Bài tập về cực trị hàm số nâng cao năm 2024
|
Bản quyền thuộc về ABC Technology JSC. Mã số doanh nghiệp 0317211440, do Sở Kế hoạch và Đầu tư TP. Hồ Chí Minh cấp ngày 23/03/2022. Phiên bản thử nghiệm chờ cấp phép của bộ Thông Tin Truyền Thông. Show
Phần Cực trị của hàm số Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Cực trị của hàm số hay nhất tương ứng. Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp ánBài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Cách tìm cực trị của hàm sốA. Phương pháp giải & Ví dụPhương pháp giải1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0. Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. 2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0. Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Minh họa bằng bảng biến thiến Chú ý. Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) . Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2. Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔. Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2. Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = Hướng dẫn Tập xác định D = R\{2}. Tính Bảng biến thiên Vậy hàm số đã cho không có cực trị. Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểmA. Phương pháp giải & Ví dụPhương pháp giảiTrong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước. Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số . Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không? Ví dụ minh họaVí dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y'=3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ ⇔ m = 1. Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 - (m2 + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. y' = -3x2 + 2(m + 3)x - (m2 + 2m) ; y'' = -6x + 2(m + 3). Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2. Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1 . Hướng dẫn Tập xác định D = R. Ta có y' = 4x3 -4(m + 1)x. + Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0 + Với m = 0 ⇒ y' = 4x3 - 4x ⇒ y'(1) = 0. + Lại có y'' = 12x2 - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0. ⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn. Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. Biện luận theo m số cực trị của hàm sốA. Phương pháp giải & Ví dụPhương pháp giải1. Cực trị của hàm số bậc ba Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0. y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị. Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị. Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 - 3ac > 0 2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔ (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0. (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu. Hướng dẫn y' = 3x2 + m. Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'= 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0. Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x3 - mx - 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị? Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 3(m - 2)x2 - m. Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x2 - m = 0 (1). + TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị. + TH2: Xét m ≠ 2 Hàm số có cực trị khi Δ'> 0 ⇔ m(m - 2) > 0 ⇔ Vậy m > 2 ∨ m < 0. Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 - m2 x2 + 2016 có 3 điểm cực trị? Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 4mx3 - 2xm2. Để hàm số có 3 điểm cực trị khi Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
