Sách giải toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 4: Từ đồ thị [H.1, H.2] hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [[-π]/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng [-∞; +∞].
Lời giải:
– Hàm số y = cosx trên đoạn [[-π]/2; 3π/2]:
Các khoảng tăng: [[-π]/2,0], [π, 3π/2].
Các khoảng giảm: [0, π ],.
– Hàm số y = |x| trên khoảng [-∞; +∞]
Khoảng tăng: [0, +∞]
Khoảng giảm [-∞, 0].
- y = -x2/2 [H.4a] b] y = 1/x [H.4b]
Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.
Lời giải:
Lời giải:
Xét hàm số y = x3 có đạo hàm y’ = 3x2 ≥ 0 với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R. Vậy khẳng định ngược lại với định lý trên chưa chắc đúng hay nếu hàm số đồng biến [nghịch biến] trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương [âm] trên đó.
Bài 1 [trang 9 SGK Giải tích 12]: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
- y = 4 + 3x – x2
- y = x4 – 2x2 + 3
- y = -x3 + x2 – 5
Lời giải:
- Tập xác định : D = R
y’ = 3 – 2x
y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x =
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng [-∞; 3/2] và nghịch biến trong khoảng [3/2 ; + ∞].
- Tập xác định : D = R
y’ = x2 + 6x – 7
y’ = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng [-∞ ; -7] và [1 ; +∞]; nghịch biến trong khoảng [-7; 1].
- Tập xác định: D = R
y’= 4x3 – 4x.
y’ = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x.[x – 1][x + 1] = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng [-∞ ; -1] và [0 ; 1]; đồng biến trong các khoảng [-1 ; 0] và [1; +∞].
Vì ∀x ∈ [0 ; π/2] nên tanx + x ≥ 0 và tanx – x >0 [theo câu a]. Do đó y’ ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; π/2]. Dễ thấy y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; π/2]. Từ đó : ∀x ∈ [0 ; π/2] thì g[x] > g[0] ⇔ tanx – x – x3/3 > tan0 – 0 – 0 = 0 hay tanx > x + x3/3.
\[y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
.png]
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ {- \infty;-1 } \right]\] và \[[0;1].\]
- \[y=\frac{x+1}{x-1}\]
Xét hàm số \[y=\frac{x+1}{x-1}\].
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y' = \frac{{ - 2}}{{{{[x - 1]}^2}}} > 0,\forall \ne 1\]
Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ { 1;+ \infty } \right]\].
2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền
Ví dụ 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=x^3+3x^2+mx+m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Lời giải:
Xét hàm số \[y=x^3+3x^2+mx+m\]
TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
\[y' = 3{x^2} + 6x + m\]
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi \[y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\].
Kết luận: với \[m\geq 3\] thì hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Ví dụ 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y = 2x^3 - 3[2m + 1]{x^2} + 6m[m + 1]x + 1\] đồng biến trong khoảng \[[2; + \infty ]\].
Lời giải:
Xét hàm số \[y = 2x^3 - 3[2m + 1]{x^2} + 6m[m + 1]x + 1\].
TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
\[y' = 6{x^2} - 6[2m + 1]x + 6m[m + 1]\]
\[\Delta = {[2m + 1]^2} - 4[{m^2} + m] = 1 > 0\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\]
.png]
Hàm số đồng biến trong các khoảng \[[ - \infty ;m],\,\,[m + 1; + \infty ]\].
Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \[[2; + \infty ]\] khi \[m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\]
Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng \[\int\limits_{}{} {{{\left[ {ax + b} \right]}^n}dx} = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left[ {ax + b} \right]}{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l} \,\,\,\int\limits_{ - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{\left[ {1 - x} \right]}^2}}}dx} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}{\,\frac{1}{2}} {{{\left[ {1 - x} \right]}{\frac{2}{3}}}dx} \\ = \left. {\frac{1}{{ - 1}}.\frac{{{{\left[ {1 - x} \right]}{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\\= \left. { - 1.\frac{{{{\left[ {1 - x} \right]}{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\ = \left. { - \frac{3}{5}{{\left[ {1 - x} \right]}{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\\= - \frac{3}{5}.\left[ {{{\left[ {\frac{1}{2}} \right]}{\frac{5}{3}}} - {{\left[ {\frac{3}{2}} \right]}^{\frac{5}{3}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}}} \right] \\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^3}{{.3}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{2\sqrt[3]{4}}} - \frac{{3\sqrt[3]{9}}}{{2\sqrt[3]{4}}}} \right] \\= \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}\left[ {3\sqrt[3]{9} - 1} \right]\end{array}\]
Quảng cáo
LG b
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin[\dfrac{\pi}{4}-x]dx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
\[\int\limits_{}^{} {\sin \left[ {ax + b} \right]dx} \]\[ = - \dfrac{1}{a}\cos \left[ {ax + b} \right] + C\]
Lời giải chi tiết:
\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \left[ {\frac{\pi }{4} - x} \right]dx} \]
\[ = - \frac{1}{{ - 1}}\left. {\cos \left[ {\frac{\pi }{4} - x} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\]
\[= \left. {\cos \left[ {\frac{\pi }{4} - x} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\]
\[ = \cos \left[ { - \frac{\pi }{4}} \right] - \cos \frac{\pi }{4} = 0\]
LG c
\[\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x[x+1]}dx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phân tích: \[\dfrac{1}{{x\left[ {x + 1} \right]}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\] sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \[\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}.\ln \left| {ax + b} \right| + C\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\frac{1}{{x\left[ {x + 1} \right]}} \]
\[ = \frac{{x + 1 - x}}{{x\left[ {x + 1} \right]}} = \frac{{x + 1}}{{x\left[ {x + 1} \right]}} - \frac{x}{{x\left[ {x + 1} \right]}}\]
\[= \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left[ {x + 1} \right]}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \\= \left. {\left[ {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \left. {\ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{3} = \ln \left[ {\frac{2}{3}:\frac{1}{3}} \right] = \ln 2\end{array}\].
LG d
\[\int_{0}{2}x[x+1]{2}dx\]
Phương pháp giải:
Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: \[\int\limits_{}{} {{x^n}dx} = \dfrac{{{x{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,x{\left[ {x + 1} \right]^2} = x\left[ {{x^2} + 2x + 1} \right] \\= {x^3} + 2{x^2} + x\\\Rightarrow \int\limits_0^2 {x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}dx}\\ = \int\limits_0^2 {\left[ {{x^3} + 2{x^2} + x} \right]dx} \\= \left. {\left[ {\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^2 \\= \left[ {\frac{{{2^4}}}{4} + 2.\frac{{{2^3}}}{3} + \frac{{{2^2}}}{2}} \right] - 0\\= \frac{{34}}{3}\end{array}\]
LG e
\[\int_{\frac{1}{2}}{2}\dfrac{1-3x}{[x+1]{2}}dx\]
Phương pháp giải:
Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : \[\dfrac{{1 - 3x}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = \dfrac{A}{{x + 1}} + \dfrac{B}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\] và sử dụng các công thức nguyên hàm:
\[\int\limits_{}^{} {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\]
\[\int\limits_{}^{} {\dfrac{{dx}}{{{{\left[ {ax + b} \right]}^2}}}} = \dfrac{1}{a}\dfrac{{ - 1}}{{ax + b}} + C\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\frac{{1 - 3x}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = \frac{{ - 3x - 3 + 4}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\= \frac{{ - 3\left[ {x + 1} \right] + 4}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\\\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}dx} \\= \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left[ { - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}} \right]dx} \\= - 3\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + 4\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}} \\= - \left. {3\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 - \left. {\frac{4}{{x + 1}}} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= - 3\left[ {\ln 3 - \ln \frac{3}{2}} \right] - 4\left[ {\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right]\\= - 3\ln 2 + \frac{4}{3}\end{array}\]
LG g
\[\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\]
Phương pháp giải:
Cách 1: Chứng minh hàm số \[f\left[ x \right] = \sin 3x\cos 5x\] là hàm số lẻ và áp dụng công thức \[\int\limits_{ - a}^a {f\left[ x \right]dx} = 0\] [Với f[x] là hàm số lẻ, \[a \in R\].
Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Đặt \[f[x] = sin3xcos5x\] ta có:
\[f\left[ { - x} \right] = \sin \left[ { - 3x} \right]\cos \left[ { - 5x} \right] \]\[= - \sin 3x\cos 5x = - f\left[ x \right] \]
\[\Rightarrow \] hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:
\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} = 0\].
Cách 2:
\[\begin{array}{l}\sin 3x\cos 5x \\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {3x + 5x} \right] + \sin \left[ {3x - 5x} \right]} \right] \\= \frac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin \left[ { - 2x} \right]} \right]\\= \frac{1}{2}\left[ {\sin 8x - \sin 2x} \right]\\\Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} \\= \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin 8x - \sin 2x} \right]dx} \\= \frac{1}{2}\left. {\left[ { - \frac{{\cos 8x}}{8} + \frac{{\cos 2x}}{2}} \right]} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}\left[ { - \frac{5}{8} - \left[ { - \frac{5}{8}} \right]} \right] = 0\end{array}\]