Bài tập chi tiết tìm giá trị riêng năm 2024
Uploaded byNGA BÙI BÍCH Show
0% found this document useful (0 votes) 1 views 19 pages Copyright© © All Rights Reserved Share this documentDid you find this document useful?Is this content inappropriate?0% found this document useful (0 votes) 1 views19 pages bài tập giải chi tiết giá trị riêng và vecto riêngUploaded byNGA BÙI BÍCH Jump to Page You are on page 1of 19 Search inside document OÍI S Ầ ] BIË S_ ệ _IÇEB XÍ XLDSƭ _IÇEB BI ắ I BI ắ I BI ắ I BI ắ I BI ắ I BI ắ I BI ắ I Reward Your CuriosityEverything you want to read. Anytime. Anywhere. Any device. No Commitment. Cancel anytime. Av k Kết luận : u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng – 7, còn v không là vectơ riêng của ma trận A vì không tồn tại một số thực k nào thỏa Av = kv. 14 .1 Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số Klà giá trịriêng của A nếu và chỉ nếu phương trình thuần nhất ( A I xn ) 0 có nghiệm không tầm thường. Chứng minh: Giả sử K là một giá trị riêng của ma trận A. Khi đó, tồn tại một vectơ khác không uK nsao cho Au u , suy ra ( A I un ) 0 hay u chính là nghiệm của phương trình thuần nhất( A I xn ) 0. Vậy phương trình nhất ( A I xn ) 0 có nghiệm không tầm thường.Ngược lại, nếu phương trình ( A I xn ) 0 có nghiệm không tầm thường uK n thì( A I un ) 0 hay Au u nên u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng . Ví dụ: Cho ma trận vuông 23 36 ####### A ####### và ####### 1 3 3 ####### 3 5 3 ####### 3 3 1 ####### B ####### ####### ####### #######
Giải:
####### 0 3 3 ####### 3 6 3 ####### 3 3 0 ####### BI ####### ####### ####### ####### . Vì det( B - I 3 ) = 0 nên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ( B - I 3 ) x = 0 (1) có nghiệm không tầm thường. Giải hệ phương trình (1): 3 3 2 32 32 1 1 1 12 /( 3) /(3) 3 ####### 0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 1 1 ####### 3 6 3 3 6 3 1 2 1 1 2 1 ####### 3 3 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 ####### 1 2 1 ####### 0 1 1 ####### 000 d d d dd dd d d d dd ####### BI ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào x 3. 1 2 3 xt xt xt ####### ####### ####### ####### Chọn ####### 1 ####### 1 ####### 1 u ####### ####### ####### ####### , khi đó xu là các vectơ riêng của B ứng với giá trị riêng 1 với,0.
####### 13 ####### 3 ####### 33 ####### AI ####### ####### ####### . Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ( A – 3 I 2 ) x = 0 Ta có 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ####### 3 0 3 3 ####### 3 9 0 x x x x x t x x x x t ####### ####### ####### Do đó nếu chọn ####### 3 ####### 1 u thì u là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3.14.1 Hệ quả: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, 0 là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch. Chứng minh: Ta có 0 là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu phương trình Ax ( A 0 ) I xn 0 có nghiệm không tầm thường. Ta đã biết phương trình Ax = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ma trận A không khả nghịch. Do đó 0 là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch. 14.1 Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Giả sử u u 12 , ,..., urlà cácvectơ riêng ứng với