VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh hai đường thẳng song song:
Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa a || b. Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đó hiển nhiên xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đó. Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc
cầu [hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba], là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành… để khẳng định hai đường thẳng đó không có điểm chung. Suy ra điều phải chứng minh.
BÀI TẬP DẠNG 1: Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ Song song với CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CB và BD suy ra MN || CD. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên
cạnh AD [QA/QD] và P là giao điểm của CD với mặt phẳng [MNQ]. Chứng minh rằng PQ || MN và PQ || AC.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN || BS, NP || CD, MQ || CD. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A’, B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh A’B’CD là hình bình hành.
Trong [SAB] có AB là đường trung bình của ASAB = AB || AB, AB
= AB. [1] Trong [SCD] có CD là đường trung bình của ASCD = CD || CD, CD = CD. [2] Mà AB || CD, AB = CD. [3]. Từ [1], [2] và [3] » A’B’ || CD và A’B’ = CD. Vậy A’B’C’D’ là hình bình hành.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hình chóp tứ S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: MN || BD. Gọi I là trung điểm của SA. Trong [SAB] có: M là trọng tâm tam giác SAB. N là trọng tâm tam giác SAD. Xét tam giác IBD có: IB = ID = 33 MN || BD.
Bài
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm BC,CD, SB, SD. a] Chứng minh rằng MN || PQ. b] Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC, J thuộc SA. Chứng minh IJ | SM. a] Chứng minh MN || PQ. MN || BD [M N là đường trung bình của ABCD]. và PQ || BD [PQ là đường trung bình của ASBD]. Suy ra MN || PQ. b] I là trọng tâm của AABC. Ta có IJ || SM.
Bài viết Phương pháp, cách chứng minh hai đường thẳng song song có bài tập thuộc chủ đề về wiki giải đáp đang được rất nhiều bạn lưu tâm đúng không nào !! Hôm nay, Hãy cùng HappyMobile.vn tìm hiểu Phương pháp, cách chứng minh hai đường thẳng song song có bài tập trong bài viết hôm nay nha !
Các bạn đang xem bài :
“Phương pháp, cách chứng minh hai đường thẳng song song có bài tập”
Hai đường thẳng song song là một dang bài tập rất quen thuộc và thường gặp đối với các bạn học sinh đặc biệt khối lớp 7. Cùng xem ngay bài viết để tổng hợp lại kiến thức cũng như tham khảo một vài dạng bài tập thường gặp nha!
1. Đường thẳng là gì?
Đường thẳng là một đường dài vô hạn, mỏng cô cùng và thẳng tuyệt đối. Đối với môn toán hình học thì đường thẳng là một khái niệm quen thuộc và có nhiều dạng bài tập liên quan.
Phương pháp, cách chứng minh hai đường thẳng song song có bài tập
Xem thêm: Tìm hiểu hệ điều hành harmonyos 2.0 của Huawei
2. Khái niệm hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.
Minh họa hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng song song a và b được ký hiệu là a // b.
Xem thêm: Sapphire Crystal là gì? Kiến thức cơ bản về mặt kính Sapphire đồng hồ
3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng song song khi có một đường thẳng cắt hai đường thẳng đó tạo thành:
– Hai góc so le trong bằng nhau.
Ký hiệu các góc đối với hai đường thẳng song song
– Hai góc đồng vị bằng nhau.
– Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Xem thêm: iPhone mã VN/A là gì? Có tốt không? Có dùng được ở nước ngoài không?
4. Tính chất hai đường thẳng song song
– Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
– Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau
– Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với hai đường thẳng đó [hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó].
– Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Xem thêm: Tìm hiểu Bluetooth là gì? So sánh các chuẩn Bluetooth thường nhật 2021
5. Tiền đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song
Tiền đề Ơ-clit được phát biểu: “Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó”.
Hình minh họa tiên đề Ơ-clit
6. Cách vẽ hai đường thẳng song song
Để vẽ hai đường thẳng song song, ta vẽ đường thẳng phụ vuông góc với đường thẳng đã cho, sau đó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng phụ đó là ta sẽ được hai đường thẳng song song.
Ví dụ: Để vẽ đường thẳng b song song với đường thẳng a cho trước.
– Bước 1: Ta lấy điểm A trên đường thẳng a, vẽ đường thẳng c đi qua A và vuông góc với đường thẳng a.
– Bước 2: Lấy một điểm C trên đường thẳng c, vẽ đường thẳng b đi qua C và vuông góc với c tại C.
Vẽ hai đường thẳng song song nhờ đường thẳng phụ
7. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp 1. Chỉ ra hai góc so le bằng nhau
– Ta có:
+ Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A.
+ Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại điểm B.
+ Góc so le của hai đường thẳng bằng nhau.
⇒ Hai đường thẳng a và b song song.
Vị trí của hai góc so le trong
Phương pháp 2. Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau
– Ta có:
+ Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A.
+ Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại điểm B.
+ Góc đồng vị của hai đường thẳng bằng nhau.
