đẳng thức đã cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng.

⇒ Đẳng thức đã cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1 , tức là :

Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :

Thật vậy, ta có :

Ta chứng minh:

⇔ [2k+1][2k+3] < [2k+2]2

⇒ 3 > 1 [luôn đúng]

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số học và hình học

Quảng cáo

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP

⇒ Đẳng thức đã cho đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

Thật vậy:

⇒ [1] đúng đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức:

|sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I

Lời giải:

Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức đã cho đúng

Gợi ý:

* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức đã cho đúng.

* Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| [1]

Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1,tức là :

|sin⁡[k+1]α| ≤ [k+1]|sinα| [2]

Thật vậy:

Vậy đẳng thức đã cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức đã cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A[n]=7n+3n-1 luôn chia hết cho 9

Lời giải:

* Với n=1 ⇒ A[1]=71+3.1-1=9 ⇒ A[1]chia hết cho 9

* Giả sử A[k]chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A[k+1]chia hết cho 9

Thật vậy:A[k+1]=7k+1+3[k+1]1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A[k+1]=7A[k]-9[2k-1]

Vì A[k] chia hết cho 9 và 9[2k-1] chia ết cho 9 nên A[2k+1] chia hết cho 9

Vậy A[n] chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Quảng cáo

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi [n ≥ 1] bằng [n-2]180º.

Lời giải:

* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º

* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. [k-1]180ºvà [n-k-1]180º

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là [k-1+n-k-1]180º=[n-2]180º.

Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3..

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học
• Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số
• Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số
• Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
• Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
• Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee Tết:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.