các giá trị riêng 12 , ,..., r của ma trận A, khi đó tập { , ,..., } u u 12 ur độc lập tuyến tính. Chứng minh: 14 .2. Đa thức đặc trưng14.2 Định nghĩa: Cho Aa () ij là ma trận vuông cấp n trên K. Xét ma trận vuông 11 12 1 21 22 2 12 ####### ... ####### ... ####### ... n n n n n nn a t a a a a t a A tI a a a t ####### ####### ####### ####### ####### ####### Đa thức f tAn ( ) det( A tI ) K x [ ] được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Phương trình ftA ( ) 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. 14.2 Ví dụ:
####### A ####### là f tA ( ) t 24 t 21
####### 1 3 3 ####### 3 5 3 ####### 3 3 1 ####### B ####### ####### ####### ####### là f tB ( ) t 323 t 4
####### 1 0 1 1 ####### 0 1 1 1 ####### 1 1 1 0 ####### 1 1 0 1 ####### C ####### ####### ####### ####### ####### ####### là f tC ( ) t 44 t 32 t 24 t 3 14 .2 Định lý : Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số Klà giá trịriêng của A nếu và chỉ nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng ftA ( ) 0.Chứng minh: là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu hệ phương trình tuyến tính thuầnnhất ( A I xn ) 0 có nghiệm không tầm thường. Mặt khác hệ phương trình trên có nghiệm khôngtầm thường khi và chỉ khi det( AI n ) 0 hay fA ( ) 0 . Vậy là nghiệm của phương trình đặc trưng_._ Nhận xét: - Muốn xác định các giá trị riêng của ma trận vuông A ta chỉ cần giải phương trình đặc trưng ftA ( ) 0. Nghiệm của phương trình này chính là các giá trị riêng cần tìm.
####### 23 ####### 36 ####### A ####### Giải Đa thức đặc trưng của ma trận A là f tA ( ) t 24 t 21. Giải phương trình đặc trưng ftA ( ) 0 được hai nghiệm là t = 3 và t = - 7. Do đó, ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt là 3 và 7.Với 3 các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 3 là các nghiệm không tầm thường của hệ pt tuyến tính thuần nhất ( A 3 ) I x 3 0 hay 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ####### 3 0 3 3 ####### 3 9 0 x x x x x x x x x ####### ####### ####### ####### . Do đó, u (3 , ) (3,1) là vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng 3 với 0.Không gian vectơ riêng EA (3) { (3,1) |} ứng với giá trị riêng 3. Không gian này có số chiều bằng 1 và vectơ u 1 (3,1) là một cơ sở. Thực hiện các bước tương tự ta cũng xác định được là vectơ riêng ứng với giá trị riêng 7trong đó 0. Không gian vectơ riêng EA ( 7) { (1, 3) | } ứng với giá trị riêng 7. Không gian này có số chiều bằng 1 và vectơ u 2 (1, 3) làm vectơ cơ sở.
####### 1 3 3 ####### 3 5 3 ####### 3 3 1 ####### B ####### ####### ####### ####### . Hãy xác định các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận
####### 01 ####### 10 ####### C ####### ####### ####### . Hãy xác định các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận C trong và trong Giải: Đa thức đặc trưng của ma trận C là f tC ( ) t 21. Phương trình đặc trưng ftC ( ) 0 không có nghiệm trong , nhưng lại có nghiệm i và – i trong. Do đó, nếu K thì ma trận A không có giá trị riêng nào. Nếu K thì ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt là 12 ii ;. Khiđó có các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng 12 ii ; lần lượt là ( , ) a ai và ( , a ai ) vớia .14 .2 Định lý: Mọi ma trận vuông