⇒ Hai đường thẳng a và b song song.
Vị trí của hai góc đồng vị
Phương pháp 3. Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhau
– Ta có:
+ Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A.
+ Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại điểm B.
+ Tổng hai góc trong cùng phía bằng 180 độ.
⇒ Hai đường thẳng a và b song song.
Vị trí của hai góc trong cùng phía bù nhau
Phương pháp 4. 2 đường thẳng cùng ⊥ với đường thẳng 3
Với hai đường thẳng a và b phân biệt, ta có:
– Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c.
– Đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c.
⇒ Hai đường thẳng a và b song song.
a và B cùng vuông góc với c
Phương pháp 5. 2 đường thẳng cùng // với đường thẳng 3
Với hai đường thẳng a và b phân biệt, ta có:
– Đường thẳng a song song với đường thẳng c.
– Đường thẳng b song song với đường thẳng c.
⇒ Hai đường thẳng a và b song song.
b và c cùng song song với a
Phương pháp 6. dùng tiên đề Ơ clit
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Có điểm M nằm trên đoạn thẳng AB ta có:
– MA song song với đường thẳng a.
– MB song song với đường thẳng a.
⇒ Đoạn thẳng AB song song với đường thẳng a.
Tổng quát tiên đề Ơ-clit
8. Bài tập vận dụng về chứng minh hai đường thẳng song song
Bài 1: Hình nào là hai đường thẳng song song? Giải thích.
Hình đề bài 1
Bài giải:
Hình b là hai đường thẳng song song vì theo ký hiệu của hình b ta thấy hai góc so le trong bằng nhau.
Bài 2: Hãy vẽ một đường thẳng m song song với đường thẳng a.
Đề bài tập 2
Bài giải:
– Dùng thước e- ke vẽ đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a.
– Dùng thước e- ke vẽ đường thẳng m vuông góc với đường thẳng b.
Sau khi vẽ ta sẽ có được hình như sau:
Hình vẽ bài giải bài tập 2
Bài 3: Điền vào chỗ ba chấm từ thích hợp.
a. Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là …
b. Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì …
c. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có … đường thẳng song song với đường thẳng đó
d. Để vẽ hai đường thẳng song song, ta vẽ đường thẳng phụ … với đường thẳng đã cho, sau đó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng phụ đó là ta sẽ được hai đường thẳng song song.
Đáp án:
a. Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // b.
b. Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a song song với b.
c. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó
d. Để vẽ hai đường thẳng song song, ta vẽ đường thẳng phụ vuông gốc với đường thẳng đã cho, sau đó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng phụ đó là ta sẽ được hai đường thẳng song song.
Bài 4: Nhận định nào là đúng.
a. Đường thẳng c cùng vuông gốc với đường thẳng a và b thì a và b song song.
b. Góc so le trong của đường thẳng a và b được tạo bởi đường thẳng c là 67 và 76 độ. Vậy a và b song song.
c. Góc đồng vị của đường thẳng a và b được tạo bởi đường thẳng c là 120 và 60 độ. Vậy a và b song song.
d. Góc trong cùng phía của đường thẳng a và b được tạo bởi đường thẳng c là 120 và 60 độ. Vậy a và b song song.
Đáp án:
a. Đúng. Theo phương pháp 4 trên bài viết, ta khả năng thấy nhận định trên là đúng.
b. Sai. Theo phương pháp 1, hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó mới song song.
c. Sai. Theo phương pháp 2, chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó mới bằng nhau.
d. Đúng. Theo phương pháp 3, hai góc trong cùng phía bù nhau [120 + 60 = 180] thì hai đường thẳng đó song song.
Bài 5: Cho hình vẽ sau, hãy chọn đáp án đúng nhất.
Hình minh họa đề bài 5
a. Hai đường thẳng a và b không song song.
b. Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.
c. Hai đường thẳng a và b song song vì có hai góc so le trong bù nhau.
d. Hai đường thẳng a và b song song vì có hai góc so le trong bằng nhau.
⇒ Đáp án D. Theo phương pháp 1 kết hợp với dữ liệu đề cho ta thấy đường thẳng có hai góc so le trong bằng nhau. Mà hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Bài 6: Cho hình vẽ như sau biết số đo của ∠A1 = 108°, ∠B2 = 72°. Chứng minh a // b.
Hình minh họa đề bài 6
Bài giải:
Ta có:
∠B1 + ∠B2 = 180°.
⇔ ∠B1 + 72° = 180°.
⇒ ∠B1 = 180° – 72° = 108°.
Mà ∠A1 = 108° = ∠B1 [ở vị trí so le trong].
⇒ a // b.
Bài 7: Cho hình như trên có tam giác ABC vuông tại B, ∠BCA có số đo là 30°, BE // AC. Hãy tìm số đo ∠DBE.
Bài giải:
Hình minh họa đề bài 7
Ta có BE // AC:
⇒ ∠BCA = ∠EBC = 30° [góc so le trong].