A trên trường số phức đều có giá trị riêng. Chứng minh: Đa thức đặc trưng của ma trận A là f tA ( ) [ ] x. Theo định lý cơ bản của đại số thì phương trình đặc trưng ftA ( ) 0 luôn có nghiệm 0 trong trường số phức. Giá trị 0 chính là giá trị riêng của ma trận A. ####### 11 ####### 01 ####### A ####### và ####### 10 ####### 01 ####### B ####### Nhận thấy A và B có cùng đa thức đặc trưng f tAB ( ) f t ( ) ( t 1) 2. Tuy nhiên A và B không đồng dạng. Thật vậy, nếu A và B đồng dạng thì tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B P AP 1 suy ra A PBP 1 B I 2. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy A và B không đồng dạng. 14 .2 Định lý: (Định lý Caley-Halmilton) Ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng ftA () hay fAA ( ) 0_._ Chứng minh: Giả sử A [ ] aij M Kn ( )và đa thức đặc trưng của A là f ( ) | A I | ( 1) ( n n a 11 n 1 ... ann a ). Gọi B là ma trận phụ hợp của ma trậnAI . Khi đó phần tử dòng i cột j của B là phần bù đại số của phần tử dòng i cột j trong ma trậnAI nên là một đa thức bKij ( ) [ ] với bậc không vượt quá n -1. Vì thế ta có thể viết ma trậnB được dưới dạng B B 1 nn 12 B 2 ... Bnn 1 B với B B 12 , ,..., Bn là các hằng ma trận vuông cấp n. Ta có đẳng thức: ( A I B ) | A I I | (*) Do đó: 1 2 1 (*) ( )( 1 2 ... 1 ) ( 1) ( 1 ... 1 ) n n n n n A I B B Bn Bn a an a In Khai triển rút gọn và đồng nhất hệ tử hai vế theo định nghĩa đa thức bằng nhau ta có: 11 2 2 1 1 1 2 1 ####### ( 1) (0) ####### ( 1) (1) ####### ( 1) (2) ####### ... ####### ( 1) ( 1) ( 1) (n) n nn n n n n n n n n n n a I AB a I AB B I a I AB B I a I AB B I n I B I ####### ####### ####### ####### ####### Nhân bên trái hai vế của đẳng thức (k) với ma trận A kk , 0,..., n , rồi cộng tất cả theo vế ta có, ( 1) ( n An a A 11 n 1 ... a A a Inn ) 0, hay f (A) = 0.■ 14. Chéo hóa ma trận:14 .3 Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ma trận A được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với một ma trận đường chéo. Nhận xét: Ma trận vuông A chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P và một ma trận đường chéo D để A PDP 1. 14.3 Ví dụ:
####### 23 ####### 36 ####### A ####### chéo hóa được vì tồn tại ma trận khả nghịch ####### 31 ####### 13 ####### P ####### và ma trận đường chéo ####### 30 ####### 07 ####### D ####### thỏa mãn A PDP 1.
####### 1 3 3 ####### 3 5 3 ####### 3 3 1 ####### B ####### ####### ####### ####### chéo hóa được vì tồn tại ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D lần lượt là: 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ####### P ####### ####### ####### ####### và ####### 1 0 0 ####### 0 2 0 ####### 0 0 2 ####### D ####### ####### ####### ####### thỏa mãn B PDP 1. 1.4 Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó A chéo hóa được nếu và chỉ nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Hơn nữa, nếu A PDP 1 với D là ma trận chéo thì các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị riêng của ma trận A và các cột của ma trận P là các vectơ riêng tương ứng. Chứng minh : Nếu P là ma trận vuông cấp n với các cột u u 12 , ,..., un và D là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng 12 , ,..., n thì AP A u [ 1 u 2 ... unn ] [ Au 1 Au 2 ... Au ] (1) Và 1 2 1 1 2 2 ####### 0 ... 0 ####### 0 ... 0 ####### ... ####### 0 0 ... nn n PD P u u u ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### (2) Vì A chéo hóa được nên tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A PDP 1. Nhân bên phải hai vế đẳng thức này cho P ta được AP PD . Từ (1) và (2) suy ra [ Au 1 Au 2 ... Aun ] [ 1 1 u 2 2 u ... n nu ] (3) Khi đó các cột tương ứng phải bằng nhau tức là: Au 1 1 1 u Au ; 2 2 2 u ;...; Aun n nu. (4) Vì ma trận P khả nghịch nên các cột u u 12 , ,..., un phải độc lập tuyến tính. Từ (4) suy ra các 12 , ,..., n là các giá trị riêng và u u 12 , ,..., un là các vectơ riêng tương ứng với từng giá trị riêng đó. Ngược lại nếu u u 12 , ,..., un là các vectơ riêng của ma trận A độc lập tuyến tính tương ứng với các giá trị riêng 12 , ,..., n. Đặt P [ u 12 u ... un ] và 1 2 ####### 0 ... 0 ####### 0 ... 0 ####### ... ... ... ... 0 0 ... n ####### D ####### ####### ####### ####### ####### ####### dụng giá trị riêng 2 hai lần. Một lần cho vectơ riêng u 2 và một lần cho vectơ riêng u 3 ứngvới giá trị riêng 2. Do đó ma trận ####### 1 0 0 ####### 0 2 0 ####### 0 0 2 ####### D ####### ####### ####### ####### Do P khả nghịch nên muốn kiểm tra xem hai ma trận P và D có thỏa mãn A PDP 1. Ta có 1 3 3 1 1 1 1 2 2 3 5 3. 1 1 0 1 2 0 3 3 1 1 0 1 1 0 2 ####### AP ####### ####### ####### ####### và ####### 1 1 1 1 0 0 1 2 2 ####### 1 1 0. 0 2 0 1 2 0 ####### 1 0 1 0 0 2 1 0 2 ####### PD ####### ####### ####### ####### Vậy A chéo hóa được.
####### 2 4 3 ####### 463 ####### 3 3 1 ####### B ####### ####### ####### ####### Giải Đa thức đặc trưng của ma trận A là f tA ( ) t 33 t 24 ( t 1)( t 2) 2. Giải phương trình đặc trưng ftA ( ) 0 ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là 1; 2. Khi tìm cơ sở của các không gian riêng EA (1) và EA ( 1) ta được: Cơ sở của EA (1) là 1 ####### 1 ####### 1 ####### 1 u ####### ####### ####### ####### và cơ sở của EA ( 2) là 2 ####### 1 ####### 1 ####### 0 u ####### ####### ####### ####### ####### . Mặt khác mọi vectơ riêng của ma trận A đều là tổ hợp tuyến tính của u 1 hoặc u 2. Do đó, ta không thể tìm được ba vectơ riêng của A để lập thành cơ sở của 3. Vậy ma trận A không thể chéo hóa được (theo định lý 1.3). 14.3 Hệ quả : Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Khi đó nếu A có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Chứng minh: Giả sử 12 , ,..., n là các giá trị riêng phân biệt của ma trận A. Gọi u u 12 , ,..., un là các vectơriêng của A tương ứng với các giá trị riêng 12 , ,..., n. Khi đó { , ,..., } u u 12 un độc lập tuyến tính trong Kn theo định lý 1.1 do đó ma trận A chéo hóa được theo định lý 1.3. Ví dụ: Chứng tỏ ma trận ####### 1 8 3 ####### 0 3 3 ####### 0 0 2 ####### A ####### ####### ####### ####### chéo hóa được Giải Ma trận A là ma trận tam giác trên có 1, - 3, -2 là các giá trị riêng phân biệt. Mặt khác do A là ma trận vuông cấp 3 có 3 giá trị riêng phân biệt nên nó chéo hóa được. Nhận xét: Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Nếu A có n giá trị riêng phân biệt 12 , ,.., n thì các vectơ riêng tương ứng u u 12 , ,..., un độc lập tuyến tính. Khi đó ta lập ma trận khả nghịch P [ u 12 u ... un ] và ma trận đường chéo 1 2 ####### 0 ... 