Mà ∠DBE + ∠EBC + ∠CBA = 180°.
⇔ ∠DBE + 30° + 90° = 180°.
⇒ ∠DBE = 180° – 90° – 30° = 60°.
Vậy ∠DBE là 60°.
9. Bài tập tự luyện có đáp án
Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Chứng minh AB // CD.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AD = AE. Chứng minh DE // BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có ∠B = ∠C = 40°. Gọi At là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Chứng minh At // BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = AC. Điểm K là trung điểm của BC. Từ C kẻ đường vuông góc với BC, cắt BA kéo tài tại E. Chứng minh EC // AK.
Bài 5: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. Chứng minh rằng BD // EC.
Bài giải
Bài 1:
Hình vẽ bài giải bài tập 1
Xét tam giác ABM và tam giác DCM ta có:
AM = MD [gt].
∠AMB = ∠DMC [hai góc đối đỉnh].
BM = MC [gt].
⇒ Tam giác ABM = tam giác DCM [cạnh – góc – cạnh].
⇒ ∠ABM = ∠DCM mà hai góc ở vị trí so le trong của AB và CD.
⇒ AB // CD.
Bài 2:
Hình vẽ bài giải bài tập 2
Ta có: AD = AE [gt].
⇒ Tam giác ADE cân tại A.
⇒ ∠ADE = [180° – ∠A]/2 [1].
Mà tam giác ABC cân tại A:
⇒ ∠ABC = [180° – ∠A]/2 [2].
Từ [1] và [2] suy ra ∠ADE = ∠ABC.
Mà hai góc ∠ADE và ∠ABC ở vị trí đồng vị.
⇒ DE // BC.
Bài 3:
Hình vẽ bài giải bài tập 3
Tam giác ABC có góc B = góc C = 40°.
⇒ Tam giác ABC cân tại A.
⇒ ∠BAC = 180° – 2∠ABC [1].
Gọi Am là tia đối của AB.
Với At là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A.
⇒ ∠mAt = ∠tAC.
⇒ ∠BAC = 180° – 2∠mAt [2].
Từ [1] và [2] suy ra, ∠ABC = ∠mAt.
Mà hai góc ∠ABC và ∠mAt ở vị trí đồng vị
⇒ At // BC.
Bài 4:
Hình vẽ bài giải bài tập 4
Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC.
⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Mà AK là đường trung tuyến thì AK cũng là đường phân giác.
⇒ ∠BAK = ∠BAC : 2 = 90° : 2 = 45° [1].
Tam giác BCE vuông tại C có ∠CBA = 45° [Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A].
⇒ ∠BEC = 180° – ∠BCE – ∠CBA = 180° – 90° – 45° = 45° [2].
Từ [1] và [2] suy ra, ∠BAK = ∠BEC.
Mà hai góc ∠BAK và ∠BEC ở vị trí đồng vị.
⇒ EC // AK.
Bài 5:
Hình vẽ bài giải bài tập 5
Ta có BD là tia phân giác của ∠ABC
⇒ ∠ABD = ∠DBC.
⇒ ∠EBC = 180° – ∠ABC – ∠DBC = 180° – 2 ∠ABD [1].
Mà tam giác EBC có BC = BE [gt].
⇒ Tam giác EBC cân tại B.
⇒ ∠BEC = ∠BCE.
⇒ ∠EBC = 180° – ∠BEC – ∠BCE = 180° – 2 ∠BEC [2].
Từ [1] và [2] suy ra, ∠ABD = ∠BEC.
Mai hai góc ∠ABD và ∠BEC ở vị trí đồng vị.
⇒ BD // EC.
10. Một vài lưu ý khi chứng minh 2 đường thẳng song song
– Nắm rõ tính chất, phương pháp giải bài toán chứng chứng minh hai đường thẳng song song.
– Phân biệt rõ ràng giữa các tính chất để tránh bị nhằm lẫn.
– Nhiều làm bài tập để thuộc tính chất cũng như nhạy bén hơn, rèn luyện tư duy tốt hơn.
Hãy nhiều làm bài tập để nhạy bén hơn trong việc giải bài tập
– Nếu có thực hiện tính toán với máy tính cầm tay để tính số đo góc, cần tính toán cẩn thận để tránh bấm nhầm kéo theo sai kết quả.
– Hãy vẽ hình cẩn thận, chính xác để khả năng giải bài tập một cách đơn giản.
Hy vọng các thông tin trong bài viết sẽ giúp bạn nắm rõ kiến thức và làm tốt các bài tập về hai đường thẳng song song. Cám ơn đã theo dõi, hẹn gặp lại ở những bài viết tiếp theo!
Nếu có bắt kỳ câu hỏi thắc mắt nào vê Phương pháp, cách chứng minh hai đường thẳng song song có bài tập hãy cho chúng mình biết nha, mõi thắt mắt hay góp ý của các bạn sẽ giúp mình nâng cao hơn hơn trong các bài sau nha