0 ####### 0 ... 0 ####### ... ... ... ... 0 0 ... n ####### D ####### ####### ####### ####### ####### ####### sao cho A PDP 1 hay ma trận A chéo hóa được. Trong trường hợp ma trận A có ít hơn n giá trị riêng phân biệt thì ta vẫn tìm được ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để A PDP 1 , tức là A sẽ chéo hóa được theo định lý sau đây. 1.3 Định lý: Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Giả sử 12 , ,..., rlà các giá trị riêngphân biệt của A và Silà cơ sở của không gian vectơ riêng EAi () với mọi i = 1, 2, ..., r. Khi đó S S 12 S ... Sr độc lập tuyến tính trong Knvà A chéo hóa được nếu và chỉ nếu S chứa n vectơ. Chứng minh Giả sử Si { ; u ui 12 i ;...; uiki }với kEi dim K A ( ) i và i = 1, 2, ..., r. Muốn chứng minh S độc lập tuyến tính, ta giả sử: 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... ... rr 0 r k k r r r r rk rk uu a u a u a u a u a u a u Chú ý rằng ui a u i1 i1 a u i2 i2 ... a uikiiik EA ( ) i do đó ui là vectơ riêng của ma trận A ứngvới giá trị riêng i hoặc ui 0. Do tập các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính nên từ đẳng thức u 12 u ... ur 0 ta suy ra ui 0 với mọi i = 1, 2, ..., r. Do đó, a u i1 i1 a u i2 i2 ... a uikiiik 0. Vì Si là cơ sở của EAi () nên aij 0 với mọi i = 1, 2, .. và j = 1, 2, ..., ki. Vậy S S 12 S ... Sr độc lập tuyến tính trong Kn. Nếu S chứa n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Nhóm các vectơ riêng ứng với giá trị riêng i vào Si. Chú ý rằng SSij với mọi i khác j. Từ đó suy ra, S S 12 S ... Sr chứa n vectơ riêng của ma trận A. 1.3 Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau đây (nếu được) 3. Cho ánh xạ : MM 22 ( ) ( ) xác định bởi ####### 12 ####### () ####### 34 XX ####### Khi đó là một toán tử tuyến tính trên M 2 ().1.4 Định nghĩa : Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vectơ V trên trường K. Mộtphần tử K được gọi là giá trị riêng của nếu tồn tại một vectơ khác không vV sao cho () vv . Khi đó vectơ v được gọi là vectơ riêng của ứng với giá trị riêng .1.4 Ví dụ: 1. Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vectơ V trên trường K. Khi đó phần tử 0 là giá trị riêng của khi và chỉ khi Ker 0. Vì Khi đó v 0 là vectơ riêng của ứng với giá trịriêng 0 khi và chỉ khi v Ker .
1.4 Định lý: Giả sử là một toán tử tuyến tính của không gian vectơ v trên trường K. Khiđó K là giá trị riêng của nếu và chỉ nếu IdV không là đơn ánh.Chứng minh: Nhận xét () vv khi và chỉ khi Id vV 0 với mọi K. Nếu là một giá trị riêngcủa thì tồn tại một vectơ v khác 0 sao cho () vv . Suy ra v Ker () Id , vì v khác 0nên Ker () IdV khác 0 do đó IdV không là đơn ánh. Đảo lại, giả sử IdV không là đơn cấu. Khi đó tồn tại một vectơ v khác 0 sao cho Id vV 0 suy ra () vv . Do đó là một giá trị riêng của và v là vectơ riêng tương ứng.1.4 Định lý: Giả sử là một toán tử tuyến tính của không gian vectơ V trên trường K. Khiđó nếu c là các vectơ riêng của ứng với các giá trị riêng phân biệt 12 , ,..., r thì { , ,..., } v v 12 vr độc lập tuyến tính. Chứng minh: Giả sử { , ,..., } v v 12 vr phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại chỉ số s nhỏ nhất sao cho vs 1 là tổ hợp tuyến tính của các vectơ độc lập tuyến tính v v 12 , ,..., vs hay tồn tại các số k k 12 , ,..., ks K sao cho vs 1 k v 1 1 k v 2 2 ... k vs s. Do vi là các vectơ riêng của toán tử ứng với giá trị riêng i nên () vvi i i với mọi i = 1, 2,..,s. Từ đó ta có ( vs 1 ) k 1 ( ) v 1 k 2 ( ) ... v 2 ks ( ) vs hay s 1 vs 1 k v 1 1 1 k 2 2 2 v ... ks s sv. Suy ra k 1 ( 1 s 1 ) v 1 k 2 ( 2 s 1 ) v 2 ... ks ( s s 1 ) vs 0. Vì tập v v 12 , ,..., vs độc lậptuyến tính nên ki ( i s 1 ) 0 suy ra ki 0, i 1, s. Do đó vs 1 0 , mâu thuẫn với vs 1 0. Vậy { , ,..., } v v 12 vr độc lập tuyến tính. 1.4 Định lý: Cho là một toán tử tuyến tính của không gian vectơ V trên trường K. Giả sử Klà một giá trị riêng của . Khi đó tập V ( ) { V | ( ) v v } là một không gian vectơ con của V. Chứng minh: Do vectơ 0 thuộc V () nên V () . Nếu u v V , ( ) thì ( ) u u ; ( ) v ( ) v. Khi đó, ####### ( ) ( ) ( ) ( ) ####### ( ) ( ) ( ) ( ) u v u v u v u v ku k u k u ku ####### ####### Vậy u + v và k u đều thuộc vào V () với mọi u v V , ( ) và với mọi k thuộc K. Do đóV () là một không gian vectơ con của V. Không gian vectơ con V () được gọi là không gian vectơ riêng của ứng với giá trị riêng. Không gian vectơ riêng V () bao gồm các vectơ riêng của ứng với giá trị riêng và vectơ####### 0. Nhận xét: Nếu dim V = n và có ma trận biểu diễn A theo cơ sở S thìa) là giá trị riêng của khi và chỉ khi là nghiệm của đa thức đặc trưng f t ( ) f tAn ( ) | A tI | của .
c) Ký hiệu [] vS là tọa độ của vectơ v trong cơ sở S. Khi đó là giá trị riêng của khi và chỉkhi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất A v .[ ] SS [ ] v có nghiệm không tầm thường. Tập các nghiệm không tầm thường của hệ này là tọa độ của tất cả các vectơ riêng của ứng với giá trịriêng . Thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng của một toán tử tuyến tính: 1. Tìm ma trận biểu diễn A của toán tử theo một cơ sở nào đó (để được ma trận chứa càngnhiều số 0 càng tốt). 2. Tìm đa thức đặc trưng ftA (). 3. Tìm nghiệm của đa thức đặc trưng trên trường K đã cho. Đó là tập các giá trị riêng. 4. Với mỗi giá trị riêng , lập hệ phương trình thuần nhất 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ####### ( ) ... 0 ####### ( ) ... 0 ####### ... ( ) 0 nn nn n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ####### ####### ####### ####### ####### rồi giải tìm hệ nghiệm cơ sở. Đó chính là cơ sở của không gian riêng ứng với giá trị riêng . Ví dụ: 1. Cho toán tử tuyến tính của n có ma trận biểu diển trong cơ sở chính tắc là ####### 02 ####### 10 ####### A ####### . Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử .Nếu là một giá trị riêng của thì mọi không gian con của không gian vectơ riêng ứng với đều là không gian bất biến của .1.4 Định lý: Không gian V () là không gian con bất biến của V đối với .Chứng minh: Ta có V () là một không gian vectơ con của V. Với mọi vV (). Ta có ( v )( ) v ( v ) do đó vV (). Như vậy với mọi vectơ vV () , ta luôn có( ) v v V ( ). Do đó V () là không gian con bất biến của V.Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường K và là một toán tử tuyến tính của V. Giả sửS { , ,..., } v v 12 vn là một cơ sở của V. Với mọi vV , ta sẽ tìm mối quan hệ giữa [] vS và [ ( )] v S. Do S là một cơ sở của V nên vectơ v được viết duy nhất dưới dang v k v 1 1 k v 2 2 ... k vnn. Khi |
